行列式展开.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章 行列式,*,对于三阶行列式，容易验证：,可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。,问题：一个,n,阶行列式是否可以转化为若干个,n,1,阶行列式来计算？,5/18/2026,1,第一章 行列式,1.3,行列式的展开定理,设,一、行列式按某行,(,列,),展开,1.,两个概念,(1),元素,a,ij,的余子式：在 中划去元素,a,ij,所在的第,i,行和第,j,列元素，得到的,n,-1,阶行列式。记,M,ij,(2),元素,a,ij,的,代数,余子式：,A,ij,(,1),i,+,j,M,ij,5/18/2026,2,第一章 行列式,例如：,M,32,A,23,=,(-1),2+3,M,23,=,5/18/2026,3,第一章 行列式,对于三阶行列式，容易验证：,结论：一个,n,阶行列式可以转化为若干个,n,1,阶行列式来计算,!,=,a,11,A,11,+,a,12,A,12,+,a,13,A,13,5/18/2026,4,第一章 行列式,2.,行列式按某行,(,列,),展开定理,证明思路,:,先,证,特殊,情形,再,证,一般,情形；,一般,情形的证明通过,转化为特殊,情形完成,.,证先证,a,i,1,A,i,1,+,a,i,2,A,i,2,+,+,a,in,A,in,a,1,j,A,1,j,+,a,2,j,A,2,j,+,+,a,nj,A,nj,5/18/2026,5,第一章 行列式,次证,i,行逐一向下交换经,n,i,次至末行,j,列逐一向后交换经,n,j,次至末列,D,5/18/2026,6,第一章 行列式,(,1),i,j,a,ij,M,ij,a,ij,A,ij,(,1),i,j,a,ij,M,nn,由,5/18/2026,7,第一章 行列式,最后,证毕,a,i,1,A,i,1,+,a,i,2,A,i,2,+,+,a,in,A,in,由,8,典型例题,:,例,1.,计算,解,:,法,1,(,化上三角形法,),计算方法,D,57,化上,(,下,),三角形法,;,降阶法,.,?,！,5/18/2026,9,第一章 行列式,法,2(,降阶法,),D,57,=,(-1),1+1,=,(-1),3+1,5/18/2026,10,第一章 行列式,利用行列式按行,(,列,),展开定理计算行列式时,一般利用有较多,0,的行,(,列,),展开,对一般的数字行列式,可将,某行,(,列,),化到只剩一非零元时降阶处理,.,例：,=10,=,(-1),2+2,=5,(-1),2+3,11,例,2,计算行列式,首列元素全是,1,第一行乘以,(,1),加到下面各行只能使下面元素变为,0,其它元素却没有规律,分析,利用,相邻两行元素较接近,的特点,:,从首行起,每行加其下行的,(,1),倍,按首列展开后再使用该手法,5/18/2026,12,第一章 行列式,解：,再从首行起,每行加其下行的,(,1),倍,5/18/2026,13,第一章 行列式,=(,1),n,+1,x,n,-2,再从首行起,每行加其下行的,(,1),倍,5/18/2026,14,第一章 行列式,例,3,计算,4,阶,范德蒙,(,Vandermonde,),行列式,分析,相邻两行元素较接近,!,末行始,后一行加上其前行的,(,-,x,1,),倍,a,11,下面元素都变为,0,按首列展开,5/18/2026,15,第一章 行列式,按首列展开后提取各列公因子得,3,阶范德蒙行列式。再从末行始,后一行加上其前行的,(,x,2,),倍,解：,5/18/2026,16,第一章 行列式,=(,x,2,x,1,)(,x,3,x,1,)(,x,4,x,1,)(,x,3,x,2,)(,x,4,x,2,)(,x,4,x,3,),17,可以证明,n,阶“范德蒙行列式”,5/18/2026,18,第一章 行列式,3.,推论,:,行列式,某一行,(,列,),的各元素与,另一行,(,列,),的,对应,元素的,代数余子式,乘积之和,等于,零,.,即,第,s,行,理解：,第,s,行,0,a,i,1,A,s,1,+,a,i,2,A,s,2,+,+,a,in,A,sn,=0 (,i,s,),a,1,j,A,1,t,+,a,2,j,A,2,t,+,+,a,nj,A,nt,=0 (,j,t,),5/18/2026,19,第一章 行列式,综合定理及推论得“,代数余子式的,重要性质,”,:,例,4,设,0,，计算,A,41,+,A,42,+,A,43,+,A,44,=,a,31,A,41,+,a,32,A,42,+,a,33,A,43,+,a,34,A,44,5/18/2026,20,第一章 行列式,分析,注意到第二、四行元素的特点,利用行列式按某行展开定理的推论,将,A,31,+,A,32,+,A,33,与,A,34,+,A,35,分别看成整体，列方程组求解。