材料力学第四章_截面的几何性质.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,截面几何性质,Geometrical Properties of An Area,截面几何性质：,与截面形状和尺寸有关的几何量。,截面几何性质,拉伸：,扭转：,本次课主要内容,静矩和形心,惯性矩和惯性半径,惯性积,平行移轴公式,转轴公式主惯性轴,y,z,o,y,z,o,A,z,y,C,1.静矩(一次矩),2.形心,I.1,静矩和形心,结论：,1、,S,z,=0,z,轴是形心轴,2、对称轴必定是形心轴,C,y,z,z,o,y,z,-y,3.组合截面的静矩和形心,y,z,z,o,y,A,1,A,2,A,n,静矩,(,y,i,z,i,),试求图示曲线,下的面积OAB对于y轴的静矩,S,y,和形心位置,x,c,x,y,A,o,b,h,B,x,dx,dA,C,x,c,解：,【例题 1】,面积,形心,C,x,c,b,h,三角形,C,x,c,b,h,矩形,C,x,c,b,h,二次抛物线,C,x,c,b,h,三次抛物线,C,x,c,b,h,二次抛物线,b,x,c2,C,2,x,c,h,C,C,1,x,c,1,负面积法,x,y,o,1.惯性矩（二次轴矩）,惯性矩恒为正值,2.惯性半径,I.2 惯性矩和惯性半径,y,z,z,o,y,A,y,z,z,o,y,截面对任意一对互相垂直的轴的惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。,3.极惯性矩（二次极矩）,试计算图示矩形对其对称轴的惯性矩。,C,y,z,b,h,z,dz,解：,【例题 2】,【例题 3】,试计算图示圆形对其形心轴的惯性矩和极惯性矩。,解：,y,z,D,C,d,4.组合截面的惯性矩和极惯性矩,y,z,z,o,y,A,1,A,2,A,n,y,z,D,d,C,【例题 4】,试计算图示圆环对其形心轴的惯性矩和极惯性矩。,能否用同样的办法计算抗扭截面系数？,惯性积可正、可负、可为零,I.3 惯性积,y,z,z,o,y,A,坐标系的两个坐标轴中只要有一个是截面的,对称轴,，则截面对该坐标系的惯性积等于零。,y,z,z,o,y,z,-y,已知：,求：,(,a,和,b,是截面的形心在,oyz,坐标系中的坐标),I.平行移轴公式,C,y,z,o,a,b,y,c,z,c,其中：,I,y,I,yc,C,y,z,o,z,z,c,a,y,y,c,b,y,c,z,c,在一组平行坐标轴中，截面对形心轴的惯性矩为最小。,平行移轴公式：,C,y,z,o,z,z,c,a,y,y,c,b,y,c,z,c,已知：,解：,C,y,c,z,c,b,h,y,求：,【例题 5】,解：,1、确定整个截面的形心位置,8,cm,12,cm,1,cm,1,cm,z,y,o,【例题6】,求图示截面对与y和z平行形心轴的惯性矩和惯性积。,8,cm,12,cm,1,cm,1,cm,z,y,o,c,c,1,c,2,（,y,c,，,z,c,）,计算形心坐标：,8 cm,12 cm,1 cm,1 cm,z,y,o,z,c,y,c,c,c,1,c,2,z,c,y,c,a,1,a,2,b,1,b,2,a,1,=-1.47,b,1,=2.03,a,2,=2.53,b,2,=-3.47,计算形心坐标系中各部分形心坐标：,2、计算对形心轴惯性矩和惯性积,8 cm,12 cm,1 cm,1 cm,z,y,o,z,c,y,c,c,c,1,c,2,a,1,a,2,b,1,b,2,a,1,=-1.47,b,1,=2.03,a,2,=2.53,b,2,=-3.47,8 cm,12 cm,1 cm,1 cm,z,y,o,z,c,y,c,c,已知：,求：,y,z,o,z,z,1,y,y,1,y,1,z,1,I.5 转轴公式主惯性轴,1.