自动控制 清华大学课件 - 第5章.ppt

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,第,5,章第,*,页,EXIT,第,5,章,频率特性法,5.1,频率特性的基本概念,5.2,幅相频率特性及其绘制,5.3,对数频率特性及其绘制,5.4,奈奎斯特稳定判据,5.5,控制系统的相对稳定性,5.6,利用开环频率特性分析系统的性能,控制系统的时域分析法是研究系统在典型输入信号作用的性能，对于一阶、二阶系统可以快速、直接地求出输出的时域表达式、绘制出响应曲线，从而利用时域指标直接评价系统的性能。因此，,时域法具有直观、准确的优点,。然而，工程实际中有大量的高阶系统，要通过时域法求解高阶系统在外输入信号作用下的输出表达式是相当困难的，需要大量计算，只有在计算机的帮助下才能完成分析。,此外，在需要改善系统性能时，采用时域法难于确定该如何调整系统的结构或参数。,在工程实践中,往往并不需要准确地计算系统响应的全部过程，而是希望避开繁复的计算，简单、直观地分析出系统结构、参数对系统性能的影响。,因此，主要采用两种简便的工程分析方法来分析系统性能，这就是根轨迹法与频率特性法，,本章将详细介绍控制系统的频率特性法。,控制系统的频率特性分析法是利用系统的,频率特性（元件或系统对不同频率正弦输入信号的响应特性）,来分析系统性能的方法，,研究的问题仍然是控制系统的稳定性、快速性及准确性等，是工程实践中广泛采用的分析方法，也是经典控制理论的核心内容。,频率特性分析法（,Frequency Response,），又称为频域分析法,，,是一种图解的分析方法，它不必直接求解系统输出的时域表达式，而,可以间接地运用系统的开环频率特性去分析闭环的响应性能，不需要求解系统的闭环特征根,，具有较多的优点。如：,根据系统的开环频率特性能揭示系统的动态性能和稳态性能,得到定性和定量的结论，可以简单迅速地判断某些环节或者参数对系统闭环性能的影响,并提出改进系统的方法。,频率特性分析法,的特点,时域指标和频域指标之间有对应关系，而且频率特性分析中大量使用简洁的曲线、图表及经验公式，,简化,控制系统的分析,与设计,。,具有明确的物理意义，它可以通过实验的方法，借助频率特性分析仪等测试手段直接求得元件或系统的频率特性，建立数学模型作为分析与设计系统的依据，这对难于用理论分析的方法去建立数学模型的系统尤其有利。,频率分析法使得控制系统的分析十分方便、直观，并且可以拓展应用到某些非线性系统中。近来，频率法还发展到可以应用到多输入量多输出量系统，称为多变量频域控制理论。,本章重点介绍频率特性的基本概念、幅相频率特性与对数频率特性的绘制方法、奈奎斯特稳定判据、控制系统的相对稳定性、利用开环频率特性分析系统闭环性能的方法。,5.1,频率特性的基本概念,5.1.1,频率响应,频率响应是时间响应的特例，是控制系统对正弦输入信号的稳态正弦响应。,即,一个稳定的线性定常系统，在正弦信号的作用下，稳态时输出仍是一个与输入同频率的正弦信号，且稳态输出的幅值与相位是输入正弦信号频率的函数。,下面用用一个简单的实例来说明频率响应的概念：,示例：,如图所示一阶,RC,网络，,u,i,(,t,),与,u,0,(,t,),分别为输入与输出信号，其传递函数为,R,C,图,5-1,RC,网络,u,i,(,t,),u,0,(,t,),i,(,t,),G,(,s,)=,其中,T=RC,，,为电路的时间常数，单位为,s,。,在零初始条件下，当输入信号为一正弦信号，即,u,i,(,t,),=,U,i,sin,t,时,U,i,与,分别为输入信号的振幅与角频率,，可以运用时域法求电路的输出。,输出的拉氏变换为：,U,0,(,s,),=,对上式进行拉氏反变换可得输出的时域表达式：,输出由两项组成,：,可见，输出信号与输入信号是同频率的正弦函数，但幅值与相位不同，输出滞后于输入。,第一项是瞬态响应分量，呈指数衰减形式，衰减速度由电路本身的时间常数,T,决定。,第二项是稳态响应分量，当,t,时，瞬态分量衰减为,0,，此时电路的稳态输出为：,输出与输入相位差为,=,-,arctan,T,输入信号为,u,i,(,t,),=,U,i,sin,t,二者均仅与输入频率,，以及系统本身的结构与参数有关。,稳态输出与输入幅值比为,实际上，频率响应的概念具有普遍意义。