,解,:,，求,(1),A,31,+,A,32,+,A,33,(2),A,34,+,A,35,例,5,设,a,21,A,31,+,a,22,A,32,+,a,23,A,33,+,a,24,A,34,+,a,25,A,35,0,a,41,A,31,+,a,42,A,32,+,a,43,A,33,+,a,44,A,34,+,a,45,A,35,0,2(,A,31,+,A,32,+,A,33,)+(,A,34,+,A,35,),0,(,A,31,+,A,32,+,A,33,)+2(,A,34,+,A,35,),0,A,31,+,A,32,+,A,33,=0,A,34,+,A,35,=0,解,:,D,=,例,6,设,，计算,A,41,+,A,42,+,A,43,+,A,44,a,31,A,41,+,a,32,A,42,+,a,33,A,43,+,a,34,A,44,0,a,41,A,41,+,a,42,A,42,+,a,43,A,43,+,a,44,A,44,D,(,1),6,A,41,+,A,42,+2,A,43,+3,A,44,0,2,A,41,+2,A,42,+3,A,43,+4,A,44,D,两式相减得,A,41,+,A,42,+,A,43,+,A,44,D,(,6),例,7,设,D,为四阶行列式,D,的第三行的各个元素依次为,1,-4,2,3,它们的余子式分别为,5,2,x,1,D,的第四行的元素全为,2,求,x,及,D,解,:,由,a,41,A,31,+,a,42,A,32,+,a,43,A,33,+,a,44,A,34,=0,得,2,(-1),3+1,5+2,(-1),3+2,2+2,(-1),3+3,x,+2,(-1),3+4,1=0,即,5-2+,x,-1=0,x,=-2,由,D=,a,31,A,31,+,a,32,A,32,+,a,33,A,33,+,a,34,A,34,得,D=1,(-1),3+1,5+(-4),(-1),3+2,2+2,(-),3+3,x,+3,(-1),3+4,1,=10+2,x,=6,5/18/2026,23,第一章 行列式,思考题,:,求第一行各元素的代数,余子式之和,解,:,第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,5/18/2026,24,第一章 行列式,二、行列式按某,k,行,(,列,),展开,(,k,=1,的特例即是,一,),1.,几个概念,(1),k,阶子式：任选,k,行,k,列,k,阶行列式，记,M,(,a,ij,是行列式的一阶子式,),(2),k,阶子式的余子式：划去,k,阶子式所在的,k,行,k,列,n,k,阶行列式，,记,M,(3),k,阶子式的代数余子式,:,2.,行列式按某,k,行,(,列,),展开定理,(,拉普拉斯定理,),：,的所有,k,阶子式,(,共 个,),与各自的代数余子式的乘积之和等于,D.,即：,行列式,D,中任意选定,k,行,(1,k,n,),这,k,行元素组成,D,M,1,A,1,M,2,A,2,M,t,A,t,(),5/18/2026,25,第一章 行列式,例,7,用拉普拉斯定理,计算行列式,解：,1(,3),(,15),(,1)(,4),(,9)(,8),9,5/18/2026,26,第一章 行列式,例,8,计算行列式,解：,法二,.,按第五列展开后再,法一,.,按末三行展开,20(,5,4),1080,按第一列展开,5/18/2026,27,第一章 行列式,应用拉普拉斯定理易得行列式计算中的常用结论,:,前一式按前,k,行展开,后一式按前,k,列展开,5/18/2026,28,第一章 行列式,作业,P30:,4(3)(5),9(#),16,预习,1.4,、,1.5,5/18/2026,29,第一章 行列式,