第07章应力与应变分析.ppt

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第七章 应力与应变分析,7,-,1,一点的应力状态,7,-,2,平面应力状态分析,7,-,3,三向,应力状态下的最大应力,7,-,4,任意点的应变及应变分量的坐标变换,第七章 应力与应变分析,7,-,5,平面应变状态分析,7,-,6,广义胡克定律,7,-,7,复杂应力状态下的应变比能,小 结,1,一点的应力状态,7-1 一点的应力状态,一、一点的应力状态,受力构件一点处各个不同截面上的应力情况,1,),代表一点的应力状态,；,2,研究应力状态的目的,找出该点的最大正应力和切应力数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分析。,二、研究应力状态的方法,单元体法,1,单元体,围绕构件内一点截取的微小正六面体。具有以下特点：,2,),每个面上的应力均布，应力正负用箭头方向表示,；,3,),平行面上的应力大小相同、方向相反,；,4,),三个相互垂直面上的应力已知,。,2单元体上的应力分量,1,),单元体上的应力分量共有,九,个，独立分量有,六,个；,2,),应力分量的,角标规定,：,x,O,z,y,d,z,d,x,d,y,X,Y,Z,O,s,y,s,y,s,z,s,z,t,zy,t,yz,t,yz,t,zy,t,yx,t,yx,t,xy,t,xy,s,x,s,x,t,zx,t,xz,t,zx,t,xz,第一角标表示应力作用面，第二角标表示应力平行的轴；两角标相同时，只用一个角标来表示。例如,t,xy,表示,x,面上平行于,y,轴的切应力，,s,x,表示,x,面上平行于,x,轴的正应力；,3,),面的方位用其法线方向表示，例如,x,面表示法线平行,于,x,轴的面；,7-1 一点的应力状态,4,),切应力互等定理,：,5,),应力矩阵,：,3截取单元体的方法与原则,1,),在一点用与三个坐标轴,(,笛卡尔坐标和极坐标，依,问题和构件形状而定,),垂直的平面,截取，因其微小，,看成微小正六面体；,2,),单元体各个面上的应力已知或可求；,3,),几种受力情况下截取单元体方法：,7-1 一点的应力状态,F,M,e,M,e,F,F,M,e,M,e,横截面、周向面、直径面各一对，,从上表面截取,C,t,s,s,横截面、周向面、直径面各一对,B,一对横截面，两对纵截面,A,s=,F/A,s,t,=M,e,/,W,p,A,B,C,7-1 一点的应力状态,B,C,A,F,C,A,B,t,B,t,C,s,C,s,C,s,A,s,A,7-1 一点的应力状态,1主应力、主单元体、主平面的概念,三、应力状态的分类,(,按主应力,),1,),主平面,：,单元体上切应力为零的平面,2,),主单元体,：,各面均为主平面的单元体，主单元体上有三对主平面；,旋转,y,x,z,s,2,s,3,s,1,s,x,s,z,t,xy,t,xz,t,zx,t,zy,t,yz,t,yx,s,y,3,),主应力,：,主平面上的正应力，用,s,1,、,s,2,、,s,3,表示，且,s,1,s,2,s,3,。,x,y,z,(,找主平面、主单元体和主应力,),7-1 一点的应力状态,2应力状态按主应力分类,1,),单向应力状态,：,只有一个主应力不为零的应力状态；,2,),平面应力状态,：,有二个主应力为零的应力状态，也称为,二向应力状态,；,3,),三向应力状态,：,三个主应力均不为零的应力状态，也称为,空间应力状态,；,4,),单向应力状态又称为,简单应力状态,；平面和空间应,力状态又称为,复杂应力状态,。,4,),围绕一点至少存在一个主单元体，应力分析的主,要目的就是寻找,主单元体,和,主应力,。,7-1 一点的应力状态,7-2 平面应力状态分析,1平面应力状态的表示方法,(,一般表现形式,),一、平面应力状态分析的解析法,平面应力状态一般表现为：单元体上有一对侧面应力为零，而其它四个侧面上应力都平行于应力为零的侧面。