定点转轴公式,I,y,1,I,y,I,z,I,yz,y,z,o,z,z,1,y,y,1,y,1,z,1,转轴公式,y,z,o,z,z,1,y,y,1,y,1,z,1,定义,：若截面对某对坐标轴的惯性积等于零，则这对坐标轴称为主惯性轴，简称为,主轴,。,即：若,，则,y,0,z,0,是主轴。,令：,得：,可确定一对主轴,y,0,z,0,的方位,2.主惯性轴（主轴）,y,z,o,z,z,1,y,y,1,y,1,z,1,令：,得：,可见，,使惯性矩取极值的轴即为主轴。,讨论,：主轴方向的惯性矩,3.主惯性矩,定义,：截面对,主轴的惯性矩称为,主惯性矩,。,由：,得：,将上式代入,得主惯性矩的计算公式：,显然：,主惯性矩的计算公式：,y,z,o,z,z,1,y,y,1,y,1,z,1,定义,：,(1)通过形心的,主轴称为,主形心轴。,(2)对主形心,轴的惯性矩称为,主形心惯性矩。,(3)由主形心轴和杆件轴线所确定的平面称,为,主形心惯性平面。,显然,：对称轴必定是,主形心轴。,4.主形心轴和主形心惯性矩,证明,：设通过截面,O,点的,y,、,z,轴为主轴，,u,、,v,为另一对主轴，其中,o,不是/2 的整数倍，由转轴公式：,而：,从而：,y,z,o,z,1,y,1,v,u,【例题 5】试证明下列定理：,如果通过截面的任一指定点有多于一对的主轴，那么通过该点的所有轴都是主轴。,故过点的任何一对正交轴都是主轴，定理得证。,若通过截面某点有三根（或三根以上）的对称轴，则通过该点的所有轴都是主轴。,正多边形有无数对主形心轴。,c,c,c,c,c,y,z,o,z,1,y,1,v,u,推论：,解：,1、,建立参考坐标系,，确定整个截面的形心位置,8,cm,12,cm,1,cm,1,cm,z,y,o,【例题 6】,求图示截面的主形心惯性矩。,8,cm,12,cm,1,cm,1,cm,z,y,o,c,c,1,c,2,（,y,c,，,z,c,）,计算形心坐标：,8 cm,12 cm,1 cm,1 cm,z,y,o,z,c,y,c,c,c,1,c,2,z,c,y,c,a,1,a,2,b,1,b,2,a,1,=-1.47,b,1,=2.03,a,2,=2.53,b,2,=-3.47,建立形心坐标系，计算形心坐标系中各部分形心坐标：,2、计算对形心轴惯性矩和惯性积,8 cm,12 cm,1 cm,1 cm,z,y,o,z,c,y,c,c,c,1,c,2,a,1,a,2,b,1,b,2,a,1,=-1.47,b,1,=2.03,a,2,=2.53,b,2,=-3.47,8 cm,12 cm,1 cm,1 cm,z,y,o,z,c,y,c,c,3、计算主形心轴和主形心惯性矩,8 cm,12 cm,1 cm,1 cm,z,o,z,c,y,c,c,I,yc,=279 cm,4,I,zc,=100 cm,4,I,yczc,=-97 cm,4,y,o,z,o,y,z,y,o,z,c,y,c,c,y,o,z,o,I,yc,=279 cm,4,I,zc,=100 cm,4,I,yczc,=-97 cm,4,1、,建立参考坐标系,，确定整个截面的形心位置 y,c,和 z,c,2、计算形心轴惯性矩和惯性积,I,yc、,I,zc、,I,yczc,(用平行轴公式),3、计算主形心轴 的方位角,0,和主形心惯矩,I,y,0,、,I,z,0,（用转轴公式）,小结,求主形心惯矩步骤,z,o,I,yc,=279 cm,4,I,zc,=100 cm,4,I,yczc,=-97 cm,4,c,y,0,z,0,y,z,c,y,c,（,y,c,，,z,c,）,课后练习,作业：,4-7,4-8,思考：,已知任意截面图形的面积为,A,，对其形心,C,点的极惯性矩为,I,PC,，当图形对某点(,x,y,)的极惯性矩,I,P,2,I,PC,时，求该点的轨迹方程。,y,z,o,A,C,