工学虚位移原理.pptx

NCEPU第第12章章 虚位移原理虚位移原理12-1 虚位移与虚功虚位移与虚功12-2 虚位移原理虚位移原理12-3 虚位移原理应用虚位移原理应用NCEPU2024/4/17 周三理论力学2一、静力学问题研究方法一、静力学问题研究方法1.两种研究方法两种研究方法 几何静力学：几何静力学：刚体静力学刚体静力学用用几几何何的的方方法法研研究究刚刚体体的的平平衡衡；只只考考虑虑约约束束的的力力的的作用方面，直接研究主动力和约束反力的关系。作用方面，直接研究主动力和约束反力的关系。分析静力学分析静力学考考虑虑约约束束的的限限制制运运动动方方面面，通通过过主主动动力力在在约约束束所所容容许的微小位移上的元功，揭示质点系的平衡条件。许的微小位移上的元功，揭示质点系的平衡条件。12-1 虚位移与虚功虚位移与虚功NCEPU2024/4/17 周三理论力学3一、静力学问题研究方法一、静力学问题研究方法2.刚体静力学：刚体静力学：一般的求解步骤一般的求解步骤:(1)选取研究对象，取分离体；选取研究对象，取分离体；(2)进行受力分析，画受力图；进行受力分析，画受力图；(解除约束，代之以约束反力解除约束，代之以约束反力)(3)建立平衡方程；建立平衡方程；(4)求解平衡方程。求解平衡方程。存在的问题：存在的问题：求解过程中，需要把某些约束反力从方程中消去，以达到求解过程中，需要把某些约束反力从方程中消去，以达到求解的目的。求解的目的。先建立主动力与约束反力的关系，随后又消去某些约束反先建立主动力与约束反力的关系，随后又消去某些约束反力的方法，常给解题过程带来麻烦，尤其是复杂系统。力的方法，常给解题过程带来麻烦，尤其是复杂系统。12-1 虚位移与虚功虚位移与虚功NCEPU2024/4/17 周三理论力学4一、静力学问题研究方法一、静力学问题研究方法3.分析静力学：分析静力学：方法：方法：应用应用虚位移原理虚位移原理处理刚体或刚体系统的平衡问题。处理刚体或刚体系统的平衡问题。基本思想：基本思想：以以整整个个系系统统为为研研究究对对象象，根根据据约约束束的的性性质质，分分析析整整个个系系统统可可能能产产生生的的运运动动，通通过过主主动动力力在在约约束束所所容容许许的的微微小位移上的元功，揭示质点系的平衡条件。小位移上的元功，揭示质点系的平衡条件。优势：优势：在在求求解解过过程程中中，无无须须解解除除约约束束，只只有有在在需需要要求求解解约约束束反力（包括内力）时，才有针对性地解除约束。反力（包括内力）时，才有针对性地解除约束。12-1 虚位移与虚功虚位移与虚功NCEPU2024/4/17 周三理论力学5二、二、约束与约束方程约束与约束方程在在第第一一篇篇静静力力学学中中，曾曾讨讨论论过过约约束束，分分析析的的侧侧重重点是：点是：如何将约束对物体的限制作用以约束反力形式表现出来如何将约束对物体的限制作用以约束反力形式表现出来。在在本本章章中中讨讨论论约约束束，要要为为虚虚位位移移原原理理、分分析析力力学学作准备，分析的侧重点是：作准备，分析的侧重点是：如如何何将将约约束束对对物物体体的的位位置置、形形状状以以及及运运动动的的限限制制作作用用，以解析表达式的形式表现出来以解析表达式的形式表现出来。12-1 虚位移与虚功虚位移与虚功NCEPU2024/4/17 周三理论力学61.约束约束 约约束束是是限限制制物物体体运运动动的的条条件件，是是非非自自由由质质点点系系受受到到的的预预先给定的限制。先给定的限制。质点系分为：质点系分为：自自由由质质点点系系：质质点点的的运运动动状状态态(轨轨迹迹、速速度度等等)只只取取决决于作用力和运动的初始条件，其运动称为自由运动。于作用力和运动的初始条件，其运动称为自由运动。非非自自由由质质点点系系：质质点点系系的的运运动动状状态态受受到到某某些些预预先先给给定定的的限限制制(运运动动的的初初始始条条件件也也要要满满足足这这些些限限制制条条件件)，其其运动称为非自由运动。运动称为非自由运动。2.