【教学论文】浅谈在实数中取到有理数的几率.doc

浅谈在实数中取到有理数的几率 当数的范围由有理数扩充到实数的时候， 实数和有理数之间量的关系的比较 显得无从下手，本文从数的发展史谈起，对实数与有理数量的关系进行讨论，用 最简单的思路来理解为什么在实数中取到有理数的概率是 0。 一、什么是数 数是表示事物的量的基本数学概念， 古希腊 Pythagoras 尤其是他一手创办的 毕达哥拉斯学派，对数非常的重视，企图用数来解释一切。他们认为任何长度都 可以用两个质数相除而得到， 很显然这时候他们对数的认知仅仅是有理数。因为 除数是有限数， 当被除数除不尽的时候商一定会产生循环。而这也就是有理数的 最大的特征循环性。 直到后来毕达哥拉斯的徒弟希伯斯推翻了师傅的万物皆 有理数的观点，而这个发现正是源自毕达哥拉斯引以为豪的毕氏定理 ( 勾股定 理)。从此数才真正的来的完善起来。 二、如何表示数 我们平常是怎么把一个实数表示出来的呢?这种观念就是 N 进位，我们最熟 悉的是 10 进位，但是在电脑上呢，我们可能会用到 2 进位、8 进位等等。事实 上，在数学上并没有限制我们用哪一种进位制把一个实数表示出来。 以我们最熟悉的 10 进位为例： 89562.65235433 事实上小数点之前的数目字我们都不用管，因为它是一个自然数。小数点后 面的数目字决定了实数的性质， 而实际上小数点后面的数字， 是落在 0-1 之间的， 只要确定了小数点后面的数字在 0-1 之间的位置， 然后再加上小数点前面的自然 数我们就可以完整的描述出一个实数了。 用我们熟悉的数轴来确定小数部分的大小，先把单位线段 10 等分，取第 7 等分，然后再将其 10 等分，取第 6 等分，如此往复下去，最终能描述出实数的小数部分。 通过这种连续分割的思路我们很容易的知道数的无穷位性。 自然数 1， 也可表示成是 1.0000 三、为何在实数中找到有理数的几率为 0 有理数的个数那么多， 然而当我们任意从实数轴上取一个数，取到有理数的 概率几乎是 0。这是为什么呢?笔者想用一个最简单的方法来说明原因。 假设有一个 10 面骰子，上面标有 0-9 十个数字，第一次丢的时候出现 3，第 二次丢的时候出现 5，第三次丢的时候出现 8，第四次丢的时候出现 4如此 往复， 产生的数是 0.3584当丢的次数越来越的多的时候，产生的这个数就越 来越没有规则，而这一串没有规则的数，正可以看成是实数的小数部分，骰子的 随机性正是表现了数在数轴上的随机性。而像有理数这样最终会产生循环的数， 是不可能符合这种随机性定义的。因为一旦产生循环的话，这时候骰子就不是均 匀的了。所以丢一个公正的骰子的时候，最终会产生循环的几率几乎为 0，这样 也就说明了在实数中取到有理数的几率为 0。 2