对于,稳定的,线性定常系统（或元件），当输入信号为正弦信号,r,(,t,)=sin,t,时，过渡过程结束后，系统的稳态输出必为,c,ss,(,t,),=,A,sin,(,t,+,),，,如图所示。,线 性,定常系统,sin,t,A,sin(,t,+,),t,r,(,t,),c,ss,(,t,),图,5-2,线性系统及频率响应示意图,5.1.2,频率特性,1,、基本概念,对系统的频率响应作进一步的分析，由于输入输出的幅值比,A,与相位差,只与系统的结构、参数及输入正弦信号的频率,有关。在系统结构、参数给定的前提下，幅值比,A,与相位差,仅是,的函数，可以分别表示为,A,(,),与,(,),。,若输入信号的频率,在,0,的范围内连续变化，则系统输出与输入信号的幅值比与相位差将随输入频率的变化而变化，反映出系统在不同频率输入信号下的不同性能，这种变化规律可以在频域内全面描述系统的性能。,因此，频率特性可定义为：,线性定常系统（或元件）在零初始条件下，当输入信号的频率,在,0,的范围内连续变化时，系统输出与输入信号的幅值比与相位差随输入频率变化而呈现的变化规律为系统的频率特性。,频率特性可以反映出系统对,不同频率,的输入信号的跟踪能力，只和系统的,结构与参数,有关，是线性定常系统的固有特性。,A,(,),反映幅值比随频率而变化的规律，称为,幅频特性,，它描述在稳态响应不同频率的正弦输入时在幅值上是放大（,A,1,）,还是衰减（,A,1,）。,而,(,),反映相位差随频率而变化的规律，称为,相频特性,，它描述在稳态响应不同频率的正弦输入时在相位上是超前（,0,）还是滞后（,0,）。,系统的频率特性包含幅频特性与相频特性两方面，并且强调频率,是一个变量。,对于上例所举的一阶电路，其幅频特性和相频特性的表达式分别为：,A,(,)=,(,),=,-,arctan,T,R,C,图,5-1,RC,网络,u,i,(,t,),u,0,(,t,),i,(,t,),G,(,s,)=,对于上例所举的一阶电路，其幅频特性和相频特性的表达式分别为：,A,(,)=,(,),=,-,arctan,T,R,C,图,5-1,RC,网络,u,i,(,t,),u,0,(,t,),i,(,t,),G,(,s,)=,2,、频率特性的表示方法,对于线性定常系统，当输入一个正弦信号,r,(,t,),=,R,sin,t,时，,则系统的稳态输出必为,c,ss,(,t,),=,A,(,),R,sin,(,t+,(,),由于输入、输出信号均为正弦信号，因此可以利用电路理论将其表示为复数形式，则输出输入之比为,可见，输入输出的复数比恰好表示了系统的频率特性，其幅值与相角分别为幅频特性、相频特性的表达式,。,若用一个复数,G,(j,),来表示，则有,G,(j,)=,G,(j,),e,jG,(j,),=,A,(,),e,j,(,),指数表示法,G,(j,)=,A,(,),(,),幅角表示法,G,(j,),就是频率特性通用的表示形式，是,的函数。,当,是一个特定的值时，可以在复平面上用一个向量去表示,G,(j,),。,向量的长度为,A,(,),，,向量与正实轴之间的夹角为,(,),，,并规定逆时针方向为正，即相角超前；规定顺时针方向为负，即相角滞后。,另外还可以将向量分解为实数部分和虚数部分，即,G,(j,)=,R,(,)+j,I,(,),R,(,),称为实频特性，,I,(,),称为虚频特性。由复变函数理论可知：,并且,A,(,),与,R,(,),为,的偶函数，,(,),与,I,(,),是,的奇函数。,以上函数都是,的函数，可以用曲线表示它们随频率变化的规律。使用曲线表示系统的频率特性，具有直观、简便的优点，应用广泛。,3,、频率特性的实验求取方法,向待求元件或系统输入一个频率可变的正弦信号,r,(,t,),=,R,sin,t,在,0,的范围内不断改变,的取值，并测量与每一个,值对应的系统的稳态输出,c,ss,(,t,),=,A,(,),R,sin(,t+,(,),测量并记录相应的输出、输入幅值比与相角差。根据所得数据绘制出幅值比与相角差随,的变化曲线，并据此求出元件或系统的幅频特性,A,(,),与相频特性,(,),的表达式，便可求出完整的频率特性表达式。,5.1.3,由传递函数求取频率特性（重要）,实际上，由于微分方程、传递函数、频率特性为描述系统各变量之间相互关系的数学表达式，都是控制系统的数学模型。和微分方程与传递函数之间可以相互转换类似，系统的频率特性也可以由已知的传递函数通过简单的转换得到，这种求取方法称为,解析法,。