约束方程约束方程 用数学方程来表示的限制条件称为用数学方程来表示的限制条件称为约束方程约束方程。12-1 虚位移与虚功虚位移与虚功NCEPU2024/4/17 周三理论力学7 xyolMlABxoyr3.约束的分类约束的分类(1)几何约束和运动约束几何约束和运动约束 几何约束几何约束：只限制质点或质点系在空间的位置。：只限制质点或质点系在空间的位置。12-1 虚位移与虚功虚位移与虚功NCEPU2024/4/17 周三理论力学8Cxoy运动约束方程瞬心CMMxCrPvC对对质质点点或或质质点点系系不不仅仅有有位位移移方方面面的的限限制制，而而且且有有速速度度或或角角速速度方面的限制。度方面的限制。车车轮轮在在直直线线轨轨道道上上作作纯纯滚滚动动，轨轨道道限限制制轮轮心心作作直直线线运运动动，且且滚滚过过的的弧弧长长等等于于轮轮心心走走过过的的距距离。离。轮轮C在在水水平平轨轨道道上上纯纯滚滚动动的的条条件件表达为表达为或 运动约束：运动约束：当质点系运动时受到的某些运动当质点系运动时受到的某些运动 条件的限制。条件的限制。12-1 虚位移与虚功虚位移与虚功NCEPU2024/4/17 周三理论力学9xyolMv前面所列的单摆、曲柄连杆机构及车轮前面所列的单摆、曲柄连杆机构及车轮的约束均为的约束均为定常约束定常约束；而对于变摆长的单摆则为而对于变摆长的单摆则为非定常约束。非定常约束。其中摆锤其中摆锤M可简化为质点，软线是摆锤可简化为质点，软线是摆锤的约束，初始长度为的约束，初始长度为l0，穿过固定的小穿过固定的小圆环，以不变的速度圆环，以不变的速度v向左下方拉拽。向左下方拉拽。在任意瞬时在任意瞬时t，其约束方程为其约束方程为(2)定常约束和非定常约束定常约束和非定常约束 定常约束定常约束(稳定约束稳定约束)：约束方程中不显含时间约束方程中不显含时间 t。f(x,y,z)=0 非定常约束非定常约束(不稳定约束不稳定约束)：约束方程中显含时间约束方程中显含时间 t。f(x,y,z,t)=012-1 虚位移与虚功虚位移与虚功NCEPU2024/4/17 周三理论力学10(3)双面约束和单面约束 双面约束(固执约束)：如果约束不仅限制质点在某一方向的运动，而且能限制其在相反方向的运动。单面约束(非固执约束)：如果约束仅限制质点在某一方向的运动。如单摆刚性摆杆约束不可伸长的绳约束双面约束单面约束约束方程：12-1 虚位移与虚功虚位移与虚功NCEPU2024/4/17 周三理论力学11(4)完整约束和非完整约束完整约束：约束方程中不含导数或可积分为有限形式。非完整约束：约束方程含导数且不可积分，即约束方程总是微分形式。本章只讨论：完整的、定常的、双面的、几何约束！12-1 虚位移与虚功虚位移与虚功NCEPU2024/4/17 周三理论力学12二、二、虚位移虚位移1.实位移实位移：真实位移：真实位移质质点点在在空空间间运运动动时时，经经过过无无限限小小时时间间间间隔隔后后，在在满满足足约约束束条条件下，质点产生的无限小位移件下，质点产生的无限小位移dr。2.虚位移虚位移在在某某瞬瞬时时，质质点点系系在在约约束束所所允允许许的的条条件件下下，可可能能实实现现的的、任任何的无限小位移何的无限小位移 r。虚位移的特点：虚位移的特点：虚位移仅与约束条件有关，是虚位移仅与约束条件有关，是纯粹的几何量。纯粹的几何量。与实位移相比：与实位移相比：虚位移是无限小的位移；实位移可为无限小，也可为有限值；虚位移是无限小的位移；实位移可为无限小，也可为有限值；虚位移是假想的位移，与时间、力、质点系的运动情况无关；虚位移是假想的位移，与时间、力、质点系的运动情况无关；在稳定几何约束下，质点系无限小的实位移是其虚位移之一。在稳定几何约束下，质点系无限小的实位移是其虚位移之一。12-1 虚位移与虚功虚位移与虚功NCEPU2024/4/17 周三理论力学13二、二、虚位移虚位移 虚位移常用虚位移常用 r、x、s、等表示；等表示；关于符号关于符号：为为等时变分算子符号（变分符号）；等时变分算子符号（变分符号）；表示无限小的变更；表示无限小的变更；运算规则与微分算子运算规则与微分算子“d”的的 运算规则相同。