,s,x,t,xy,s,y,s,y,s,x,t,yx,s,y,t,yx,t,xy,s,x,s,x,2任意,a,角斜截面以及与之相垂直斜截面上的应力,1,),公式推导,s,x,t,xy,s,y,s,y,s,x,t,yx,A,B,x,y,d,A,s,x,t,xy,t,yx,s,y,x,x,a,x,y,a,s,x,t,x,y,t,xy,s,y,t,yx,s,x,s,x,s,x,t,xy,t,yx,s,y,y,x,y,a,a,t,y,x,s,y,7-2 平面应力状态分析,2,),a,角斜截面应力公式,由三角变换得,3,),a,与,a,+90,o,斜截面应力公式的矩阵表达式,7-2 平面应力状态分析,坐标转换矩阵,x,y,a,xx,a,yx,a,xy,a,yy,x,y,O,s,x,t,xy,t,yx,s,y,x,x,x,y,a,s,x,t,x,y,单元体上所绘,s,、,t,，,数值代表大小，箭头方向代表正负。,4,),推导公式时，,s,x,、,s,y,、,t,xy,、,a,角均假设为正，实际计算时应,代入各参量的正负。,s,：,拉为正，压为负；,a,：,以,x,轴正向为起线，逆时针转,至,x,正向者为正，反之为负；,t,：,使微元产生顺时针转动趋势者为正；反之为负。,7-2 平面应力状态分析,3主应力及其方位,1,),由主平面定义：,，得：,可求出两个相差90,o,的,a,0,值，对应两个互相垂直主平面。,2,),即主平面上的正应力取得所有方向正应力的极值。,3,),主应力大小：,4,),由,s,、,s,、0,按代数值大小排序得出：,7-2 平面应力状态分析,5,),判断,s,、,s,作用方位,(,与两个,a,0,如何对应,),t,xy,s,s,a,0,*,a,),由：求得一个,a,0,：,b,),t,xy,箭头指向第几象限,(,一、,四,),，则,s,(,较大主应力,),在第几象限,，即先判断,s,大致方位，再判断其与算,得的,a,0,相对应，还是与,a,0,+90,o,相对应。,6,),t,xy,s,s,a,0,*,7-2 平面应力状态分析,1,),4极值切应力,2,),极值切应力：,可求出两个相差90,o,的,a,1,值，对应两个互相垂直的极值切应力方位。,3,),极值切应力方位与主应力方位的关系：,极值切应力平面与主平面成45,o,7-2 平面应力状态分析,例7-1 图示单元体，试求：,a,=30,o,斜截面上,的应力；主应力并画出主单元体；,极值切应力。,40,30,20,单位：,MPa,a,s,a,t,a,40,20,30,解：1,),a,=30,o,斜截面上的应力,2,),主应力与主单元体,3,),极值切应力,4,),讨论并证明：,同一单元体任意垂直平面上的正应力之和为常数。,14.9,o,s,s,s,s,7-2 平面应力状态分析,t,ABCD,例7,-,2 分析圆轴扭转时的应力状态。,M,e,M,e,D,C,B,A,3,),圆轴扭转时，任意点为纯剪切应力状,态，最大拉、压应力在与轴线成45,o,斜截面上，它们数值相等，均等于横,截面上的切应力；,4,),对于塑性材料,(,如低碳钢,),抗剪能力差，扭转破坏时，通常是横截面,上的最大切应力使圆轴沿横截面剪断；,5,),对于脆性材料,(,如铸铁、粉笔,),抗拉性能差，扭转破坏时，通常沿与,轴线成45,o,的螺旋面拉断。,x,45,o,-45,o,s,3,s,1,s,1,s,3,解：1,),围绕圆轴外表面一点取单元,体,ABCD,：,2,),求主应力和主单元体,7-2 平面应力状态分析,q,5主应力迹线,7-2 平面应力状态分析,1,),作法,将一点的主拉,(,压,),应力方向延长与相邻横截面相交，再求出交点的主拉,(,压,),应力方向，依次得到一条曲线,主拉,(,压,),应力迹线,。