第三章 经典检测理论.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,第三章 经典检测理论,3.1,检测理论的基本概念,3.2,最大后验概率准则,3.3,最小风险,Bayes,准则,3.4,最小错误概率准则,3.5,极大极小准则,3.6,Neyman,-Pearson,准则,3.7 M,元检测,检测理论：在噪声和干扰环境下，根据有限的观测数据，来识别信号有无或判断信号类别的理论。,判断准则：在特定条件下具有不同含义的最优准则。,信号检测：是一种基于某种最优准则，对观测数据的概率统计特性进行分析，最终做出判决的过程。,3.1,检测理论的基本概念,二元检测又称为双择检测，理论模型如下图。,第一部分是信号空间,s,（信源）,：对于二元信号，信源在某一时刻输出（发射机发送）的信号只有两种状态。,s,1,(t)-,代表,1,码的波形,s,0,(t)-,代表,0,码的波形,第二部分是干扰空间：,信号在信道上传输时所叠加的噪声。一般假设为均值为,0,，方差为 的高斯白噪声。,第三部分是接收空间（观测空间）,x,：接收端接收到的受到干扰的信号，也是判决处理的输入信号。,x(t,)=,s,i,(t)+n(t,)(i=0,1),第四部分是判决规则：,对输入空间的受到噪声干扰的信号按照某种准则进行判决归类，判断发送端发送的是,s,1,(t),或,s,0,(t),。,第五部分是判决空间,D,：二元检测中，,D,分为,D,0,区域和,D,1,区域两部分。,D,0,区域：判断发送端发送的信号是,s,0,(t),D,1,区域：判断发送端发送的信号是,s,1,(t),在接收端，无法确定信源在某一时刻输出是那种信号，为了分析方便，把信源的输出称为假设。两种假设,H,0,和,H,1,H,0,:x(t)=s,0,(t)+n(t),H,1,:x(t)=s,1,(t)+n(t),二元数字通信系统中，信源由符号“,0”,和“,1”,组成。当信源输出“,0”,时，用假设,H,0,表示；而当信源输出“,1”,时，就用假设,H,1,表示。,雷达系统中，雷达对特定的区域进行观测并判定该区域是否存在目标，信源就是目标源。通常用假设,H,0,表示没有目标，而用假设,H,1,表示有目标。,四种可能的判决结果,（,1,）实际是,H,0,假设为真，而判决为,H,0,假设为真。,（,2,）实际是,H,0,假设为真，而判决为,H,1,假设为真。,（,3,）实际是,H,1,假设为真，而判决为,H,0,假设为真。,（,4,）实际是,H,1,假设为真，而判决为,H,1,假设为真。,正确的假设（,1,）（,4,）,错误的假设（,2,）（,3),对应于每一种判决结果，有相应的判决概率,P,（,D,j,|H,i,)(i,j=0,1):,假设,H,i,为真的条件下，判决,H,j,成立的概率。,在假设,H,i,为真的条件下，观测量,(,x|H,i,),的概率密度函数为：,f(x|H,i,),。,由于观测量（,x|H,i,）落在判决空间,D,i,，则判决,H,i,成立，所以判决概率有：,就判决概率而言，我们希望正确的判决概率尽可能大，而错误判决概率尽可能小。,判决概率是评价检测性能的重要因素之一。,代价函数,代价函数,C,ij,:,表示实际是,H,j,假设为真，而判决为,H,i,假设为真所付出的代价。也称为风险函数。,正确的判决无代价：,C,00,=C,11,=0,检测概率,：正确判决的概率,P(D,1,|H,1,),和,P(D,0,|H,0,),虚警,：实际,H,0,假设为真，而判决为,H,1,假设为真。又称为第一类错误。,虚警引入的代价称为虚警代价,C,01,。,虚警发生的概率为：,P(D,1,|H,0,),称为虚警概率。