运算规则相同。综上所述：综上所述：实位移是力学现象；实位移是力学现象；虚位移是几何概念。虚位移是几何概念。二者差别很大二者差别很大。12-1 虚位移与虚功虚位移与虚功NCEPU2024/4/17 周三理论力学14MM在图示瞬时，物块在图示瞬时，物块M在在dt内发生的内发生的无限小的实位移无限小的实位移dr沿斜面向下。沿斜面向下。物物块块M的的虚虚位位移移可可以以是是沿沿斜斜面面向向下下的的r1，也也可可以以是是沿沿斜斜面面向向上上的的r2，因因为为r1，r2都都是是约约束束所所容容许的。许的。drr1r2例例1 物块物块M置于固定斜面上，斜面对物块置于固定斜面上，斜面对物块M的约束是的约束是定常约束定常约束。分析其实位移和虚位移。分析其实位移和虚位移。可见可见，在在定常几何约束定常几何约束下，质点系下，质点系无限小的实位移是其虚位移之一。无限小的实位移是其虚位移之一。12-1 虚位移与虚功虚位移与虚功NCEPU2024/4/17 周三理论力学15三、虚功质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功称为虚功，用W表示。Fmr设质点m的虚位移为r，力F在虚位移上所作的虚功为 W=F r=Fr cos12-1 虚位移与虚功虚位移与虚功NCEPU2024/4/17 周三理论力学16滑块的虚位移为滑块的虚位移为rB，AB设曲柄的虚位移为设曲柄的虚位移为 M W=FrB力偶力偶 M 的虚功：的虚功：W=M 力力 F 的虚功：的虚功：例例2 曲曲柄柄滑滑块块机机构构在在力力偶偶M和和力力F的的作作用用下下处处于于平平衡衡。试试分分析析虚功。虚功。xoyF于是，于是，虚位移是虚设的，虚功也是虚设的元功，虽然与力在实位移虚位移是虚设的，虚功也是虚设的元功，虽然与力在实位移中的元功符号相同，但有着本质的区别。中的元功符号相同，但有着本质的区别。rB12-1 虚位移与虚功虚位移与虚功NCEPU2024/4/17 周三理论力学17M Nr四、理想约束在质点系的任何虚位移中，如果约束反力所作的虚功之和等于零，这种约束称为理想约束。若质点系中任意质点Mi，受约束反力Ni，虚位移ri，则理想约束的条件为12-1 虚位移与虚功虚位移与虚功NCEPU2024/4/17 周三理论力学18M Nr四、理想约束理想约束举例：12-1 虚位移与虚功虚位移与虚功光滑铰支座或光滑轴承N r光滑接触面W=N r=0NCEPU2024/4/17 周三理论力学19光滑铰链连接纯滚动刚体的固定面约束N N rA C FTN DG 四、理想约束理想约束举例：12-1 虚位移与虚功虚位移与虚功NCEPU2024/4/17 周三理论力学20BArB理想刚体柔性体约束rBrAABrATB TA rA cos=rBcosNANB四、理想约束理想约束举例：12-1 虚位移与虚功虚位移与虚功NCEPU2024/4/17 周三理论力学21一、虚位移原理具有完整、双面、定常、理想约束的质点系，在给定位置保持平衡的必要和充分条件是：所有作用于该质点系上的主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。矢量式 解析式虚功原理虚功方程静力学普遍方程12-2 虚位移原理虚位移原理 NCEPU2024/4/17 周三理论力学22Fi -主动力的合力Ni -约束反力的合力则 Fi+Ni=0 (i=1,2,n)WFi+WNi=(Fi+Ni)ri=0n个方程求和得系统的约束为理想约束，Niri=00虚功原理的证明：虚功原理的证明：1.必要性必要性质点系平衡质点系平衡12-2 虚位移原理虚位移原理设质点系由设质点系由n个质点组成，个质点组成，第i个质点Mi平衡，受力有NCEPU2024/4/17 周三理论力学23质点系平衡反证法：设质点系由n个质点组成，作用于该质点系的主动力在给定的位置的任意虚位移中所作的虚功之和等于零，但该质点系不平衡，即至少有一个质点Mj不平衡:Fj+NjRj0由静止开始运动，质点Mj实位移drj应沿着Rj的方向该质点的合力在实位移中的元功为 Rjdrj=(Fj+Nj)drj0质点系受定常约束，drj rj(Fj+Nj)rj0 Firi0这与假设矛盾！