自动控制原理(上)第3章控制系统的时域分析.ppt

,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,Click to edit Master title style,系统分析是探讨闭环控制系统结构参数、输入作用与系统性能及其性能指标之间的关系，进而提出改善系统性能的措施。掌握控制系统的分析方法是对当今控制工程师的基本要求。本章讨论控制系统的时域分析法。,第,3,章 控制系统的时域分析,3.1,引言,第,3,章,控制系统的时域分析,1,3,.2,线性定常控制系统的稳定性及稳定判据,3,.3,控制系统的稳态误差,3,.4,控制系统的动态性能分析,3,.5,线性系统的基本控制规律,PID,控制,2,3,.,6,用,MATLAB,对系统进行时域分析,1,1,1,1,1,3.1,引言,3,本章进行控制系统的时域分析，是根据系统的微分方程或传递函数，以拉普拉斯变换作为数学工具，通过研究系统对典型输入信号的时间响应，分析研究各类系统响应随时间的变化规律，评价系统的性能是否满足生产过程工程实际对控制系统稳、准、快的要求。,建立合理的数学模型是对系统进行分析的第一步工作。一旦获得系统的数学模型就可以采用各种不同的方法,时域分析法、根轨迹法和频域分析法分析系统的性能。“分析”是指分析系统的稳定性、稳态性能和动态性能，同时还可得出改善系统性能的措施。相比之下，时域分析法最为直观、易懂、且较为准确，可以提供系统响应的全部信息。,3.1,引言,4,一、典型输入信号,二、控制系统时域响应的性能指标,3.1,引言,系统的时域响应（即系统的运动，,“,运动,”,泛指系统中物理量随时间的变化），不仅取决于系统本身结构和参数，还与系统的,初始状态,及,输入信号,有关。现实中控制系统的输入信号具有不确定性而无法预先知道。在分析和设计控制系统时，需要一个对各种控制系统性能进比较的基础，即在规定的初始状态下，给系统加上预先规定的一些典型信号比较各种系统对典型信号的响应来评价系统性能。,评价系统需要用相应的,性能指标,来衡量。性能指标可以在时域中提出，也可以在频域中提出。工程实际中的控制系统都是在时域中运行的，时域性能指标更直观，通常是采用系统时域响应曲线上的一些特征点来衡量系统性能。显然，只有对稳定的系统，研究其性能指标才有意义。,5,一、典型输入信号,6,“,典型输入信号,”,是指很接近实际控制系统经常遇到的,输入信号，在数学描述上加以理想化后，可采用较简单,的函数表达；便于数学分析且便于实验提供；还必须考,虑使系统处于最不利情况下的输入信号形式。在控制工,程中，常用的典型输入信号有以下几种,1,阶跃函数,2,.,斜坡函数（等速度函数）,3,.,加速度函数,4,.,脉冲函数,5,.,正弦函数,一、典型输入信号,7,阶跃函数如图,3-1,所示，其数学表达式为,式中，,为常数，阶跃函数的拉普拉斯变换为,。,当 时称为,单位阶跃函数,1.,阶跃函数,常记为 ，单位阶跃函数的拉普拉斯,变换为,。,一、典型输入信号,8,阶跃函数在 时有一个幅度为 的突然变化，相当于在时间 为 时将一个定常信号突然加到系统上。实际中，电源的突然接通、断开，负荷的突变等等都属于这类性质的信号。由于阶跃函数在起始时间变化十分迅速，对系统是最不利的一种输入形式。,一、典型输入信号,斜坡函数如图,3-2,所示。它的数学表达式为,式中，,R,为常数。,斜坡函数代表信号随时间的变化率为常数的一类典型信号，所以斜坡信号也称为等速度信号。斜坡函数等于阶跃函数对时间的积分，它对时间的导数就是阶跃函数。,若 则称为单位斜坡函数，单位斜坡函的拉普拉斯变换 。,2,、斜坡函数（等速度函数）,在实际中某些自动控制系统的输入信号形式接近于斜坡函数，例如跟踪直线飞行目标（如飞机、通信卫星等）的跟,踪系统，输入信号随时间逐渐增、减变化的控制系统。,9,一、典型输入信号,式中 为常数。,时称为单位加速度函数,其拉普拉斯变换为,。,加速度函数如图,3-3,所示。加速度函数等于斜坡函数对时间的积分，它对时间的导数就是,斜坡函数。,加速度函数的数学表达式为,3,、加速度函数（抛物线函数）,实际中，航天飞行器控制系统的输入信号接近于抛物线,形式，可用加速度函数近似描述。,10,一、典型输入信号,脉冲函数的数学表达式为,式中 为常数，为无穷小。脉冲函数如图,3-4,所示，图中的脉冲面积等于 ，脉冲面积 反映了脉冲的强度。