,2)主应力迹线的特征,同一类主应力迹线不能相交；,两类主应力迹线若相交，则必然正交；,所有主应力迹线与轴线相交的夹角均为45,o,；,所有主应力迹线与梁的上或下边缘垂直相交；,主应力迹线只反映主应力方向，不反映大小。,1理论依据,二、平面应力状态分析的图解法应力圆,以,s,、,t,为坐标轴，则任意,a,斜截面上的应力,s,a,、,t,a,为,7-2 平面应力状态分析,O,s,t,2应力圆的绘制,s,x,s,x,t,xy,t,yx,t,xy,t,yx,s,y,s,y,x,y,C,2,a,0,B,1,s,A,1,s,2,a,(,s,a,t,a,),E,G,1,t,G,2,t,D,(,s,y,t,yx,),B,A,D,(,s,x,t,xy,),n,a,s,a,t,a,1,),选定坐标及比例尺；,2,),取,x,面的两个应力值，定出,D,(,s,x,t,xy,),点，,取,y,面的两个应力值，定出,D,(,s,y,t,yx,),点；,3,),连,DD,交,s,轴于,C,点，以,C,为圆心，,DD,为直径作圆。,7-2 平面应力状态分析,3应力圆的应用,1,),点面对应关系,：,2,),角度对应关系,：,应力圆上一点坐标代表单元体某个面上的应力；,应力圆上半径转过2,a,，,单元体上的面转过,a,；,3,),转向对应关系,：,应力圆上半径的转向与单元体上面的旋向相同；,O,s,t,C,2,a,(,s,a,t,a,),E,D,(,s,y,t,yx,),B,A,D,(,s,x,t,xy,),x,s,x,s,x,t,xy,t,yx,t,xy,t,yx,s,y,s,y,y,n,a,s,a,t,a,4,),求外法线与,x,轴夹角为,a,斜,截面上的应力，只要以,D,为,起点，按,a,转动方向同向转,过2,a,到,E,点，,E,点坐标即为,所求应力值。,7-2 平面应力状态分析,5,),应力圆确定主平面、主应力,应力圆上纵轴坐标最大的,G,1,点为,t,，,纵轴坐标最小的,G,2,点为,t,，,作用面确定方法同主应力。,由主平面上切应力,t,=0，,确定,D,转过的角度；,D,转至,s,轴正向,A,1,点代表,s,所在主平面，其转过角度为2,a,0,*，,转至,s,轴负向,B,1,点代表,s,所在主平面；,O,s,t,C,2,a,0,*,B,1,s,A,1,s,G,1,t,G,2,t,D,(,s,y,t,yx,),B,A,D,(,s,x,t,xy,),s,x,s,x,t,xy,t,yx,t,xy,t,yx,s,y,s,y,6,),确定极值切应力及其作用面,7-2 平面应力状态分析,4,),作应力圆，并由几何关系算出或由,比例尺量出：,60,o,解：一、图解法,1,),由竖直面,BE,上,的应力,得到应力圆上的,D,点：,s,O,t,17.3,40,80,D,120,o,D,l,C,2,),由,AB,面上的正应力,作直线,s,：,例7,-,3 平面应力状态如图所示，试用应力圆和解析法分别求出主应力和斜截面,AB,上的切应力,t,。,(,应力单位：,MPa,),B,50,80,A,50,80,t,t,60,o,E,则应力圆上代表,AB,面应力的点一定在,该直线上,3,),作直线,l,，,使其满足：与,s,轴正向,逆时针夹角120,o,，,交直线,s,于,D,，,交,s,轴于,C,，|,CD,|=|,CD,|,50,s,7-2 平面应力状态分析,解：二、解析法,1,),建立坐标系,2,),截取微块,ABC,60,o,B,50,80,A,50,80,t,t,E,由于,AC,面为主平面，其上切应力为零，则根据切应力互等定理,BC,面上切应力也为零，只有主应力,s,y,。,3,),将,AB,看成斜截面，求解其,上应力,x,y,80,60,o,50,t,s,y,B,A,C,7-2 平面应力状态分析,例7-4 图示单元体，试求：,a,=30,o,斜截面上,的应力；主应力并画出主单元体；,极值切应力。