分析力学六.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六章 低速宏观运动规律的正则形式,运动规律的表述形式：牛顿形式、拉格朗日形式、,哈密顿形式、泊松括号形式,对于拉格朗日形式，有,1,.,力学系统的描述：,2,.,拉格朗日方程：,3.,缺点：方程中 地位不平等,力学系统的描述改为：,(,广义坐标,),、,(,广,义动量,),：有共轭关系,(,独立、平等、成对,),。用这一,对变量深刻反映了运动本质，且可得到更,为对称的运动方程,正则方程,。,1.6.1,哈密顿方程,一、勒让德变换,(,将,),设：,f,=,f,(,x,y,),关于,两个变量的二元函数,则,又,两式相减,关于,x,、,Q,变量的全微分,(,勒让德变换,),变换后的函数：,g,=,f,Qy,Q,=,Q,(,x,y,),y,=,y,(,x,Q,),：由,Q,=,Q,(,x,y,),解出,y,=,y,(,x,Q,),f,=,f,(,x,y,),f,=,f,(,x,Q,),因此,g,=,f,Qy,=,g,(,x,Q,),说明：,1.(1),、,(2),两式相减的另外一种结果为,d,(,Qy,f,),=,ydQ,P,dx,(,本质上与前面无差别,),2.,若要将变量,x,变为,P,，则,上两式相减,这样,3,.,对于,df,=,Pdx,+,Qdy,用,Q,取代,y,，,则将,df,中的,dy,前面的,Q,乘以被取代的,y,，再减去原函数,f,；,用,P,取代,x,，,则将,df,中的,dx,前面的,P,乘以被取代的,x,，,再减去原函数,f,。,4.,f,=,f,(,x,y,z,),关于,三个变量的函数,(,可推广到,N,元函数,),要将,x,、,y,、,z,x,、,Q,、,R,，采用与前面一样的方法，,有,二、,哈密顿函数,设 ，,t,固定参量,则,而广义动量为,拉格朗日方程为,而,(,上式中 不对称,),目的：,作勒让德变换,哈密顿函数,得,又,与 比较得：,H,就是系统的能量,E,。,在 中，,H,只是 的函数,一般情况：,三、哈密顿方程,由,H,=,H,(,q,p,),得到,比较,于是有,哈密顿方程,(,正则方程,系统的运动方程,),说明,1,.,数学上：哈密顿形式上为一阶微分方程,(2,S,个,),，而,拉格朗日形式上为二阶微分方程,简化数学计算,(,尤其对于数值计算,),；,2.,哈密顿方程中，地位同等,相互共轭的正,则变量、两者差别消失，可建立相空间,(,见后,),；,3.,哈密顿正则形式对称，有利于从经典力学到量子力,学的过渡；,4,.,循环坐标：若 是,拉格朗日函数的,循环坐标，同,时,也是,哈密顿函数的循环坐标，反之亦然。但是，,也可以是哈密顿函数的循环坐标。而循环坐标与守恒量密切相关，力学规律采用哈密顿形式或者后面的泊松括号形式，更容易找到守恒量。另外，采用哈密顿形式时，若 是循环坐标，则与其共轭的变量 守恒。此时，从变量的角度讲，系统减少了一对变量，从系统自由度的角度讲，自由度由,S,减为,(,S,-,1),。如有心力问题中，是循环坐标，则 守恒，因此在哈密顿函数中，这一对变量均不出现。由以下表达式也很容易看到这一点：,5.,提供了一个形式简洁而又完善的统一的运动微分方程。,6.,有时，并未直接减少求解给定力学问题的困难程度。,因为求解哈密顿正则方程归根到底仍是求解拉格朗,日方程。,四、最小作用量原理,已讲：由最小作用量原理导出拉格朗日方程,现在：由最小作用量原理导出哈密顿方程,因为 ，所以,将,L,代入作用量 ，得,而,极值条件：,又,互相独立,，所以,即,哈密顿方程,五、相空间,定义：仅由广义坐标 形成的空间叫,位形空间,；,由 这一对共轭变量形成的空间叫,相空间,。,在任一时刻,t,，当给定位形空间中一点的,r,(,t,),，不能,确定质点的运动。为了决定质点的运动，还必须知道这,一时刻位矢的导数 ，而这意味着需要知道相邻时刻,的,r,(,t,),。位形空间：位置状态；相空间：运动状态。,要使得给定空间中的一点能完全决定质点的运动，,将,3,个坐标分量 和,3,个动量分量,合在一起，形成一个,6,维欧氏空间，称为这一质点的,相,空间,。这样，给定相空间中的一点，就完全决定了质,点的运动。