,系统的输出分为两部分，第一部分为瞬态分量，对应特征根；第二部分为稳态分量，它取决于输入信号的形式。对于一个稳定系统，系统所有的特征根的实部均为负，瞬态分量必将随时间趋于无穷大而衰减到零。因此，,系统响应正弦信号的稳态分量必为同频率的正弦信号。,输出信号的拉氏变换为,对输出求拉氏反变换可得,为简化分析，假定系统的特征根全为不相等的负实根。,设,n,阶系统的传递函数为,输入信号为,r,(,t,),=,Rsint,c,ss,(,t,),=,K,c,e,-jt,+K,-,c,e,jt,系数,K,c,和,K,-c,可由留数定理确定，可以求出,c,ss,(,t,)=,A,(,),R,sin,t+,(,),A,(,)=|,G,(,s,)|,s=,j,=|,G,(,j,)|,(,),=G,(,j,),而输入信号为,r,(,t,),=,R,sin,t,因此，,A,(,),为系统的输出与输入幅值比，为系统的幅频特性表达式。,(,),为系统的输出与输入相位差，为系统的相频特性表达式。系统的频率特性为,G,(,j,)=,G,(,s,),|,s=j,=,A,(,),e,j,由以上可推得一个十分重要的结论：系统的频率特性可由系统的传递函数,G,(,s,),将,j,代替其中的,s,而得到。由拉氏变换可知，传递函数的复变量,s,=,+,j,。当,=0,时，,s,=,j,。,所以,G,(,j,),就是,=0,时的,G,(,s,),。,即当传递函数的复变量,s,用,j,代替时，传递函数转变为频率特性，这就是求取频率特性的解析法。,重要,因此，在求已知传递函数系统的正弦稳态响应时，可以避开时域法需要求拉氏变换及反变换的繁琐计算，直接利用频率特性的物理意义简化求解过程。,线性定常系统，传递函数为,G,(,s,),G,(,j,)=,G,(,s,)|,s=j,=,A,(,),e,j,Rsint,A,(,),Rsin,t+,(,),A,(,),是,幅频特性，,是,相频特性,对于上例所举的一阶电路，其幅频特性和相频特性的表达式分别为：,A,(,)=,(,),=,-,arctan,T,R,C,RC,网络,u,i,(,t,),u,0,(,t,),i,(,t,),G,(,s,)=,例,5.1,：,已知单位负反馈系统的开环传递函数为,当输入信号为,r,(,t,)=,sin,2,t,时，求闭环系统的稳态输出。,解：,系统的闭环传递函数与,频率特性,分别为,频率特性的物理意义,1.,在某一特定频率下，系统输入输出的幅值比与相位差是确定的数值，不是频率特性。当输入信号的频率,在,0,的范围内连续变化时，则系统输出与输入信号的幅值比与相位差随输入频率的变化规律将反映系统的性能，才是频率特性。,2.,频率特性反映系统本身性能，取决于系统结构、参数，与外界因素无关。,3.,频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号的频率有关。,4.,频率特性表征系统对不同频率正弦信号的跟踪能力，一般有,“低通滤波”与“相位滞后”,作用。,频率特性的数学意义,频率特性是描述系统固有特性的数学模型,，,与微分方程、传递函数之间可以相互转换。,微分方程,（以,t,为变量）,传递函数,（以,s,为变量）,频率特性,（以,为变量）,控制系统数学模型之间的转换关系,以上三种数学模型以不同的数学形式表达系统的运动本质，并从不同的角度揭示出系统的内在规律，是经典控制理论中最常用的数学模型。,5.1.4,常用频率特性曲线,频率特性是稳态输出量与输入量的幅值比和相位差随频率变化的规律。在实际应用中，为直观地看出幅值比与相位差随频率变化的情况，是将幅频特性与相频特性在相应的坐标系中绘成曲线，并从这些曲线的某些特点来判断系统的稳定性、快速性和其它品质以便对系统进行分析与综合。,系统（或环节）的频率响应曲线的表示方法很多,其本质都是一样的,只是表示的形式不同而已。频率特性曲线通常采用以下三种表示形式：,1.,幅相频率特性曲线（,奈氏曲线,），图形常用名为奈奎斯特图或奈氏图，坐标系为极坐标。奈氏图反映,A,(,),与,(,),随,变化的规律,。,2.,对数频率特性曲线，包括：对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线。图形常用名为,对数坐标图或伯德图,，坐标系为半对数坐标。伯德图反映,L,(,)=20lg,A,(,),与,(,),随,lg,变化的规律。