第20讲 定积分的应用2.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,20,讲,定积分的应用,2,2,极坐标系中平面图形的面积,定理,2,曲边扇形区域,例,4,阿基米德螺线,一、变力沿直线所作的功,二、液体的侧压力,三、引力问题,定积分在物理学上的应用,一、变力沿直线所作的功,设物体在连续变力,F,(,x,),作用下沿,x,轴从,x,a,移动到,x,=,b,力的方向与运动方向平行,求变力所做的功,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在其上所作的功元,素为,:,变力,F,(,x,),在区间,a,b,上所作的功为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,1.,体,求移动过程中气体压力所,解,:,由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为,S,的活塞从,点,a,处移动到点,b,处,(,如图,),作的功,.,建立坐标系如图,.,由波义耳,马略特定律知压强,p,与体积,V,成反比,即,功元素为,故作用在活塞上的,所求功为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,力为,在底面积为,S,的圆柱形容器中盛有一定量的气,例,2.,试问要把桶中的水全部吸出需作多少功,?,解,:,建立坐标系如图,.,在任一小区间,上的一薄层水的重力为,这薄层水吸出桶外所作的功,(,功元素,),为,故所求功为,(KJ,),设水的密度为,(KN),一蓄满水的圆柱形水桶高为,5 m,底圆半径为,3m,面积为,A,的平板,二、液体侧压力,设液体密度为,深为,h,处的压强,:,当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决,.,平板一侧所受的压力为,例,7,弹簧拉长,s,，,计算拉力作的功,弹簧一端固定,另一端未变形位置为原点建坐标系,Hook,定律：弹性限度内拉力与伸长长度成正比,取微元,x,x,+d,x,0,s,微元上拉力作功：,d,W,=,kx,d,x,例,9,高为,2m,的等腰三角形闸门,底边长,3m,平行于水面,且距水面,4m,求这闸门所受的压力,x,轴过等腰三角形的高,y,轴于水面,建坐标系,取微元,x,x,+d,x,4,6,d,F,=,p,2,y,d,x,=2,xy,d,x,一象限腰的直线方程,y,=0.75(6-,x,),例,10,矩形薄板长,2m,宽,1m,成,30,角斜沉水下,长边平行于水面深,1m,处,求薄板每面所的压力,x,轴向下,y,轴于水面建坐标系,上长边,x,坐标为,1,，,y,坐标为,1+sin30=1.5,取微元,x,，,x,+d,x,1，1.5,d,F,=,p,2d,x,=2,x,d,x,5.4.5,定积分在医学上的应用,例,11,禁食，降糖，注射糖，测量血中胰岛素浓度,其中,k=ln2/20,t-,分钟，求一小时内胰岛素之平均浓度,求血管中血流速度与截面血液层半径的关系,设血管长度为,a,血管半径为,R,相对动脉,静脉端血压为,P,1,P,2,P,1,P,2,血液粘滞性影响,距横截面中心不同半径,r,处的血液层流速,v,(,r,),不同,半径为,r,的一块面积上的血液柱流动的推力,F,1,等于血管两端压力差：,F,1,=,r,2,(,P,1,-,P,2,),，,泊萧叶,公式,(,Poiseuille,),血液粘滞性影响,距横截面中心不同半径,r,处的血液层流速,v,(,r,),不同,半径为,r,的一块面积上的血液柱流动的推力,F,1,等于血管两端压力差：,F,1,=,r,2,(,P,1,-,P,2,),，,受血液层流速不等产生摩擦力,F,2,正比于血液柱的侧面积,又正比于相邻血液层间相对流速的变化率,F,1,=-,F,2,r,=,R,时,v,=0,例,13,求单位时间内流过该横截面的血流量,Q,解 取微元,r,r+dr,半径为,r,r+dr,之微元面积为,单位时间内流过圆环微元的血流量,内容小结,(1),先用微元分析法求出它的微分表达式,d,Q,一般微元的几何形状有,:,扇、,片、,壳,等,.,(2),然后用定积分来表示整体量,Q,并计算之,.,1.,用定积分求一个分布在某区间上的整体量,Q,的步骤,:,2.,定积分的物理应用,:,变力作功,侧压力,引力,转动惯量等,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,条,、段、,环,、带、,