,质点在相空间中的代表点随时间,t,的变化所描出的,曲线称为质点的,相轨迹,。对于周期运动，相轨迹是闭,合曲线,(,例如一维谐振子的相图,),。,1.6.2,守恒律 泊松括号,(Poisson Bracket),一、力学量对时间的导数,哈密顿形式下，,力学系统的状态,力学量用 来表示的例子：,一维线性谐振子,2.,粒子的能量、角动量,设,f,力学系统的任意力学量，则,一般情况：,f,=,f,(,p,q,t,),，,则,由哈密顿方程,定义：,H,和,f,的泊松括号,用泊松括号表示的力学量随时间的演化方程,说明,1.,用泊松括号，可以使任一力学量随时间的变化方,程表述得非常简洁；,2.,泊松括号形式很容易过渡到量子力学：量子泊松,括号。量力泊松括号到经典泊松括号的过渡参见,曾谨言,量子力学,下册,p464-p466,，或参见教材,p464,。,二、用泊松括号表示出的运动方程,因为,1.,f,中不显含时间，只含,则,2,.,f,中不显,含时间，只含,则,即,用泊松括号表示的运动方程,实际上,三、能量守恒与动量守恒,设,f,=,f,(,p,q,),不显含时间,t,，,即,则,又若,f,守恒,不显含时间,t,的力学量守恒的充分必要,条件是它和,H,的泊松括号等于零,若：,H,不显含时间,t,，则,H,是守恒量,能量守恒,循环坐标,：在拉格朗日函数中不包含的某一广义坐标,1,.,设,H,不包含某一广义坐标 ，则,与循环坐标 对应的广义动量 守恒,2,.,设,H,不包含 ，则,因此，广义动量也称为循环坐标。,这样，在哈密顿表述中，广义坐标概念被推广，,地位相等，,广义动量也可视为广义坐标。,四、泊松括号的性质,设任意两个函数,f,g,：,f=f,(,q,p,t,),g,=,g,(,q,p,t,),定义：,f,和,g,的泊松括号为,泊松括号的重要性质,1.,基本的泊松括号,(,由正则变量组成,),2.,反对易性,3.,分配律,4.,结合律,5.,若,c,为常量，则,6.,求导运算,x,：,时间、广义坐标、广义动量等变量,7.,线性性质,8.,雅可比关系,附：量子泊松括号和海森堡绘景下的运动方程,1,.,设有算符 ，则,量子泊松括号为,1.6.3,正则变换,一、正则变换,1.,目的：找到一坐标系，使得在该系下，循环坐标多；,2.,正则变换的涵义：广义坐标为 ，是决定系统中所有质点位置的独立变量。设 为 的单值可逆函数，即,2.,在海森堡绘景下的运动方程为,决定 ，即决定了系统中所有质点的位置,也是广义坐标,(,：均在,位形空间,),是 之间的变换,例：笛卡尔坐标和球坐标之间的关系,就是这种变换。,都是广义坐标。,笛卡尔坐标和柱坐标之间的关系也是这种变换。,变换表示广义坐标的选取不唯一。对拉格朗日形,式、哈密顿表述都如此,但：在哈密顿表述中，地位平等，坐标和动量已,失去其原有的意义。,寻找更广泛的变换,(,相空间中的坐标变换,),在变换中，中同时包含,当 时，哈密顿函数,使得,(,变中有不变,),此时称 为,正则变换,变换的结果,问题的关键：寻找正则变换,二、正则变换的生成函数,由,变分原理,，有,类似地,由前面变分原理的两个表达式可得：,两个被积函,数相差一个任意函数,F,对时间的全导数，即,事实上,而在端点处,(1),式中的,F,称为正则变换的生成函数，即,4,S,+1,个变量,其中：,2,S,个方程,除去时间变量外，有,2,S,个独立变量。,例子：对于二维运动，可选直角坐标,x,、,y,，还可选极,坐标 ，或 、，即可在这四个变量中任选两个作为函数的自变量。此外，还可在相空间中选择。,选,F,1,=,F,1,(,q,Q,t,),，则,比较,F,有以下四种形式，即,即,又：若给定,F,1,，则,因为,且有恒等式,所以,令,F,1,=,F,1,(,q,Q,t,),中的,Q,：,又,F,2,=,F,2,(,q,P,t,),而,比较得,若给定,F,2,=,F,2,(,q,P,t,),则,同理：,三、正则变换举例,1.,由,F,2,=,F,2,(,q,P,t,),生成的变换,设,因,所以,恒等变换,2.,由,F,1,=,F,1,(,q,Q,t,),生成的变换,设,因,所以,结论：老的广义动量 新的广义动量,老的广义坐标 新的广义动量,(,相差一负号,),坐标、动量平等,哈密顿,雅可比理论 生成函数 正则变换,