当,、时，称为单位脉冲函数 ，其幅值很大（理论上为无穷大）但其面积仍是,1,。即函数是强度为,1,的脉冲信号，它满足,且 。,4,、脉冲函数,11,一、典型输入信号,并具有性质 ，式中，为时间函数。,单位脉冲函数 的拉普拉斯变换为 ，强度为 的脉冲函数可表示为 。应注意，单位脉冲函数,只有数学上的定义，在现实中并不存在，但却是在控制系统的分析中重要的数学工具。单位脉冲函数 可以认为是单位阶跃函数在间断点的导数，即,反之，函数的积分就是单位阶跃函数。,实际中输入给定信号类似脉冲函数的控制系统并不多见，但有的系统的干扰信号有类似脉冲函数的性质。,12,一、典型输入信号,正弦函数的数学表达式为,式中 为振幅，为角频率。,系统对不同频率的正弦函数输入的稳态响应称为频率响应。用它来分析和设计自动控制系统称为频域分析，详见第,5,章内容。,5,、正弦函数,13,一、典型输入信号,在控制系统的分析和综合校正中，究竟选哪一种典型函数作输入信号最为合适，取决于系统在正常工作条件下最常见的和最不利的输入信号形式。,典型输入信号的选取,对线性定常系统来说，若输入作用间存在着导数（积分）,关系，则输出响应之间也存在着相应的导数（积分）关系。因,此分析系统动态性能时，选取一种能代表系统大多数实际状况、,易于实现又便于系统分析和设计的典型输入作用下的响应进行,研究即可。,由于系统的性能主要取决于系统的结构与参数，因而无论,采用何种信号作典型输入，对同一个线性控制系统而言，尽管,得到不同的输出响应，其动态过程表征的系统性能却都是一致,的。,14,一、典型输入信号,为分析简明起见，认为控制系统的初始状态为,“,零初值,”,。,这意味着在受到外输入作用前，系统输出量 及其对时间的,各阶导数均等于零，即在 时，,系统处于相对静止状态。这符合大多数系统的实际工作情况，,研究系统的响应只需处理零状态响应，完全适合于用传递函数,来进行研究。,控制系统的初始状态,15,二、控制系统时域响应的性能指标,一般认为阶跃输入信号包含的频带宽，变化最激烈，阶跃输入对系统是最严峻的工作状态，所以阶跃响应最能体现系统性能。单位阶跃信号又是一个最简单、最容易实现的信号。如果一个系统承受阶跃输入信号且能得到较好的输出响应，则在其他输入信号（如斜坡信号等）作用时系统输出性能也能令人满意。通常将零初值条件下、系统在单位阶跃信号作用下的响应称为单位阶跃响应，并按对其定义的时域性能指标衡量控制系统性能的优劣。,控制系统的时间响应 ，由稳态响应 和动态响应,两部分组成，可表示为,。,16,二、控制系统时域响应的性能指标,稳态响应,：,也称为稳态过程，是指在典型输入信号作用下，当 时,系统的输出状态。稳态响应表征了系统输出量最终复现输入量的程度，提供控制准确性（精度）的信息，由稳态性能来描述。,研究系统响应时，必须对稳态响应和动态响应的特点、性能,及有关的指标加以探讨。稳定的系统的时域响应分析才有意义。,动态响应,：又称为过渡过程或动态过程、瞬态过程，,是指在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状,态的响应过程。随系统结构、参数不同，动态响应可能呈现为,衰减、发散或等幅振荡等不同形式；显然，能实际运行的控制,系统的动态系统必须是衰减的，即系统必须是稳定的。动态响,应提供了系统稳定性,(,平稳性,),及响应过程快速性的信息，由动,态性能描述。,17,二、控制系统时域响应的性能指标,当系统输入,时，典型的单位阶跃响应曲线 如图,3-5,所示。衡量控制系统的性能指标包括稳态性能指标和动态性能指标，各主要动态性能指标均示于图,3-5,中。,稳态误差,指稳定的系统加上给定输入或外界干扰，经过足够长的时间后，系统稳态响应的实际值与期望值之间的误差。是系统控制精度或抗干扰能力的一种度,量，评价控制系统准确性的指标。,2.,动态性能指标,（,1,）,上升时间,：,响应曲线从零上升到第一次达到终值 所需的时间。终值又称为稳态值。,1.,稳态性能指标,-,稳态误差,18,二、控制系统时域响应的性能指标,对于单调上升的过程，上升时间,定义为响应曲线从终值 的,10%,上升到终值的,90%,所需的时间。,（,4,）,最大超调量,：动态过程中响应超过终值的最大偏离,与响应终值 之比的百分数，即,（,2,）,峰值时间,：越过终,值达到第一个峰值所需时间。,（,3,）,调节时间,(,过渡过程时间,),：,响应达到并保持在终值的,5%,(,或,2%),范围内所需的最小时间。