,3.,对数幅相频率特性曲线，图形常用名尼柯尔斯图或对数幅相图，坐标系为对数幅相坐标。尼柯尔斯图反映,L,(,)=20lg,A,(,),随,(,),的变化规律，主要用于求取闭环频率特性。,5.2,幅相频率特性及其绘制,5.2.1,幅相频率特性曲线（奈氏图）基本概念,绘制奈氏图的坐标系是极坐标与直角坐标系的重合，取极点为直角坐标的原点，极坐标轴为直角坐标的实轴。,由于系统的频率特性表达式为,G,(,j,)=,A,(,),e,j,对于某一特定频率,i,下的,G,(,j,i,),总可以用复平面上的一个向量与之对应，该向量的长度为,A,(,i,),，,与正实轴的夹角为,(,i,),。,由于,A,(,),和,(,),是频率的函数，,当,在,0,的范围内连续变化时，向量的幅值与相角均随之连续变化，不同,下的向量的端点在复平面上扫过的轨迹即为该系统的幅相频率特性曲线（奈氏曲线），如图所示,。,G,(j,2,),R,e,(,1,),(,2,),A,(,1,),A,(,2,),G,(j,1,),极坐标图的表示方法,I,m,在绘制奈氏图时，常把,作为参变量，标在曲线旁边，并用箭头表示频率增大时曲线的变化轨迹，以便更清楚地看出该系统频率特性的变化规律。,前面已经指出，系统的幅频特性与实频特性是,的偶函数，而相频特性与虚频特性是,的奇函数，即,G,(,j,),与,G,(,j,),互为共轭。因此，假定,可为负数，当,在,0,的范围内连续变化时，,相应的奈氏图曲线,G,(,j,),必然与,G,(,j,),对称于实轴。,取负数虽然没有实际的物理意义，但是具有鲜明的数学意义，主要用于控制系统的奈氏稳定判别中。,当系统或元件的传递函数已知时，可以采用解析的方法先求取系统的频率特性，,再求出系统幅频特性、相频特性或者实频特性、虚频特性的表达式，通过逐点计算描出奈氏曲线,。具体步骤如下：,1.,用,j,代替,s,，,求出频率特性,G,(,j,),2.,求出幅频特性,A,(,),与相频特性,(,),的表达式，,也可求出实频特性与虚频特性，帮助判断,G,(,j,),所在的象限。,3.,在,0,的范围内选取不同的,，,根据,A,(,),与,(,),表达式计算出对应值，在坐标图上描出对应的向量,G,(,j,),，,将所有,G,(,j,),的端点连接描绘出光滑的曲线即可得到所求的奈氏曲线。,也可以用实验的方法求取。,5.2.2,典型环节的奈氏图,1,、比例环节,用,j,替换,s,，,可求得比例环节的频率特性表达式为,G,(,j,)=,K,Im,Re,0,K,0,比例环节的幅相频率特性,传递函数为：,G,(,s,)=,K,幅频特性,A,(,)=,|,K,|=,K,相频特性,(,),=,0,比例环节的幅频特性、相频特性均与频率,无关。所以当,由,0,变到,，,G,(,j,),始终为实轴上一点，,说明比例环节可以完全、真实地复现任何频率的输入信号，幅值上有放大或衰减作用；,(,)=,0,，表示输出与输入同相位，既不超前也不滞后。,Im,Re,0,K,0,2,、积分环节,积分环节的传递函数为,积分环节的频率特性为,幅频特性为,A,(,)=|1/,|=1/,，,与角频率,成反比,相频特性为,(,)=-90,0,0,Re,积分环节的幅相频率特性,Im,积分环节的幅相频率特性如图所示，在,0,的范围内,，,幅频特性与负虚轴重合。,积分环节的奈氏图表明积分环节是低通滤波器，放大低频信号、抑制高频信号，输入频率越低，对信号的放大作用越强；并且有相位滞后作用，输出滞后输入的相位恒为,90,。,0,0,Re,Im,3,、微分环节,理想微分环节的,传递函数为,G,(,s,)=,s,频率特性为,G,(,j,)=,j,幅频特性为,A,(,)=|,|=,，,与,成正比。,相频特性为：,(,)=90,。,理想微分环节的奈氏图如图所示，在,0,的范围内,，,其奈氏图与正虚轴重合,。,可见，理想微分环节是高通滤波器，输入频率越高，对信号的放大作用越强；并且有相位超前作用，输出超前输入的相位恒为,90,，说明输出对输入有提前性、预见性作用。,4,、惯性环节,根据实频特性与虚频特性表达式，可以判断出实频特性恒,0,，而虚频特性恒,0,，由此可见惯性环节的奈氏图必在坐标系的第四象限。,传递函数,频率特性,幅频特性,相频特性,当,从,0,变到,时，可以根据幅频特性与相频特性表达式描点绘制奈氏图，例如可以绘出三个点,由惯性环节的奈氏图可知，惯性环节为低通滤波器，且输出滞后于输入，相位滞后范围为,0,90,。