,40,30,20,单位：,MPa,a,s,a,t,a,解：1,),a,=30,o,斜截面上的应力,2,),主应力并画出主单元体,s,O,t,D,(30,-20),D,(-40,20),C,60,o,(29.8,20.3),35.3,-45.3,29.8,o,40,20,30,14.9,o,s,s,s,s,3,),极值切应力：,40.3,-40.3,7-2 平面应力状态分析,三、几种应力状态的应力圆,1单向拉伸和压缩应力状态,1,),单向拉伸,s,s,2,),单向压缩,s,s,O,s,t,C,s,D,D,C,s,E,E,圆心,C,：,(,s,/2,0),D,(,s,/2,s,/2),D,(,s,/2,-,s,/2),极值切应力点：,主应力：,圆心,C,：,(-,s,/2,0),E,(-,s,/2,s,/2),E,(-,s,/2,-,s,/2),极值切应力点：,主应力：,7-2 平面应力状态分析,2纯剪切应力状态,O,s,t,t,t,t,t,C,圆心,C,：,(0,0),D,(0,t,),D,(0,-,t,),极值切应力点：,主应力：,D,D,7-2 平面应力状态分析,p,p,p,p,3两向均匀压,(,拉,),应力状态,O,s,t,s,s,s,s,主应力：,C,s,两向均匀压,(,拉,),应力状态的应力圆为,s,轴上的一点。因此其任意方向均为主应力方向，任意平面均为主平面,p,p,p,任意形状平面，只要边界各点承受大小相同垂直作用于边界的力，则其内部任意一点均为两向均匀压,(,拉,),应力状态，同样对于三维构件,(,如圆球,),，就为三向均匀压,(,拉,),应力状态。,7-2 平面应力状态分析,7-3 三向应力状态下的最大应力,1三向面应力状态下的应力圆,一、三向应力状态下的应力圆,s,3,s,2,s,1,s,2,s,3,s,1,s,2,s,1,s,3,O,t,s,C,2,s,3,C,1,C,3,s,1,s,2,1,),平行,s,3,斜截面上应力由,s,1,、,s,2,作出应力圆上的点确定；,2,),平行,s,1,斜截面上应力由,s,2,、,s,3,作出应力圆上的点确定；,3,),平行,s,2,斜截面上应力由,s,1,、,s,3,作出应力圆上的点确定；,t,23,O,t,s,C,2,s,3,C,1,C,3,s,1,s,2,t,13,t,12,2三向应力状态下的最大切应力,4,),由弹性力学知，任意斜,截面上的应力点落在阴,影区内。,t,max,所在平面与,s,1,和,s,3,两个主平面夹角为45,o,。,7-3 三向应力状态下的最大应力,1三向应力状态应力转换,二、三向应力状态下的应力转换及主应力,1,),s,ij,、,s,ij,分别是老、新坐标系下的应力矩阵；,2,),l,为新老坐标系的转换矩阵：,cos,-,1,l,11,cos,-,1,l,12,cos,-,1,l,13,O,x,1,x,2,x,3,x,3,x,2,x,1,l,ij,为新坐标,i,对老坐标,j,的方向余弦,3,),任意斜截面上的应力：,l,1,j,为斜截面外法线对老坐标,j,的方向余弦,7-3 三向应力状态下的最大应力,2三向应力状态下的主应力和主轴方向,1,),研究方法,2,),主应力大小和方向求解,线性代数中求实对称矩阵特征值和特征向量。特征值即为所求主应力，特征向量即为主应力所在方位；,a,的三个实根，即为应力矩阵,s,ij,的三个主应力，求出,a,后可求出三个特征向量，即为各主应力所对应的方位。,7-3 三向应力状态下的最大应力,三、例题,s,y,=140,t,xy,=150,s,x,=300,A,视,解法一：1,),已知一个主应力：,s,z,=90MPa。,2,),将单元体沿,z,方向投影，得到平面应力状态：,例7-5 试确定图示应力状态的主应力和最大切应力，,并确定主平面和最大切应力作用面位置。,x,z,y,90,300,150,140,单位：,MPa,根据,t,xy,方向，,s,1,与,x,逆时针夹角为31,o,，,s,3,与,x,轴夹角121,o,，,均在,xoy,平面内,最大切应力所在平面法线与主平面夹角45,o,即与,x,轴夹角76,o,或-14,o,。