,终值 的,5%,（或,2%,）称为误差带 。,19,二、控制系统时域响应的性能指标,此外，还可用延迟时间,t,d,反映系统响应初期的快速性，延迟,时间,t,d,是指响应曲线,y,(,t,),达到其终值的,50%,所需的时间；有的系,统还用调节时间,t,s,内,y,(,t,),的振荡次数,N,反映动态过程的平稳性。,上述,t,r,和,t,p,评价系统响应速度；则说明了系统,平稳性,(,相对稳定性,),；,t,s,从总体反映系统,快速性,，,常将,和,t,s,作为,系统,主要动态性能指标,。,20,3.2,线性定常系统的稳定性及稳定判据,一、稳定的基本概念,二、线性系统稳定的充分必要条件,三、劳斯稳定判据,四、系统参数对稳定性的影响,五、系统的相对稳定性和稳定裕量,六、结构不稳定系统及其改善,21,一、稳定的基本概念,稳定性是控制系统的重要性能。控制系统能正常工作的首要条件，就是,系统在全部时间内必须是稳定的,。研究系统稳定性、分析系统稳定的条件并提出保证系统稳定的措施，是控制系统分析与设计的基本任务之一。本书只讨论线性定常系统稳定性。,在控制系统的动态特性中最首要的是绝对稳定性。如果控制,系统没有受到任何干扰作用，系统的输出量保持在某一状态上，,则系统处于平衡状态。任何系统在扰动作用下，都会偏离原有的,平衡状态。系统的稳定性问题，指的是在扰动消失后，这个系统,能否靠自身能力回到原来的平衡状态,。可由图,3-6,示例说明。,线性定常系统的稳定性可分为绝对稳定性和相对稳定性。绝,对稳定性指系统,是否稳定,。实际系统不仅必须是稳定的，还应具,备一定的,稳定程度,，即系统的相对稳定性，它是与系统动态性能,密切相关的。,22,一、稳定的基本概念,图,3-6a,所示，当摆位于平衡位置,A,时，,在外力 作用下摆偏离平衡位置,A,，当 去掉后，经过一段时间的减幅摆动后，可以重新回到,A,点，称,A,点是稳定的平衡点；反之，图,3-6b,中平衡位置,B,上的摆，如有任何外界干扰，摆离开了,B,点后，靠自身能力永,远不能再回到原平衡点,B,，,B,点称为不稳定,平衡点。上例所讲平衡状态稳定与否的概,念可推广到线性定常控制系统，我们关,心的是控制系统的运动稳定性，是系统微,分方程在不受任何外界输入作用下，系统,方程的解在时间 时的渐近行为，即,系统齐次微分方程的解。可以证明，线性,系统运动稳定性与平衡状态稳定性是,等价的。,23,一、稳定的基本概念,由此可知，线性定常系统的稳定性是去掉干扰后,系统自身的一种恢复能力，是系统的固有特性，仅取,决于系统的结构与参数，与初始条件和外作用无关。,综上所述，如果线性定常控制系统受到初始条件,的作用后，其输出量最终又返回到原来的平衡状态则,这种系统是,稳定,的。若系统受到初始条件的作用后，,其输出量随时间的推移而发散，则称该系统是,不稳定,的。如果线性定常控制系统的输出量呈现为持续不断,的振荡过程，则称其,临界稳定,。,24,二、线性系统稳定的充分必要条件,设线性定常控制系统具有一个初始平衡点。对此平衡点，当,输入信号为零时，系统的输出也为零。当干扰作用于系统时，系,统的输出就产生了偏差。以干扰消失的时刻为 ，此时系统的,输出 及其各阶导数 （）即为系统输出,的初始偏差（初始条件），而 本身就是控制系统在初始偏差,影响下的响应过程。,若系统稳定，就能以足够精确的程度恢复,到原有的平衡工作点,，即随着时间的推移，趋近于零；若系,统不稳定，则输出无法回到原平衡点。根据以上分析，可获得线,性定常系统稳定的,充分必要条件,。,设线性定常系统用,n,阶常系数微分方程来描述，即,式中 是由系统结构、参数确定的常数。,25,二、线性系统稳定的充分必要条件,对上式进行拉普拉斯变换，得到,式中,；,；,为与初始条件 （）有关的多项式。稳定性是只取决于系统结构、参数而与输入无关，分析系统稳定性时只需研究零输入下系统对初始条件的响应。令 ，得到,系统对初始条件响应（零输入响应）,若 时,则系统是,稳定,的。,设 是系统特征方程的 个互不相等根（闭环极点），则有,式中,26,二、线性系统稳定的充分必要条件,由上式可知,，,当且仅当,（）,满足,方能使闭环控制系统稳定。,由上述可得到线性定常控制系统稳定的,充分必要条件,是,线性控制系统特征方程式的所有根（）都具有,负实部,，,也即,系统闭环传递函数的所有极点都分布在 平面,虚轴以左,。,平面上的虚轴是系统稳定与否的分界，称,虚轴,为闭环控制系统的,稳定边界,。