,是一个位于第四象限的半圆，圆心为,(1/2,，,0),，直径为,1,。若惯性环节的比例系数变为,K,，,则幅频特性成比例扩大,K,倍，而相频特性保持不变，即奈氏图仍为一个半圆，但圆心为,(,K,/2,，,0),，,直径为,K,。,5,、一阶微分环节,可见一阶微分环节的实频特性恒为,1,，而虚频特性与输入频率,成正比。,当,从,0,变到,时,可以根据幅频特性与相频特性表达式描点绘制奈氏图，可以绘出三个点，见表,G,(,s,)=(,s,+1),(,)=,arctan,(,),由一阶微分环节的奈氏图可知，一阶微分环节具有放大高频信号的作用，输入频率,越大，放大倍数越大；且输出超前于输入，,相位超前范围为,090,，输出对输入有提前性、预见性作用。,根据这些数据绘出幅相频率特性，,是平行于正虚轴向上无穷延伸的直线。,一阶微分环节的典型实例是控制工程中常用的比例微分控制器（,PD,控制器），,PD,控制器常用于改善二阶系统的动态性能，但存在放大高频干扰信号的问题。,6,、二阶振荡环节,可以判断出虚频特性恒,0,，,故曲线必位于第三与第四象限。,以,为参变量，计算不同频率,时的幅值和相角，其中几个重要的特征点见表。,在极坐标上画出,由,0,变到,时的矢量端点的轨迹，便可得到振荡环节的幅相频率特性如图所示。,1,2,振荡环节与负虚轴的交点频率：,=1/,T,幅值：,1/(2,),由奈氏图可知，振荡环节具有相位滞后的作用，输出滞后于输入的范围为,0,180,；同时,的取值对曲线形状的影响较大，可分为以下两种情况,1.,0.707,幅频特性,A(,),随,的增大而单调减小，如图,5-12,中,1,所对应曲线，此刻环节有低通滤波作用。当,1,时，振荡环节有两个相异负实数极点，若,足够大，一个极点靠近原点，另一个极点远离虚轴（对瞬态响应影响很小），奈氏曲线与负虚轴的交点的虚部为,1/(2,)0,，奈氏图近似于半圆，即,振荡环节近似于惯性环节,，如图所示。,2.0,0.707,当,增大时，幅频特性,A,(,),并不是单调减小，而是先增大，达到一个最大值后再减小直至衰减为,0,，这种现象称为,谐振,。奈氏图上距离原点最远处所对应的频率为谐振频率,r,，,所对应的向量长度为谐振峰值,M,r,=A,(,r,),=A,(,r,),/A,(0),。,谐振表明系统对频率,r,下的正弦信号的放大作用最强。,谐振峰值为,随,，,谐振峰值,M,r,，,谐振频率,r,无阻尼自然振荡频率,n,。,谐振峰值,M,r,越大，表明系统的阻尼比,越小，系统的相对稳定性就越差，单位阶跃响应的最大超调量,%,也越大。,当,=0,时，,r,n,，,M,r,，,即振荡环节处于等幅振荡状态。,由幅频特性,A,(,),对频率,求导数，并令其等于零，可求得谐振角频率,r,和谐振峰值,M,r,，,谐振角频率,7,、二阶微分环节,可以判断出虚频特性恒,0,，,故曲线必位于第一与第二象限。,以,为参变量，计算不同频率,时的幅值和相角，其中几个重要的特征点见表。,在极坐标上画出,由,0,变到,时的矢量端点的轨迹，便可得到振荡环节的幅相频率特性如图所示。,8,、延迟环节,幅频特性为：,A,(,)=1,相频特性为：,(,)=,-,单位为弧度（,rad,）。,或者,(,),=,G,(,s,)=e,-,s,G,(,j,)=e,-,j,时，,(,),-,，即输出相位滞后输入为无穷大。当,从,0,连续变化至,时，奈氏曲线沿原点作半径为,1,的无穷次旋转，,越大，转动速度越大。,故延迟环节的奈氏图是一个以原点为圆心，半径为,1,的圆。,即延迟环节可以不失真地复现任何频率的输入信号，但输出滞后于输入，而且输入信号频率越高，延迟环节的输出滞后就越大。,幅频特性为：,A,(,)=1,相频特性为：,(,)=,-,57.3,在低频区，频率特性表达式根据泰勒公式展开为,当,很小时,，有,即在低频区，延迟环节的频率特性近似于惯性环节。从奈氏图也可见，二者的曲线在低频区基本重合。,延迟环节与其他典型环节相结合不影响幅频特性，但会使相频特性的最大滞后为无穷大,。如某系统传递函数是惯性环节与延迟环节相结合，传递函数为,单位为度（,）,可见随,的增大，幅频特性,A,(,),单调减小，而相位滞后单调增加，相频特性,(,),从,0,一直变化到负无穷大。故该系统的奈氏图是螺旋状曲线，绕原点顺时针旋转,次，最后终止于原点，与实轴、虚轴分别有无数个交点,。