质点系必然平衡。虚功原理的证明：2.充分性：12-2 虚位移原理虚位移原理NCEPU2024/4/17 周三理论力学24例3 螺旋千斤顶中，旋转手柄OA=l=0.6m，螺距h=12mm。在OA的水平面内作用一垂直手柄的力P=160N，不计各处摩擦。试求举起重物B的重量。WAolPBNCEPU2024/4/17 周三理论力学25例3WrA l解：千斤顶受理想约束，给P力点A虚位移 rA=l相应地W力点B有rB由虚功方程WF=0Pl WrB=0约束条件为：手柄旋转一周，顶杆上升一螺距。rB:=h:2AoPrB所以有可知，当P=160N时，能举起50.27KN的重物，是P 的314倍！NCEPU2024/4/17 周三理论力学26例4 曲柄滑块机构如图，已知曲柄OA=r，连杆AB=l，曲柄上作用力偶M，滑块上作用力P。求系统在图示位置平衡时，M与P的关系。ABxoyPMNCEPU2024/4/17 周三理论力学27rB解：系统受理想约束作用，给OA以虚位移，相应地滑块B有rB由 WF=0PrB M =0，求虚位移间的关系法一rArAAB=rBAB r cos90()=rB cosMABxoyP且rA=r90()例4NCEPU2024/4/17 周三理论力学28 vA cos90()=vBcosABxoyrB90()法二用虚速度法。由速度投影定理vAAB=vBAB例4NCEPU2024/4/17 周三理论力学29讨讨 论：论：建立虚位移之间关系的方法建立虚位移之间关系的方法作作图图给给出出机机构构的的微微小小运运动动，直直接接由由几几何何关关系系来来定；定；选选一一坐坐标标(自自变变量量)，给给出出各各主主动动力力作作用用点点的的坐坐标标方方程程，求求变变分分，各各变变分分间间的的比比例例即即为为虚虚位位移移间的比例；间的比例；“虚虚速速度度”法法(点点的的合合成成运运动动、平平面面运运动动基基点点法、速度投影法、瞬心法等法、速度投影法、瞬心法等)。12-2 虚位移原理虚位移原理NCEPU2024/4/17 周三理论力学30二、自由度和广义坐标1.自由度在完整约束的条件下，确定质点系位置的独立参数的个数等于该质点系的自由度数。(1)以质点作为质点系基本单元质点系由n个质点、s个完整约束组成，则其自由度为k=3n s对平面问题，如Oxy平面内，zi0，则k=2n sxyolM如单摆，n=1，s=1 k=211=112-2 虚位移原理虚位移原理NCEPU2024/4/17 周三理论力学31C二、自由度和广义坐标1.自由度(2)以刚体作为质点系基本单元质点系由n个刚体、s个完整约束组成，则其自由度为k=6n-s对平面问题，如Oxy平面内，zi0，x0，y0，则 k=3n-sx oyxCPvCyC=rvCr=0如轮C在水平轨道上纯滚动刚体数 n=1约束数 s=2 自由度数为k=31-2=112-2 虚位移原理虚位移原理NCEPU2024/4/17 周三理论力学32再如平面双摆由刚体OA、AB及铰链O、A组成。刚体数 n=2约束数 s=4自由度数为 k=324=2约束方程xyoAB 1 2l1l212-2 虚位移原理虚位移原理NCEPU2024/4/17 周三理论力学33二、自由度和广义坐标2.广义坐标广义坐标:确定质点系位置的独立参数。确定质点系位置的独立参数。在完整约束的质点系中，广义坐标的数目等于该系统的自在完整约束的质点系中，广义坐标的数目等于该系统的自由度数。由度数。xoylrAB如曲柄连杆机构有一个自由度，可任选xA、yA、xB之一为广义坐标，而选 更方便。12-2 虚位移原理虚位移原理NCEPU2024/4/17 周三理论力学34二、自由度和广义坐标2.广义坐标:再再如如平平面面双双摆摆有有两两个个自自由由度度，选选 1、2为为广广义义坐坐标标比较合适。