,若系统有特征根实部为零，则其 趋于常数或呈等幅振荡而不能趋于零，称系统处于临界稳定状态,无法正常工作。在经典控制理论中，只有满足,(),使 的系统才称为稳定系统，,临界稳定被认为属于不稳定范畴,。,27,二、线性系统稳定的充分必要条件,需要说明的是，实际中的线性系统都是略去不少次要因素,的线性化系统，系统参数也处于不断微小变化中，因而临界稳,定现象实际是观察不到的。不稳定系统的输出量随时间推移而,发散，但只能增大到一定程度，就会受到系统内机械限位装或,电气保护装置的限制，即受到各种非线性因素限制，系统的运,动不能再用线性微分方程描述，系统运动形态进入非线性工作,状态，增幅振荡通常转变为大幅度的持续的等幅振荡，形成非,线性系统的极限环，不属于本书讨论的范畴。,既然稳定性是指扰动消失后系统恢复到原始平衡状态的性,能，上述关于线性定常控制系统稳定的充分必要条件，也可由,零初始条件下系统对输入单位脉冲响应 在 时,衰减到零,，即由 推导得出，得到的结论完全一致。系统的零输入解、零状态解的动态分量与系统齐次微分方程的解的形式是一致的，都取决于系统特征方程的根。,28,三、劳斯稳定判据,要判定系统是否稳定并不需知道每个特征根的大小，仅需,知道所有特征根是否都具有负实部，因此寻求,不必求解出特征,根而直接判断系统稳定与否,的方法，从而产生了一系列稳定性,判据。这些稳定判据的思想和基本原理能指导控制系统的分析,和设计。其中劳斯（,Routh,）稳定判据，就是在时域分析中比,较简单而有效的稳定判据。,劳斯判据根据控制系统特征方程式的系数，应用代数方法,判断系统特征根的分布，它不但能提供线性定常系统稳定与否,的信息，还能指出在右半,s,平面和虚轴上的特征根个数。,1,系统稳定的必要条件,设系统特征方程,式中,系统的 个特征根分别为 。容易证明，系统特征根 都位于左半平面的必要条件是,29,三、劳斯稳定判据,系统特征方程 满足,或者说,阶系统特征方程具有 个正系数,。,将该特征方程因式分解为,式中，为特征方程的 个实数根，为特征方程的 对共轭复数根，且 。若闭环控制系统是稳定的，满足 ，即 ，将上述各因式相乘并展开整理为多项式形式，必定有 都为,正数。因而,系统特征方程若有系数小于零或等于零,，,则系统一定是,不稳定,的。必要条件不能判定系统稳定,只能判定系统不稳定。如果系统特征方程具有 个正系数，满足了稳定的必要条件，,系统是否稳定还须进一步由劳斯判据进行判定。,30,三、劳斯稳定判据,2,劳斯（,Routh,）稳定判据,劳斯稳定判据根据特征方程系数来确定闭环极点即闭环特征根的分布,从而判断系统是否稳定。首先根据特征方程的系数排列出劳斯表，其中 各系数 作为,劳斯表的前两行，第三行,(,行,),起的,下列形式的,各系数 是按下面的表达式计算出来的,其中,31,三、劳斯稳定判据,劳斯表中横排称为行，纵排称为列。劳斯表共有,行。,由劳斯表得到的关于系统稳定的,充分必要条件,是,劳斯表的,第一列系数全部为正值,；否则系统不稳定，且第一,列系数符号,改变次数,就是系统实部大于零的,右根个数,。,例如，三阶系统的特征方程,列出劳斯表为,由劳斯判据可知，三阶系统,稳定,的,充分必要条件,是,:,即,特征方程各系数都大于零,，,且,。,32,三、劳斯稳定判据,【,例,3-1,】,已知控制系统的特征方程为,试用劳斯判据判断系统的稳定性。,容易证明，对于一阶系统、二阶系统，特征方程各项系数都大于零就系统稳定的充分必要条件。,劳斯表第一列系数全部大于零，系统是稳定的，这个四阶系统特征,方程的所有根（即,4,个闭环极点）全都位于,s,平面左半部。,解,：,特征方程具有五个正系数，满足稳定的必要条件。列出,该系统的劳斯表判断系统是否稳定：,33,三、劳斯稳定判据,【,例,3-2,】,设系统的特征方程为,试用劳斯判据判定系统的稳定性，若不稳定则指出右根数。,解：,该系统的劳斯表为,可见，第,1,列出现了负系数，系统不稳定；第,1,列系数符号变化,2,次，说明系统有,2,个正实部的右根。,在应用劳斯判据时，可能会遇到下述特殊情况：劳斯表中,某行第,1,列系数为零，而该行其余系数不全为零；劳斯表中某行,系数全为零，致使劳斯表的计算无法继续进行。这两种情况下,系统都不稳定；列完劳斯表，可判断特征根性质。,3,劳斯判据的特殊情况,34,三、劳斯稳定判据,（,1,）,劳斯表中某行第,1,列系数为零,而该行其余系数不全为零。