n阶行列式及行列式性质.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,上页,下页,返回,XYZ123,一、全排列及其逆序,二、,n,阶行列式的定义,三、小结,第二节,n,阶行列式,一、全排列及其逆序,1.,概念的引入,引例,用,1,、,2,、,3,三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？,问题,2.,定义,把 个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）,.,个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示,.,由引例,同理,定义,在,n,个不同元素的任一个排列中，如果其中两个元素的先后次序与标准次序不同，那么就称这两个元素构成了一个,逆,序,元素之间有多种方法，,n,个不同的自然数，规定由小到大为,标准次序,.,3.,排列的逆序,3 2 5 1 4,逆序,逆序,逆序,例如,排列,32514,中，,这里仅仅是规定，你也可以给出其他的规定，总之在规定之下与规定不同的序列就有了一个汉字来描述它,.,例如,排列,32514,中，,3 2 5 1 4,逆序数为,3,1,故此排列的,逆序数为,3+1+0+1+0=5,.,定义,一个排列中所有逆序的总数称为此排列的,逆序数,.,计算排列逆序数的方法,方法,分别计算出排在 前面比它大的数,码之和即分别算出 这 个元素,的逆序数，这,n,个元素的逆序数的总和即为所求,排列的逆序数,.,逆序数为奇数的排列称为,奇排列,;,逆序数为偶数的排列称为,偶排列,.,排列的奇偶性,例,1,求排列,32514,的逆序数,.,解,在排列,32514,中,3,排在首位,逆序数为,0;,2,的前面比,2,大的数只有一个,3,故逆序数为,1;,5,的前面没有比,5,大的数,其逆序数为,0;,3 2 5 1 4,于是排列,32514,的逆序数为,1,的前面比,1,大的数有,3,个,故逆序数为,3;,4,的前面比,4,大的数有,1,个,故逆序数为,1;,排列,:32514,例,2,计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性,.,解,当 时为偶排列；,当 时为奇排列,.,解,当 为偶数时，排列为偶排列，,当 为奇数时，排列为奇排列,.,二、,n,阶行列式的定义,1.,概念的引入,三阶行列式,说明,（,1,）三阶行列式共有 项，即 项,（,2,）每项都是位于不同行不同列的三个元素的,乘积,（,3,）每项的正负号都取决于位于不同行不同列,的三个元素的下标排列,例如,列标排列的逆序数为,列标排列的逆序数为,偶排列,奇排列,2.,定义,设有,个数排成,行,列的数表,作出表中位于不同行不同列的,个数的乘积,并带上符号,得到形如,是这个排列的逆序数，形如,(1),式的项共有 ！个，,的项，其中,为自然数,的排列,所有这些项的和,称为,阶行列式，记作,简记为,其中数,是行列式,的,元,.,说明,1.,行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的,;,2.,阶行列式是 项的代数和,;,3.,阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积,;,4.,一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆,;,5.,行列式的本质为数或代数式,;,6.,对角线法则只适用于,2,阶和,3,阶行列式,.,例,3,证明,对角行列式,证明,(1),是显然的,下面证,(2).,若记,则依行列式定义,例如,例,4,计算上,三角行列式,展开式中项的一般形式是,因而展开式中不为零的项只有,解,若,则,所以只有,同理可得,同理可得,下三角行列式,注,由例,4,我们可以直接得出例,3,中（,1,）的结果,例,5,设,证明,证,由行列式定义得,由于,所以,故,例,6,已知,解,含 的项有两项,即,对应于,2,排列具有奇偶性,.,3,计算排列逆序数常用的方法,.,1,个不同的元素的所有排列种数为,三、小结,4,行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的,.,5,阶行列式共有 项，每项都是位于不同行、不同列的 个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定,.,定义,1,设,行列式的性质,性质,1,行列式与它的转置行列式相等,.,说明,行列式中行与列具有同等的地位。,性质,2,行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数,k,，,等于用数,k,乘此行列式,.,证,推论,1,行列式的某一行（列）中所有元,素的公因子可以提到行列式符号的外面,推论,2,行列式的某一行（列）中所有元素为零，则该行列式等于零,推论,3,设,A,为,n,阶方阵，,k,为数，则,性质,3,若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,.,则,D,等于下列两个行列式之和：,证,由行列式的定义,性质,4,交换行列式的两行（列），行列式变号,.,即,推论,4,如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零,.,性质,5,行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零,证明,互换相同的两行，有,性质,把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列,(,行,),对应的元素上去，行列式值不变,例如,证,利用行列式的性质进行计算,计算行列式常用方法,利用行列式的第,i,行的,k,倍加到第,j,行，行列式的值不变，把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,例,例,1,解,分析：此行列式的特点是每一行的元素之和相等，有这种特点的行列式的计算可以考虑把后面各列加到第一列中，然后提取第一列个元素的公因子。,把第,2,，,3,，,4,列各元素分别加到第一列,上式行列式第,1,行的（,-1,）倍分别加到第,2,，,3,，,4,行得,例2,其中,n2.,解,第,2,行与第,n,行成比例，故,说明 把行列式的某一行（列）的,k,倍加到其余各行（列）是常用的方法之一。,例3,解,分析 此行列式的特点是相邻两行对应元素要么差,1,要么相等，这类行列式可以考虑依次把上一行的（,-1,）倍加到下一行去，即把第（,i-1),行的（,-1,）倍加到第,(i),行中,.,说明,相邻两行依次相减也时常用方法之一。,例,4,提示,：,例5,设,A,为,n,阶方阵，且,思考题,计算阶行列式,解,推广,n,阶行列式,