,5.2.3,开环奈氏图的绘制,1.,定义,系统的频率特性有两种，由反馈点是否断开分为闭环频率特性,(j,),与开环频率特性,G,K,(j,),，分别对应于系统的闭环传递函数,(,s,),与开环传递函数,G,K,(,s,),。,由于系统的开环传递函数较易获取，并与系统的元件一一对应，在控制系统的频率分析法中，分析与设计系统一般是基于系统的开环频率特性。,对于由多个典型环节组合而成的系统（,延迟环节除外,），其频率特性应该满足下面的规律,（,重要,）,系统的开环频率特性为,控制系统是由典型环节组成的，则系统频率特性的绘制与典型环节的频率特性的绘制方法是基本相同的。可根据复变函数的性质求出系统开环频率特性的幅频特性,A,(,),与相频特性,(,),的表达式，或由,分母有理化,求出实频特性与虚频特性，再由奈氏图的基本绘制方法求出系统的开环奈氏图。,2.,开环奈氏图,基本绘制规律,当系统开环传递函数为多个典型环节组合时，其开环奈氏图的绘制与根轨迹的绘制类似，具有一定的规律。可以先根据开环传递函数的某些特征绘制出近似曲线，再利用,A,(,),与,(,),等的表达式描点，在曲线的重要部分修正。,（,1,）低频段的确定,（,0,）,G,K,(,j,),的低频段表达式,根据向量相乘是幅值相乘、相位相加的原则，求出低频段幅频特性与相频特性表达式分别为,可见低频段的形状（幅值与相位）均与系统的型别,v,与开环传递系数,K,有关。,1.0,型系统，,v,=0,：,A,(,0)=,K,，,(,0)=0,低频特性为实轴上的一点,(,K,0),。,2.,型系统，,v,=1,：,A,(,0),，,(,0)=,-,90,3.,型系统，,v=,2,：,A,(,0),，,(0)=,-,180,（,2,）,高频段（,）,不失一般性，假定系统开环传递函数全为不相等的负实数极点与零点。,m,为分子多项式的阶数，,n,为分母多项式的阶数,，,且一般,m,n,故,A,(,)=0,，,高频段终止于坐标原点；而最终相位为,(,),=,-,(,n,-,m,),90,，,由,n,-,m,确定特性以什么角度进入坐标原点。,(,n,-,m,)=1,，,(,)=,-,90,，,即幅相特性沿负虚轴进入坐标原点。,(,n,-,m,)=2,，,则,(,)=,-,180,，即幅相特性沿负实轴进入坐标原点。,(,n,-,m,)=3,，,则,(,)=,-,270,，即幅相特性沿正虚轴进入坐标原点。,（,3,）奈氏图与实轴、虚轴的交点,将频率特性表达式按照分母有理化的方法分解为实部与虚部。,1,）曲线与实轴的交点处的频率由虚部为,0,求出,I,m,G,(j,)=,I,(,)=0,求出交点处的,，再代回频率特性表达式求出交点的坐标。,2,）曲线与虚轴的交点处的频率由实部为,0,求出,R,e,G,(j,)=,R,(,)=0,求出交点处的,，再代回频率特性表达式求出交点的坐标。,（,4,）开环零点对曲线的影响,1,）如果系统的开环传递函数没有开环零点，则在,由,0,过程中，特性的相位单调连续减小（滞后连续增加），特性曲线平滑地变化。奈氏曲线应该是从低频段开始幅值逐渐减小，沿顺时针方向连续变化最后终于原点。,2,）如果系统的开环传递函数有开环零点，则在,由,0,过程中，特性的相位不再是连续减小。视开环零点的时间常数的数值大小不同，特性曲线的相位可能在某一频段范围内呈增加趋势，此时，特性曲线出现凹部。,根据以上绘制规律，可以方便地绘制系统的开环概略奈氏图。,在,的区段，奈氏曲线的形状与所有典型环节及其参数有关，但通过奈氏曲线并不能非常直观地显示出系统的开环传递函数的结构与参数。,3.,绘制实例,例,5.2,某系统开环传递函数如下，绘制其开环奈氏图,当,0,时，,A,(0,)=,K,，,(,0,),=0,，低频特性为正实轴上的一点,(,K,0),。,在,时,，,A,(,)=0,，,(,)=,-,(,n,-,m,),90,=,-,3,90,=,-,270,由系统的开环传递函数得频率特性,0,型系统,此系统无开环零点，因此在,从,0,过程中，特性的相位单调连续减小，从,0,连续变化到,-,270,，中间有,-,180,角，故曲线与负实轴有交点。奈氏曲线应该是平滑的曲线，从低频段开始幅值逐渐减小，沿顺时针方向连续变化最后终于原点。,例,5.3,某系统开环传递函数如下，绘制其开环奈氏图,（,1,）此系统为,型系统,当,0,时，,A,(0,),，,(,0,),=,-,90,，,低频特性始于平行于负虚轴的无穷远处。