,【,例,3-3,】,设系统特征方程为,试用劳斯判,据分析系统的稳定性。,解：,列出劳斯表,用 代替 行第一列的,0,系数，则下一行第一列系数,为负值，因此劳斯表第,1,列系数符号改变,2,次，故该系统不稳,定且有,2,个右根。,（,2,）,劳斯表中某一行系数全为零。,这是由于系统特征方程中存,在大小相等、符号相反而对称于,s,平面坐标原点的特征根引起的。,35,三、劳斯稳定判据,【,例,3-4,】,设某系统特征方程为 ，,试用劳斯判据判断该系统的稳定性。,解：,列出劳斯表如下,用 的系数,8,、,96,代替,全零行的,0,系数，计算各系数可列,完劳斯表为,为了列出 行各项系数，由 行各项组成辅助多项式,36,三、劳斯稳定判据,上述完整的劳斯表第一列全为正，或者说第一列系数符号没有改变，说明闭环系统,没有右根,，系统处于,临界稳定,状态，,属于不稳定范畴,。求解辅助方程 ，可得到系统特征方程具有的对称于 平面坐标原点的纯虚根 和 ，对 进行因式分解可知，该系统只有一个左根 。,37,四、系统参数对稳定性的影响,劳斯判据更常用来,分析系统参数特别是系统开环开环增益 值,变化对系统稳定性的影响，从而确定使系统稳定的某个或某,12,个参数取值范围。,【,例,3-5,】,已知系统方框图，试求使系统稳定时 的取值范围。,解：,系统闭环特征方程为,本例说明：要使系统稳定，参数 不能无限增大，而有一定限值。当 时，系统临界稳定，解得临界开环增益 。对于开环传递函数不含右极零、极点的系统，通常,在 时系统稳定,；随 增大，特征根右移，系统稳定性降低；若,有特征根移至虚轴，已属不稳定范畴。,由系统稳定充要条件,可知，对本例即要求,38,四、系统参数对稳定性的影响,在系统结构确定的情况下，,值取决于组成系统各环节时间常数值。当开环传递函数 时，系统临界开环增益 ；若 ，则其,仅当系统开环传递函数 中环节时间常数值（或开环零、极点,值）改变，才能改变其 值。,解：,系统闭环特征方程为,系统稳定的充分必要条件是,整理可得系统参数取值应满足,【,例,3-6,】,设某单位反馈系统的开环传递函数为,试确定使系统稳定时取值应满足的关系。,39,五、系统的相对稳定性和稳定裕量,控制系统不仅必须稳定，还需要满足一定的相对稳定性，,即系统特征根不仅全部位于左半,平面,而且应与虚轴,(,稳定边界,),有一定距离,这个距离就称为,稳定裕量,，用以,评价相对稳定性,。,应用劳斯判据可以检验系统是否具有所需的稳定裕量,。设,要求系统所有的特征根与虚轴的距离至少为 ，令 代,入系统特征方程 即得到 ，对其判稳，若此时劳斯,表第一列系数全为正，则系统不但稳定而且所有特征根都在,平面垂线 以左,即满足所需的稳定裕量 ，否则系统达不,到预期的稳定裕度。,【,例,3-7,】,在例,3-5,的系统中,(1),若要求系统稳定裕量 ，,即系统的特征根全部位于 之左，试求 的取值范围；,(2),改变 值范围能否使系统达到稳定裕量？,解：,例,3-5,示系统的特征方程,40,五、系统的相对稳定性和稳定裕量,（,2,）,若要考查闭环极点能否全在 之左，令 代入系统特征方程,D,(,s,)=0,，整理得,（,1,）,用 代入上式整理得,s,1,为变量的特征方程,若,K,值满足充分必要条件,则可使系统具有 的稳定裕量，由上解得,K,的取值范围为,特征方程中 项系数 ，这说明在任何 值下都,无法,使,闭环极点全位于 以左，即本系统,不具备,a,=2.5,的稳定裕量,。,但劳斯判据不能回答如何使系统达到所需的稳定裕度，这是劳斯,判据在线性控制系统分析应用中的局限性。,41,六、结构不稳定系统及其改善,【,例,3-8,】,如图,3-8,所示系统，,是控制器，是被控对象,.,当采用积分控制器 时，调整参数 能否使该系统稳定？,解,:,图,3-8,所示系统的闭环特征方,程为,可见闭环特征方程中 项系数等于零，,不满足系统稳定的必要条件，因此无论,怎样调整各参数 的值都不能使系统稳定。这种仅靠调整参数无法稳定的系统称为,结构不稳定,系统。,本例说明，当系统开环传递函数中所含积分环节个数增加,时，系统稳定性降低甚至失去稳定。而要使结构不稳定系统稳,定，必须改变系统的结构。,42,六、结构不稳定系统及其改善,通常，被控对象的传递函数,G,2,(,s,),是无法更改的，只能改变,控制器传递函数,G,1,(,s,),。