比较合适。约束方程约束方程:xyoAB 1 2l1l212-2 虚位移原理虚位移原理NCEPU2024/4/17 周三理论力学35推广可得：推广可得：若质点系有若质点系有n个质点，个质点，s个完整约束组成，则自由度为个完整约束组成，则自由度为k=3n-s。选广义坐标选广义坐标q1，q2，qk，则各质点的矢径和坐标：，则各质点的矢径和坐标：求变分得到qj 称为广义虚位移。12-2 虚位移原理虚位移原理质点在直角坐标中的虚位移与广义坐标中的虚位移之间的关系NCEPU2024/4/17 周三理论力学36将式代入虚功方程三、以广义坐标表示的质点系平衡条件12-2 虚位移原理虚位移原理交换求和顺序对应于广义坐标qj的广义力。以广义坐标表示的质点系平衡条件NCEPU2024/4/17 周三理论力学37广义虚位移qk相互独立，若上式成立，则理想约束条件下，质点系平衡的充分必要条件是：对应于每一个广义坐标的所有的广义力都等于零。12-2 虚位移原理虚位移原理三、以广义坐标表示的质点系平衡条件NCEPU2024/4/17 周三理论力学38五、计算广义力的方法1.解析法：用公式直接计算解析法：用公式直接计算2.几何法：几何法：令令qj0，其余各广义坐标均不给虚位移，则，其余各广义坐标均不给虚位移，则12-2 虚位移原理虚位移原理NCEPU2024/4/17 周三理论力学39例例5 已已知知图图示示双双摆摆中中均均质质杆杆OA的的长长度度、重重量量分分别别为为l1、W1，AB的的长长度度、重重量量分分别别为为l2、W2，并并在在B端端作作用用一一水水平平力力P。试试求求此此双双摆摆在在铅铅直直面面内内的的平衡位置。平衡位置。xyPW1W2oAC1C2B12NCEPU2024/4/17 周三理论力学40解:方法一PW1W2xyO12双摆是两个自由度系统，取 1、2为广义坐标，则取固定坐标系Oxy，求变分得：BAC1C2各主动力在坐标轴上的投影为X1=W1，X2=W2，YB=P 例例5NCEPU2024/4/17 周三理论力学41即 1、2彼此独立，上式中1、2前的系数项分别为零解得P12BAC1C2xyoW1W2即由虚功方程例例5NCEPU2024/4/17 周三理论力学4412-3 虚位移原理的应用虚位移原理的应用虚位移原理的应用：虚位移原理的应用：已已知知质质点点系系处处于于平平衡衡状状态态，求求主主动动力力之之间间的关系或平衡位置。的关系或平衡位置。已已知知质质点点系系处处于于平平衡衡状状态态，求求其其内内力力或或约约束反力。束反力。NCEPU2024/4/17 周三理论力学4512-3 虚位移原理的应用虚位移原理的应用求解步骤和要点：求解步骤和要点：(1)正确选取研究对象正确选取研究对象以以不不解解除除约约束束的的理理想想约约束束系系统统为为研研究究对对象象，系系统统至至少少有有一一个个自自由由度度。若若系系统统存存在在非非理理想想约约束束，如如弹弹簧簧力力、摩摩擦擦力力等等，可可把把它它们们计计入入主主动动力，则系统又是理想约束系统，可选为研究对象。力，则系统又是理想约束系统，可选为研究对象。若若要要求求解解约约束束反反力力，需需解解除除相相应应的的约约束束，代代之之以以约约束束反反力力，并并计计入入主主动动力力。应应逐逐步步解解除除约约束束，每每一一次次研研究究对对象象只只解解除除一一个个约约束束；将将一一个约束反力计入主动力，增加一个自由度。个约束反力计入主动力，增加一个自由度。(2)正确进行受力分析正确进行受力分析画画出出主主动动力力受受力力图图，包包括括计计入入主主动动力力的的弹弹簧簧力力、摩摩擦擦力力和和待待求求约约束束反力。反力。(3)正确进行虚位移分析，确定虚位移之间的关系正确进行虚位移分析，确定虚位移之间的关系。(4)应用虚位移原理建立方程。应用虚位移原理建立方程。(5)解虚功方程，求出未知数。解虚功方程，求出未知数。NCEPU2024/4/17 周三理论力学46例6 图示机构中，当曲柄OC绕O轴摆动时，滑块A沿OC滑动，从而带动杆AB沿铅直槽K滑动。