,漏报,：实际,H,1,假设为真，而判决为,H,0,假设为真。又称为第二类错误。,漏报引入的代价称为漏报代价,C,10,。,漏报发生的概率为：,P(D,0,|H,1,),称为漏报概率。,双择检验的本质,双择检验的本质,：如何决定判决区间的划分，使判决在某种意义上位最佳。,如果我们把 降低，则正确判决概率,P,（,D,1,|H,1,),将增大，但同时另一个正确判决概率,P,（,D,0,|H,0,),将减小。,判决域的划分不仅影响判决概率，而且有最佳的划分方法。,最佳接收机的设计,理想接收机,:,检测时能够使错误判决为最小的接收机。,最佳接收机的设计,：设计信号处理系统，以便最佳的从干扰背景中发现信号和提取信号所携带的信息，并根据其输入做出有无信号或信号参量取值的决策。,3.2,最大后验概率准则,3.2.1,接收机结构形式,先验概率：,实验进行之前，观察者根据以往经验和分析得到的概率,P(H,0,),P(H,1,),。,P(H,0,)+P(H,1,)=1,后验概率：,在一个通信系统中,在收到某个消息,x,之后,观察者（接收端）所得到的该消息发送的概率：,P(H,0,|x),和,P(H,1,|x),。,二元检测,：根据观测到的样本值,x,，来选择或判决,H,0,假设为真还是,H,1,假设为真。,最大后验准则,设是,s(t,),的状态仅有两个,H,0,:x(t)=,n(t,),无信号，仅有噪声,H,1,=,s(t)+n(t,),有信号（有目标）,设先验概率,P(H,0,),P(H,1,),已知,检验（检测）：根据,x(t,),一个样本点,x=x(t,0,),，给出判决，那个是真？,有乘法公式：,P(x,H,0,)=P(H,0,|x)P(x),P(x,H,1,)=P(H,1,|x)P(x),最大后验概率准则,原则：要选择最可能出现的信号为最终的判决结果。,若,P(H,0,|x)P(H,1,|x),则判决,H,0,假设为真。反之，判决,H,1,假设为真。,即选择与最大后验概率相对应的那个假设作为判决结果，这个准则称为最大后验概率准则,(MAP,准则）,(maximum a posterior probability criterion),由于,P(H,1,|x),和,P(H,0,|x),不容易计算,如果已知,P(x|H,1,),和,P(x|H,0,),可以根据,bayes,公式计算得到,Bayes,公式,：假设已知先验概率,P,(,i,),和观测值的类条件概率密度函数,p,(x|,i,),，,i,=1,2,。,计算后验概率：,后验概率,P,(H,i,|x),的计算,似然函数，似然比,设随机变量,X,的概率密度函数为,f(x),f(x|H,i,),是条件概率密度函数，又称为似然函数,最大后验概率准则推导,设,称为似然比门限值,称为似然比,似然比的性质,（,1,）似然比是非负实数。,f(x|H,i,)0,（,2,）似然比是一个一维随机变量，当有,m,个观测值,x,1,x,2,x,m,判决过程为：求出不同假设条件下的似然函数的似然比，然后与似然门限值相比，如果大于门限值，则判决假设,H,1,为真；否则，判决假设,H,0,为真。,最大后验概率准则,例,3.1,设在某二元通信系统中，有通信信号和无通信信号的先验概率分别为：,P(H,1,)=0.9,P(H,0,)=0.1,。若对某观测值,x,有条件概率分布,f(x|H,1,)=0.25,和,f(x|H,0,)=0.45,，试用最大后验概率准则对该观测样本,x,进行分类。,解：,判决,H,1,假设为真，即有信号状态。,3.2.2,接收机性能评价,最大后验概率准则可以使平均错误概率为最小，又称为最小错误概率准则。