,将频率特性表达式分母有理化为,则低频渐近线为,频率特性实部,0,，故曲线只在第二、三象限。,（,2,）,时,，,A,(,)=0,，,(,)=-(,n,-,m,),90,=-3,90,=-270,，即幅相特性沿正虚轴进入坐标原点。,（,3,）此系统无开环零点，因此在,从,0,过程中，特性的相位单调连续减小，从,0,连续变化到,-,270,。奈氏曲线是平滑的曲线，从低频段开始幅值逐渐减小，沿顺时针方向连续变化最后终于原点。,（,4,）,(,),有,-,180,相位角，故曲线与负实轴有交点，交点坐标可以由下式确定。,曲线与负实轴交点的坐标为,Im,G,(j,)=,I,(,)=,=0,例,5.4,某系统开环传递函数如下，绘制其开环奈氏图,此系统为,型系统,当,0,时，,A,(0,),，,(,0,),=-180,在,时,，,A,(,)=0,，,(,)=-(,n,-,m,),90,=-3,90,=-270,由于没有开环零点，所以奈氏曲线从低频段到高频段为连续变化的光滑曲线，幅值连续减小，最后沿正虚轴终止于原点。,当,0,时，,A,(0,),，,(,0,),=-180,在,时,，,A,(,)=0,，,(,)=-270,若该系统增加一个开环零点，,开环频率特性表达式为,此系统仍为,型系统，,当,0,时，,A,(0,),，,(,0,),=-180,，,即奈氏图的起点基本未变。,在,时，,A,(,)=0,，,(,)=-(,n,-,m,),90,=-2,90,=-180,，,奈氏图沿负实轴终止于原点,。,由于增加了开环零点，所以奈氏曲线从低频段到高频段连续变化时，相位先滞后增加，达到一个滞后最大值后，相位滞后又开始减小（即相位增加），整条曲线出现了凹凸。,当,0,时，,A,(0,),，,(,0,),=-180,，,即奈氏图的起点基本未变。,在,时，,A,(,)=0,，,(,),=,-180,，,奈氏图沿负实轴终止于原点,。,下图列出了常见系统的开环传递函数与开环概略奈氏图。,5.3,对数频率特性及其绘制,5.3.1,对数频率特性曲线基本概念（重点）,对数频率特性图（,Bode,图）将幅频和相频特性分别画出，并,按对数分度运算，使系统的分析和设计变得十分简便。,1.,伯德（,Bode,）,图的构成,对数幅频特性图的横坐标是对,取以,10,为底的对数进行分度的。,标注角频率的真值，以方便读数。,每变化十倍，横坐标,1g,就增加一个单位长度，记为,decade,或简写,dec,，,称之为“十倍频”或“十倍频程”。,横坐标对于,是不均匀的，但对,lg,却是均匀的线性分度。由于,0,频无法表示，横坐标的最低频率是由所需的频率范围来确定的。,若横轴上有,两点,1,与,2,，,则该两点的距离不是,2,-,1,，,而是,lg,2,-lg,1,，如,2,与,20,、,10,与,100,之间的距离均为一个单位长度，即一个十倍频程。,0.1,1,10,100,/,(rads,-1,),确定,Bode,图坐标系,2,3,对数频率特性曲线坐标系如图所示，在绘制函数关系时，相当于,lg,为自变量。,纵坐标是对幅值分贝,(dB),数进行分度，用,L,(,)=20,lg,A,(,),表示。,对数相频特性图的横坐标分度方法同对数幅频特性，而纵坐标则对相角进行线性分度，单位为度（,o,）,仍用,(,),表示。,2,Bode,图法的特点,（,1,）横坐标按频率取对数分度，,低频部分展宽,，而,高频部分缩小,。与对实际控制系统（一般为低频系统）的频率分辨要求吻合。,（,2,）幅频特性取分贝数,20L,g,A,(,),后，使各因子间的,乘除运算,变为,加减运算,，在,Bode,图上则变为各因子,幅频特性曲线的叠加,，大大简化了作图过程，使系统设计和分析变得容易。,G,(j,)=,G,1,(j,),G,2,(j,),G,n,(j,)=,A,(,)e,j,(,),式中,A,(,)=,A,1,(,),A,2,(,),A,n,(,),；,(,)=,1,(,)+,2,(,)+,n,(,),在极坐标中绘制幅相频率特性，要花较多时间，而在绘制对数幅频特性时，有,L,(,)=20,lg,A,(,),=20lg,A,1,(,)+20lg,A,2,(,)+20lg,A,n,(,),=,L,1,(,)+,L,2,(,)+,L,n,(,),（,3,）可采用由直线段构成的渐近特性（或稍加修正）代替精确,Bode,图，使绘图十分简便。