,x,z,y,s,2,y,31,o,31,o,s,1,x,s,3,A,7-3 三向应力状态下的最大应力,解法二：1,),应力状态的矩阵形式为：,x,z,y,90,300,150,140,单位：,MPa,2,),求解主应力：,展开整理得：,3,),主应力方向：,s,1,=390MPa,时有,求解方程，并注意,到 得：,同理，分别求出,s,2,=90MPa、,s,3,=50MPa,时的,n,1,、,n,2,、,n,3,，,得到：,4)最大切应力及方向,求解同解法一。,转换矩阵：,7-3 三向应力状态下的最大应力,B,A,C,O,7-4 任意点的应变及应变分量的坐标转换,1,平面应变状态,：,一、任意点的应变,z,方向位移为零。应变仅在,x,、,y,平面内产生。,假设直角增大为钝角时的切应变,g,为正,u,v,0,x,y,d,y,d,x,y,x,O,A,B,C,b,a,2推广到三向应变状态,定义切应变分量：,则任意点的应变分量可写成矩阵形式：,二、应变的坐标变换,l,与前相同为空间坐标转换矩阵,7-4 任意点的应变及应变分量的坐标转换,7-5 平面应变状态分析,1研究问题：,一、平面应变分析,平面应变状态下，物体内任一点,O,的应变,分量为,e,x,、,e,y,、,g,xy,，,其余应变全为零，求该点在,xy,平,面内任意方向的应变,e,x,、,e,y,、,g,x,y,。,2任意方向应变,1,),平面坐标转换矩阵：,代入：,2,),展开得,3,),分别用,e,a,和,g,a,表示上式中的,e,x,和,g,x,y,=,-,2,e,x,y,，,并进行,三角函数化简，得到,2主应变与主应变方向,1,),主应变方向：,由于相似性，可完全借用平面应力分析的结论。,2,),主应变大小：,7-5 平面应变状态分析,二、应用举例,1因切应变,g,xy,不宜测量，用应变仪直接测量应变时，,一般先测出在三个,a,1,、,a,2,、,a,3,方向上的线应变,e,a,1,、,e,a,2,、,e,a,3,，,再求得,e,x,、,e,y,、,g,xy,进行计算。,2工程实测中,a,1,、,a,2,、,a,3,取为便于计算的值。例如使,三个应变片的方向分别为,a,1,=0,o,，,a,2,45,o,，,a,3,=90,o,，,就得到了45,o,3,直角应变花。,7-5 平面应变状态分析,例7,-,6 用45,o,3,直角应变花测得一点处的三个线应变为,e,0,=-300,m,，,e,45,=-200,m,，,e,90,=200,m,，,试求主应变及其方向。,y,45,o,45,o,e,0,e,90,x,O,e,45,解：1,),求,e,x,、,e,y,、,g,xy,令,a,1,=0,o,，,a,2,45,o,，,a,3,=90,o,：,解得：,2,),求主应变及其方向,因,e,x,e,y,，,故最大线应变在105,o,30,方向上。,7-5 平面应变状态分析,7-5 平面应变状态分析,3应变测量实例,中科院等离子体所,HT-7U,支撑试验台,7-5 平面应变状态分析,HT-7U,支撑的应变测量,7-5 平面应变状态分析,HT-7U,波纹管的应变测量,7-5 平面应变状态分析,应变测量仪器,7,V13,数据采集仪,7-6 广义胡克定律,一、广义胡克定律,1,),主应变,：,1有关概念,2,),正应力只引起线应变，切应力只引起切应变；,沿主应力方向的应变，分别用,e,1,e,2,e,3,表示；,2,广义胡克定律,2,),推导方法：,利用,叠加原理,和第一章里讨论的拉压和剪切,胡克定律,。,1,),广义胡克定律：应力与应变的关系，又称,本构关系,；,s,1,s,2,s,3,s,1,s,1,I,s,2,s,2,II,s,3,III,s,1,方向上的应变：,s,2,方向上的应变：,s,3,方向上的应变：,s,1,I,s,1,s,2,II,s,2,III,s,3,3,),主应力与,主应变的,关系：,7-6 广义胡克定律,4,),一般情况：,5,),用应变表,示应力：,7-6 广义胡克定律,6,),平面应力状态下：,s,z,、,t,yz,、,t,xz,为零。