,虚警概率为：,漏报概率为：,总的错误概率（平均错误概率）为：,总错误率的计算,总错误率最小值的计算,同理可得,将,代入,要使得总错误率最小，则后面的积分取负值。,即：,最大后验概率准则可以使平均错误概率为最小，,又称为最小错误概率准则。,例,3.2,在存在加性噪声的情况下，测量只能为,1v,或,0v,的直流电压，设噪声服从均值为,0,、方差为 的正态分布，试对测量结果进行分类,最大后验概率准则：,解：在两种假设下的，接收的信号模型为,H,0,:x(t)=n(t),H,1,:x(t)=s(t)+n(t)=1+n(t),噪声样本符合正态分布,而正态分布的概率密度函数为：,在两种假设下，观测信号样本,x,的概率密度函数分别为：,似然比函数：,判断规则为：,两边取对数,结论：当观测值大于 时，判决被测直流电压为,1V,；当观测电压小于 时，判决被测直流电压为,0,当,x,落入,D,0,区域，判决为,H,0,，,即直流电压信号为,0V,；若落入,D,1,区域，判决为,H,1,，,即直流电压信号为,1V,3.3,最小风险,Bayes,准则,3.3.1,接收机结构形式,最大后验概率准则只能使平均错误概率最小，并未考虑两类错误判决所造成的损失大小。,Bayes,准则是使平均风险（也称为平均代价或平均损失）最小的准则。,代价函数,C,ij,:,表示实际是,H,j,假设为真，而判决为,H,i,假设为真所付出的代价,(,所引起的风险）。也称为风险函数。,正确的判决无代价：,C,00,=C,11,=0,错误的判决肯定有代价：,C,01,C,10,0,所以,:,正确判决的风险小于错误判决的风险,在已知,H,1,假设为真的条件下，做出判决的平均代价称为,H,1,假设下的条件风险：,在已知,H,0,假设为真的条件下，做出判决的平均代价称为,H,0,假设下的条件风险：,平均风险各条件概率按其先验概率来进行平均,Bayes,准则就是按照,R,最小的原则来划分,D,1,区域和,D,2,区域,由于虚警概率：,检验概率：,要使,R,为最小,:,因此，最小风险,Bayes,准则叙述为：,则判决,H,1,假设为真，反之判决,H,0,假设为真。,Bayes,准则也是一种似然比检验，将似然函数,l(x,),与似然门限值,l,0,(x),比较。,设似然比门限值：,似然比：,Bayes,准则下的接收机形式,3.3.2Bayes,准则与最大后验概率准则的关系,（,1,）,Bayes,准则与最大后验概率准则均属于似然比检验，只是门限值不同而已。,（,2,）最小风险,Bayes,准则的门限值不仅与先验概率,P(H,1,),和,P(H,0,),有关，还与四个代价函数有关。最大后验概率准则仅与先验概率有关。,（,3,）最大后验概率准则是最小风险,Bayes,准则中取,C,10,-C,00,=C,01,-C,11,时的一种特例。,最大后验概率准则中两类错误的代价：,C,01,=C,10,所以最大后验概率准则称为理想观测者准则。,例题：设二元假设检验的观测信号模型为：,H,0,:x=-1+n,H,1,:x=1+n,其中,n,是均值为零、方差为,1/2,的高斯观测噪声。若两种检验都是等先验概率的，而代价因子为：,C,00,=1,C,10,=4,C,11,=2,C,01,=8,试求,Bayes,判决表示式,解：因为两种假设是等先验概率的,P(H,0,)=P(H,1,)=1/2,似然比门限值为：,似然比为：,噪声样本符合正态分布,而正态分布的概率密度函数为：,在两种假设下，观测信号样本,x,的概率密度函数分别为：,似然比函数：,3.4,最小错误概率准则,Bayes,判决准则表示式为：,两边取对数，整理得到最简判决表示式为：,即信号样本函数大于等于,-0.1733,，假设,H,1,成立,信号样本函数小于,-0.1733,，假设,H,0,成立,