本例中为保证系统稳定，首先需要,给闭环特征方程补上含,s,的项，为此给控制器串联一个一,阶微分环节,T,1,s,+1,，使控制器改变为,G,1,(,s,)=,K,1,(,T,1,s,+1)/,s,，系统闭,环特征方程不再缺项：,显然还必须合理选择微分时间常数，仅当 ，系统才,能稳定。,43,3.3,控制系统的稳态误差,一、误差和稳态误差的定义,二、给定输入作用下的稳态误差,三、干扰作用下的稳态误差,与系统结构参数的关系,四、改善系统稳态精度的途径,44,一、误差和稳态误差的定义,控制系统的稳态误差是控制系统稳态精度的一种度量，是评,价系统控制准确性的重要性能指标。控制的目的就在于使误差,最小化。研究系统稳态精度的前提条件是系统必须是稳定的。,这里所说的误差是指系统原理上的误差，即系统结构和参数以,及输入形式引起的误差。,即系统的偏差信号。另一种是从,输出端定义的误差,且有,系统的,误差,定义为,被控量的希望值与其实际值之差,。图,3-9,所示系统误差有两种定义方式。一种是从输入端定义的误差,45,一、误差和稳态误差的定义,对 的,单位反馈系统,两种误差,一致,为,，,以下均讨论输入端定义的误差 。需计算非单位反馈系统输,出端误差 时，可按 折算。,根据线性系统叠加原理，图,3-9,所示系统在给定输入和干扰输入同时作用下误差信号的拉普拉斯变换为,稳定系统误差的,终值,称为,稳态误差,。,对 进行拉普拉斯反,变换，即得误差信号的时间解。实际系统必须稳定,误差信号,的稳态响应 则定义为稳态误差 。或者说在 的极,限存在时，可表示为：,显然，,系统的误差,和系统的,结构、参数,有关,也和,输入作用 的形式、幅值大小有关,。,46,一、误差和稳态误差的定义,式中 为给定输入引起的稳态误差终值，称为给定稳态误差；,为干扰输入引起的稳态误差终值，称为干扰稳态误差。且,控制系统的稳态误差因输入信号而异，通过评价系统在典,型信号作用下的稳态误差来衡量和比较系统的稳态性能。分别,计算出系统的 即可得到 同时作用下系统总的稳态,误差。,应用拉氏变换终值定理可得系统的稳态误差为,47,一、误差和稳态误差的定义,【,例,3-9,】,某系统的开环传递函数,，,其中 ；当 时，求输入端定义的稳态误差,和从输出端定义的稳态误差 各为多少？,解：,首先判断系统稳定性，写出系统特征方程,满足特征方程各项系数的条件，该系统是稳定的。,当 时，从输入端定义的稳态误,差为,由题已知 ，根据输出端定义的误差,当,=,常数时 。,48,二、给定输入作用下的稳态误差,当仅有给定输入时系统方框图如图,3-10,。,当系统只受到给定输入作用时,系统的稳态误差为,通过系统类型和静态误差系数可说明系统结构、参数对给定,稳态误差的影响，并简化的计算。,通常系统开环传递函数可表示为,1,系统的类型,式中，为系统开环增益；,49,二、给定输入作用下的稳态误差,为系统开环传递函数中所含积分环节个数，称为,系统类型,以反映系统对典型输入信号的跟踪能力。如,则系统分别称为,0,型系统、,I,型系统、,II,型系统，,。,式中 ，称为系统,静态位置误差系数,。,2.,静态误差系数与给定输入作用下系统的稳态误差,（,1,）,阶跃输入作用下的稳态误差与静态位置误差系数,阶跃输入,为阶跃函数的幅值,对于 的,型及,型系统,对于 的,0,型系统,50,二、给定输入作用下的稳态误差,（,2,）,斜坡输入作用下的稳态误差与静态速度误差系数,斜坡输入 为常数，输入斜坡函数的斜率。,式中 ，称为系统,静态速度误差系数,。,对于,0,型系统,对于,型系统,对于,型或高于,型的系统,（,3,）,加速度输入作用下的稳态误差与静态加速度误差系数,加速度输入 为常数。,式中 ，称为系统,静态加速度误差系数,。,51,二、给定输入作用下的稳态误差,对,0,型、,型,系统,对,型系统,表,3-1,概括了系统结构、参数、不同,输入形式和静态误差系数、稳态误差的,关系。,表,3-1,给定输入信号作用下的稳态误差,系统,型别,静态误差系数,阶跃输入,斜坡输入,加速度输入,位置误差,速度误差,加速度误差,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,52,二、给定输入作用下的稳态误差,【,例,3-10,】,系统方框图如图,3-13,示,，当输入信号,时，用静态误差系数法求系统的稳态误差。,解：,首先对系统进行判稳。特征方程各项系数都为正值，且满足 ，系统稳定。,系统开环传递函数 ，由表,3-1,可得,由叠加原理，总的稳态误差,53,三、,干扰作用下的稳态误差与系统结构参数的关系,控制系统除承受给定,输入 作用外，还经常受到各种干,扰信号 的作用。