OC=a，OK=l，在C点垂直曲柄作用一力Q，AB上作用力P沿AB方向。求机构在图示位置平衡时力Q、P的关系。BCAOKlQPNCEPU2024/4/17 周三理论力学47BCAOKl解：给杆OC以虚位移rB虚功方程为Q以OC为动系，A为动点，则有虚速度合成式为B点有虚位移rB，相应地C点有虚位移 PAB杆作平动于是得例6NCEPU2024/4/17 周三理论力学48例7 已知三铰拱上作用有集中载荷P及力偶M。求B支座的约束反力。分析：分析：三铰拱是受完全约束的系统，必须解除部分约束，赋予运动自由度，才能应用虚位移原理。PABCaaaDMNCEPU2024/4/17 周三理论力学49PMABCaaaD解：(1)求B铰水平约束力：给虚位移FBxC根据虚位移原理，有(AC作定轴转动；BCD作平面运动，瞬心为C。)解除B支座的水平约束，代之以水平反力FBx。例例7NCEPU2024/4/17 周三理论力学50aPMABCaaD已求得FBy根据虚位移原理，有(AC作定轴转动；BCD作平面运动，瞬心为A。)(2)求B支座的垂直约束反力：则相应有解除B铰的垂直约束，代之以垂直反力Fby给虚位移解得例例7NCEPU2024/4/17 周三理论力学51例例8 图图示示ABCD为为一一静静定定连连续续梁梁，作作用用于于其其上上的的载载荷荷M=5kN，P1=P2=4kN，q=2kN/m，=30，l=2m。求求支座支座A的反力。的反力。P2P1llllABCDEqMNCEPU2024/4/17 周三理论力学52解:将固定端约束解除，(1)给xA，而令yA、A=0，则 xB=xA虚功方程为XAxAP1cosxA0(XAPlcos)xA0XA P1cos 3.46 kNxAxBxDP2P1llllqABCDMEABDCP2P1EqM代之以约束反力，并视为主动力。XAMAYA例例8NCEPU2024/4/17 周三理论力学53yBYAABDCEMAXAP2P1qMyAyEyD(2)给yA，而令xA、A=0，则yA =yE=yB ，yC =0yB=l =yD，YAyA(YA 2ql P1sin+P2)yA0YA=2ql+P1sinP26.0 kN虚功方程为已求得XA3.46 kN+2qlyE+P1sinyB P2yD0llll例例8NCEPU2024/4/17 周三理论力学54已求得XA3.46 kN，YA6.0 kN(3)给，令xA、yA=0，则yE=l,yB=2lyC =0，MA(MA+M2ql22lP1sin+2lP2)0虚功方程 MAM2ql22lP1sin2lP23.0 kNmyDyBllllYAABDCEXAP1qMP2MAyEyD=l=2l M+2qlyE+P1sinyBP2yD0例例8NCEPU2024/4/17 周三理论力学55例例9 图图示示机机构构中中各各杆杆之之间间均均用用铰铰连连连连接接，杆杆长长AE=BD=2l，DH=EH=l。D、E间间连连着着一一刚刚度度系系数数为为K、原原长长为为l的的弹弹簧簧，杆杆和和弹弹簧簧的的自自重重及及各各处处摩摩擦擦均均不不计计。今今在在铰铰链链H上上加加一一力力Q，使机构处于静止平衡状态。试确定，使机构处于静止平衡状态。试确定Q与与的关系。的关系。ABHEDQKCNCEPU2024/4/17 周三理论力学56ABHEDQCF Fxy解：这是单自由度机构。取为广义坐标。解除弹簧约束，代之以弹性力F、F，并视为主动力。由 WF=0QyyH+FxxE+FxxD=0K求变分得各主动力作用点的坐标为弹簧的伸长量为=2lcosl=(2cos1)l 弹性力的大小为 F=F=k=k l(2cos1)例例9NCEPU2024/4/17 周三理论力学57代入虚功方程得Q3lcos 2kl(2cos 1)sin 3Qcos=0于是得平衡时Q与应满足的关系为：各主动力在坐标轴上的投影为KABHEDQCF Fxy已求得F=F=k l(2cos1)kl(2cos 1)(2lsin)=0例例9