,7-6 广义胡克定律,二、体积应变与应力分量之间的关系,1,),长,a,、,宽,b,、,高,c,的单元体变,形前体积：,1体积应变,2,),在主应力,s,1,、,s,2,、,s,3,作,用下，单元体体积变为：,3,),体积改变率,(,体积应变,),a,b,c,s,3,a,(1+,e,1,),s,1,s,2,b,(1+,e,2,),c,(1+,e,3,),7-6 广义胡克定律,4,),体积应变的应力表达式：,代入胡克定律,平均应力,体积模量,7-6 广义胡克定律,式中：,拉梅常数,Kronecker,符号,2广义胡克定律的体积应变表达式,三、例题,例7-7 在一体积较大的钢块上有一直径为50.01,mm,的凹座，凹座内放置一直径为50,mm,的钢制,圆柱如图，圆柱受到,F,=300kN,的轴向压力。,假设钢块不变形，试求圆柱的主应力。取,E,=200GPa，,n,=0.30。,F,p,s,3,=,F/A,s,q,=,p,s,r,=,p,p,p,解：1,),圆柱横截面上的应力,2,),圆柱径向应变,3,),截取单元体如图,4,),由广义胡克定律,5,),圆柱内任意点主应力为：,7-6 广义胡克定律,7-7 复杂应力状态下的应变比能,一、总应变比能,1,),应变能,(,变形能,),：,1有关概念,伴随弹性体的变形而储存在弹性体的能量，用,U,表示；,2,),比能,：,单位体积内储存的应变能，用,u,表示；,3,),克拉贝依隆原理,：,该原理只在线弹性条件下成立,F,i,：,d,i,：,广义力,；,与广义力相对应的广义位移,；,1,),取主应力单元体，假定三个,主应力按某一比例由零同时,增加到最终值，则该单元体,所储存的应变能为,2总应变比能,s,2,s,1,s,3,d,x,d,y,d,z,e,1,e,2,e,3,2,),比能：,3,),代入广义胡克定律,7-7 复杂应力状态下的应变比能,二、体积改变比能,u,v,与形状改变比能,u,f,1,),单元体的变形：,1有关概念,体积改变,和,形状改变,s,3,s,2,s,1,体积应变只与平均,正应力有关，则体,积改变比能只与平,均正应力有关。,体积改变,s,m,s,m,s,m,s,3,-,s,m,s,2,-,s,m,s,1,-,s,m,形状改变,7-7 复杂应力状态下的应变比能,2,),体积改变比能,：,与体积改变相对应的比能，用,u,v,表示；,3,),形状改变比能,：,与形状改变相对应的比能，用,u,f,表示；,4,),2,u,v,、,u,f,公式,1,),体积改变比能：,2,),形状改变比能：,一般情况下：,7-7 复杂应力状态下的应变比能,例7,-,8 导出各向同性体线弹性材料弹性常数,E,、,G,、,n,之间的关系。,t,z,y,O,g,45,o,t,t,解：取纯剪切应力状态研究,7-7 复杂应力状态下的应变比能,小 结,一、本章重点,应力状态的有关概念及其研究方法，截取原始单元体的方法，主单元体、主平面、主应力，应力状态的分类；,平面应力状态分析的解析法和应力圆法；,简单三向应力状态的求解及一点的最大应力；,广义胡克定律及其应用。,小 结,二、思考题,试证明围绕一点的任意平面应力状态单元体相垂直面上的正应力之和为常数；,试论证平面应力状态中较大主应力,s,与,t,xy,指向的对应关系；,低碳钢和铸铁扭转破坏断面有什么不同，为什么？,试证明应力圆与单元体的点面、角度、旋向对应关系；,小 结,单向拉伸,(,压缩,),的应力圆形状？纯剪切应力状态的应力圆形状？二向、三向均匀拉,(,压,),应力状态的应力圆形状？,证明主应力和主应变方向的一致性；,试用广义胡克定律证明切变模量、弹性模量、泊松比之间的关系；,泊松比,n,=0.5,意味什么？,试导出一般空间应力状态下体积改变比能,u,v,的计算公式。,