将破坏系统输出和给定输入间的对应,关系。干扰引起的,稳态误差 反映了系统抗干扰能力,。,作用于系统的不同位置，即使是同一形式的给定输,入和干扰输入，引起的稳态误差也不同。同一系统对同一形的,式干扰作用，也会因干扰作用点位置不同而有不同的稳态误差。,如图所示系统中，干扰 作用下,式中设 为常数,将,写为,典型环节串联,的形式,54,三、,干扰作用下的稳态误差与系统结构参数的关系,若 ，则,。这说明,欲使阶跃干扰引起的稳态误差为零，必须在保证系统稳定的前提下，在误差信号与干扰作用点之间,的环节 中设置一个积分环节，以满足 。若在环节,中设置两个积分环节，,且系统稳定，则斜坡干扰引起的稳,态误差也为零。,综上所述，,能否消除 取决于 ，而与 无关；,对于从,输入端定义的误差，可称 是干扰输入作用时的,系统类型,。,则有,式中若,、,；,55,三、,干扰作用下的稳态误差与系统结构参数的关系,【,例,3-11,】,图,3-14,示位置随动控制系统，采用比例控制器 。,（,1,）,求系统在负载转矩阶跃干扰 下的稳态误差,（,2,）,如何设置环节 中的积分环节以满足,消除上述？,并求当干扰输入为单位斜坡转矩 时系统的稳态误差。,解,:,（,1,）,当采用,比例,控制规律时,对,给定输入是,型系统,，,对干扰输入却是,0,型,系统。由图,3-14,知,可见比例,（,P,）,控制的位置随动系统在阶跃转矩干扰下是,有,差,的。增大 减小但无法消除,且使系统相对稳定性下降,。,（,2,）,欲消除阶跃干扰引起的,应该采用,比例积分,（,PI,）,控制器,注意选取适当的 值，仅当 时系,统稳定。,56,三、,干扰作用下的稳态误差与系统结构参数的关系,采用比例积分,(PI),控制的转速控,制系统如图,3-15,。阶跃干扰作用下,在单位斜坡转矩干扰作用下,【,例,3-12,】,系统如图,3-16,所示,。输入 、,干扰,求,系统总的稳态误差。,，,，,解：,系统开环传递函数中 ，对给定输入为,型系统，,，当 时，。对干扰来,说，所以 。系统,在 同时作用下,总的稳态,误差,57,四、改善系统稳态精度的途径,增加系统开环积分环节个数（提高系统类型）、增大,值,可提高系统跟踪给定输入的能力，减小 ，提高稳态精度；增,加误差信号与干扰作用点之间的环节 中积分环节个数 、,增大 值，可提高系统抑制干扰影响的能力，减小 。但这两,种方法都和系统的稳定性发生矛盾。增大，系统稳定性降,低，响应过程振荡加剧，甚至失去稳定；提高系统型别 同,样使系统稳定性降低，甚至成为结构不稳定系统。因此在性能,要求较高的场合，既要求高的稳态精度又要求良好的动态性能，,可采用,前馈控制和反馈控制相结合,的,复合控制系统,，既对误差,行了补偿又不影响系统的稳定性，是改善系统控制精度的,有效,方法，,详见第,6,章。,58,3.4,控制系统的动态性能分析,一、,一阶系统的时域分析,二、二阶系统的时域分析,三、,高阶系统的时域分析,59,3.4,控制系统的动态性能分析,一个稳定的系统具有满足需要的稳态精度外，还必须具,有良好的,动态性能,，它描述的是系统动态响应的,平稳性,和,快,速性,。实际中控制系统多是高阶的，高阶系统可以视为由一,阶、二阶系统和少数闭环零点组合而成，并且在大多数情况,下高阶系统可以近似为一阶系统或二阶系统，因此，研究一,阶系统，特别是深入研究二阶系统的性能是有普遍意义的。,60,一、一阶系统的时域分析,由一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。一些控制装,置的元件或部件，一些简单的控制系统如发电机、加热器、液,位控制系统等都是一阶系统，电路中简单的,RC,网络也属于一阶,系统。有的高阶系统的特性也可用一阶系统特性来近似。,式中，,T,称为一阶系统的,时间常数,，,T,=1/,K,，,K,是前向通道中积分环节的比例系数。时间常数,T,是表征系统,惯性的一个重要参数，当一阶系统作为复杂系统中的一个环节,时也称为惯性环节。对物理性质不同的一阶系统，,T,都具有时间,量纲。一阶系统只有一个实极点,s,=-1/,T,。,典型一阶系统的方框图如图,3-17,所示，前向通道中,闭环传递函数为,61,一、一阶系统的时域分析,过,t,=0,作,y,(,t,),的切线与,y,(,),交点,(,图中,A,点,),对应的,t,=,T,而 。