,（,4,）在控制系统的设计和调试中，开环放大系数,K,是最常变化的参数。而,K,的变化不影响对数幅频特性的形状，只会使幅频特性曲线作上下平移。,5.3.2,典型环节的对数坐标图,1.,比例环节（,K,）,说明比例环节可以完全、真实地复现任何频率的输入信号，幅值上有放大或衰减作用；,(,)=,0,，表示输出与输入同相位，既不超前也不滞后。,2.,积分环节,(1/,s,),40,20,0,0.01,0.1,1,10,20,10,0.01,0.1,1,频率每增加,10,倍，幅频特性下降,20dB,，,故积分环节的对数幅频特性是,一条斜率为,-20dB/dec,的斜线,并且在,=1,这一点穿过,0dB,线。,表明积分环节是低通滤波器，放大低频信号、抑制高频信号，输入频率越低，对信号的放大作用越强；并且有相位滞后作用，输出滞后输入的相位恒为,90,。,3.,微分环节（,s,）,1,微分环节的对数幅频特性是一条斜率,+20dB/dec,的斜线,并且在,=1,这一点穿过,0dB,线。,积分环节与理想微分环节的对数幅频特性相比较，只相差正负号，二者以,轴为基准，互为镜像；同理，二者的相频特性互以,轴为镜像。,可见，理想微分环节是高通滤波器，输入频率越高，对信号的放大作用越强；并且有相位超前作用，输出超前输入的相位恒为,90,，说明输出对输入有提前性、预见性作用。,1,40,20,0,0.01,0.1,1,10,20,10,0.01,0.1,1,4.,惯性环节,（,1,）对数幅频特性,为简化对数频率特性曲线的绘制，常常使用渐近对数幅频特性曲线（特别是在初步设计阶段）。,1,）低频段,在,T,1,（,或,1,（,或,1/,T,）,的区段，可以近似地认为,L,(,),为因变量，,lg,为自变量，因此对数频率特性曲线是一条斜线,斜率为,-20dB/dec,称为高频渐近线,，与低频渐近线的交点为,T,=1/,T,，,T,称为转折频率,，是绘制惯性环节的对数频率特性时的一个重要参数。,高频渐近线,斜率为,-,20dB/dec,与低频渐近线的交点,转折频率,为,T,=1/,T,。,渐近特性和准确特性相比，存在误差：,越靠近转折频率，误差越大,，如在转折频率这一点，误差最大，精确值为,如需由渐近对数幅频特性曲线获取精确曲线，只须分别在,低于或高于转折频率的一个十倍频程范围内,对渐近对数幅频特性曲线进行修正就足够了。,（,2,）对数相频特性,精确相频特性为,:,对数相频特性曲线将对应于,=1/,T,及,(,)=-45,这一点斜对称。,可以清楚地看出在整个频率范围内，,(,),呈滞后持续增加的趋势，极限为,-90,。,当惯性环节的时间常数,T,改变时，其转折频率,1/T,将在,Bode,图的横轴上向左或向右移动。与此同时，,对数幅频特性及对数相频特性曲线也将随之向左或向右移动，但它们的形状保持不变。,1,）,低频段,在,1(,或,1,（,或,1/,）的区段，可以近似地认为,高频渐近线是一条斜线，斜率为,20dB/dec,，,当频率变化,10,倍频时，,L,(,),变化,20dB,。,转折频率为,T,=1/,。,可知，一阶微分环节的对数幅频特性和相频特性与惯性环节的相应特性互以横轴为镜像。,精确曲线的修正方法也与惯性环节相同。但需要注意到修正值的符号相反。如转折频率处,T,对应的精确值是,L,(,T,)=0+3=3dB,。,一阶微分环节具有放大高频信号的作用，输入频率,越大，放大倍数越大；且输出超前于输入，相位超前范围为,090,，输出对输入有提前性、预见性作用。,一阶微分环节的典型实例是控制工程中常用的比例微分控制器（,PD,控制器），,PD,控制器常用于改善二阶系统的动态性能，但存在放大高频干扰信号的问题。,6,二阶振荡环节,（,1,）对数幅频特性,1,）低频段,0,1,T,1,（,或,1(,或,1/,T,),时，并考虑到（,0,1,），有,L,(,),-20lg(,T,),2,=,-,40lg(,T,)=,-,40lg,T,-,40lg,dB,高频段是一条斜率为,-,40dB/dec,的斜线，称为高频渐近线。,L,(,),-,20lg(,T,),2,=,-,40lg(,T,)=,-,40lg,T,-,40lg,=0dB,T,=1/,T,为低频渐近线与高频渐近线交点处的横坐标，称为转折频率，也就是环节的无阻尼自然振荡频率,n,。,可见,0.4,或,0.7,时，渐近线需要加尖峰修正。,随,的减小,，谐振峰值,M,r,增大