,y,(,t,),值和时间常数,T,的对应关系见表,3-3,，可用以确定被测系,统是否为一阶系统,。,1,一阶系统的单位阶跃响应,当 时,进行拉普拉斯反变换，得到单位阶跃响应,式中，,y,1,(,t,)=1,为阶跃响应的稳态分量，它等于,r,(,t,)=1(,t,),的幅值。,为阶跃响应的动态分量，显然,。,单位阶跃响应曲线,y,(,t,),如图,3-18,所示，,t,=0,时,y,(,t,),的斜率最大,62,一、一阶系统的时域分析,一阶系统的单位阶跃响应没有超调，不存在峰值时间。单,位阶跃响应的动态性能指标主要是调节时间,典型一阶系统单位阶跃响应稳态分量 ，,e,ssr,=0,。,与,典,型一阶系统是,型系统,稳态下准确复现,r,(,t,)=,R,1(,t,),的结论一致。,【,例,3-13,】,一阶系统当 时,的响应为,试求该系统单位阶跃响应的调节时间（）。,解：,由已知条件，有,由此可得系统的,传递函数,系统,时间常数,，该系统单位阶跃响应,调节时间,。,，,63,一、一阶系统的时域分析,【,例,3-14,】,一阶系统方框图如图,3-19,，试求系统单位阶跃,响应的调节时间,。,如果要求 ，试求反馈系数值。,解：,系统闭环传递函数,故知系统的时间常数,调节时间,分子为,5,，表明系统放大系数为,5,。误差带,是用稳态,值的百分数来定义的，故系统放大系数值不影响 的求取。若,要求 ，可令反馈系数为 ，此时系统闭环传递函数为,和标准形式相比得 。,要求 ，则由 ，解得 。,64,一、一阶系统的时域分析,2,一阶系统的单位斜坡响应,式中，为稳态分量；为动态分量，且 。一阶系,统单位斜坡响应曲线如图,3-20,所示。典型一阶系统斜坡响应存,在位置上的稳态误差 。,可见时间常数 越小，不仅响应的快,速性越好，跟踪斜坡输入的稳态误差,也越小。,输入单位斜坡函数时,故单位斜坡响应,65,一、一阶系统的时域分析,单位脉冲响应的拉普拉斯变换为,对其进行反变换得单位脉冲响应,典型一阶系统单位脉冲响应曲线如图,3-21,所示。,当,不存在稳态分量；时间常数越小,响应的快速性,越好。,3,一阶系统的单位脉冲响应,66,二、二阶系统的时域分析,二阶系统的典型结构如图,3-22,所示。,前向通道中由积分环,节和惯性环节串联组成的单位负反馈系统，称为典型二阶系,统。系统的开环传递函数,典型二阶系统闭环传递函数的标准形式,二阶系统的动态特性由参数,描述，其中 称为二阶,系统的,阻尼比,，称为二阶系统的,无阻尼自然振荡角频率,。且,有 、，其中 是系统的开,环增益，常常是系统的唯一可调参数。特征参数 和系统,的物理参数的关系随实际系统的不同而异。,1,二阶系统的数学模型,67,二、二阶系统的时域分析,二阶系统特征方程为,其特征根（闭环极点）为,系统闭环极点及时间响应特点完全取决于特征参数 。,2,二阶系统的单位阶跃响应,不同,值时系统特征根分布如图,3-23,所示,1,）,当,系统有两个不相等的负实根，称为,过阻尼,状态。,2,）,当 系统有两个相等的负实根，称为,临界阻尼,状态。,3,）,当 时过程系统有一对共轭复根，系统的单位阶,跃响应具有衰减振荡特性，称为,欠阻尼,状态。,68,二、二阶系统的时域分析,4,）,当,系统有一对共轭纯虚根，系统单位阶跃响应作等幅,振荡，称为,无阻尼或零阻尼,状态。显然，系统处于临界稳定状态，,已属不稳定范畴。,5,）,若 ，则闭环特征根 ，二阶系统将具有两个位于,右半,s,平面的特征根，此时的二阶系统不稳定，系统单位阶跃响,应呈振荡发散（图,3-23,中,5a,阻尼比 为右复根）或单调发,散（图,3-23,中,5b,阻尼比 为右实根），显然,负阻尼,系统,不稳,定,，无实用价值。,69,二、二阶系统的时域分析,，系统特征根,令 ，称为过阻尼二阶系统的时间,常数，且 。过阻尼二阶系统单位阶跃响应为,（,1,）过阻尼,(),二阶系统单位阶跃响应及动态过程分析,表明，过阻尼二阶系统的单位阶跃响应的,稳态分量为,1,，这说,明,在 作用下 ；,动态分量则包含两个单调衰减的指数项,与稳态分量,1,共同组成了系统,非周期的过阻尼响应过程,，,阻尼比,越大,，非周期过程进行,越缓慢,。,对调节时间 进行近似估算：当 远大于,1,时，可略去 对系统响应的影响；,当 时,，近似认为,。,过阻尼二阶系统可,视为一阶系统,。,70,二、二阶系统的时域分析,（,2,）,临界阻尼,(),二阶系统单位阶跃