第七讲 散射 一、散射截面.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第七讲 散射,一、散射截面,散射过程：,Z,ds,靶粒子的处在位置称为散射中心。,散射角：,入射粒子受靶粒子势场的作用，其运动方向偏离入射方向的角度。,弹性散射：,若在散射过程中，入射粒子和靶粒子的内部状态都不发生变化，则称,弹性散射，否则称为非弹性散射。,方向准直的均匀单能粒子由远处沿,z,轴方向射向靶粒子，由于受到靶粒子的作用，朝各方向散射开去，此过程称为散射过程。散射后的粒子可用探测器测量。,入射粒子流密度,N,：,单位时间内通过与入射粒子运动方向垂直的单位面积的入,射粒子数，用于描述入射粒子流强度的物理量，故又称为,入射粒子流强度。,散射截面：,设单位时间内散射到（,，,）方向面积元,ds,上（立体角,d,内）的粒子数为,dn,，,显然,dn,N,综合之，则有：,dn,Nd,或,（,1,）,比例系数,q(,，,),的性质：,q(,，,),与入射粒子和靶粒子（散射场）的性质，它们之间的相互作用，以及入射粒子的动能有关，是,，,的函数。,q(,，,),具有面积的量纲,故称,q(,，,),为微分散射截面，简称为截面或角分布,如果在垂直于入射粒子流的入射方向取面积,q(,，,),，,则单位时间内通过此截面,q(,，,),的粒子数恰好散射到,(,，,),方向的单位立体角内。,（,2,）,总散射截面：,（,3,）,注,由（,2,）式知，由于,N,、,可通过实验测定，故而求得 。,量子力学的任务是从理论上计算出 ，以便于同实验比较，从而反过来研究粒子间的相互作用以及其它问题。,二、散射振幅,现在考虑量子力学对散射体系的描述。设靶粒子的质量远大于散射粒子的质量，在碰撞过程中，靶粒子可视为静止。,取散射中心,A,为坐标原点，散射粒子体系的定态,schr,dinger,方程,（,4,）,令,方程（,4,）改写为,（,5,）,由于实验观测是在远离靶的地方进行的，从微观角度看，可以认为 。因此，在计算时 ，仅需考虑 处的散射粒子的行为，即仅需考虑,处的散射体系的波函数。,设 时，方程（,5,）变为,（,6,）,令 （,7,）,将（,6,）式写成,在 的情形下，此方程简化为,（,8,）,此方程类似一维波动方程，我们知道：,对于一维势垒或势阱的散射情况,式中 为入射波或透射波，为散射波，波只沿一方向散射。,对于三维情形，波可沿各方向散射，三维散射时，在 处的粒子的波函数应为入射波和散射波之和。,方程（,8,）有两个特解,因此，,代表由散射中心向外传播的球面散射波，代表向散射中心会聚的球面波，不是散射波，应略去。,在 处，散射粒子的波函数是入射平面波 和球面散射波 之和。即,（,9,）,为方便起见，取入射平面波 的系数,A=1,，,这表明 ，入射粒子束单位体积中的粒子数为,1,。,入射波几率密度（即入射粒子流密度）,（,10,）,散射波的几率流密度,（,11,）,单位时间内，在沿 方向,d,立体角内出现的粒子数为,（,12,）,比较（,1,）式与（,12,），得到,（,13,）,由此可知，若知道了 ，即可求得 ，称为散射振幅，所以，对于给定能量的入射粒子，速率 给定，于是入射粒子流密度,N,=,给定，只要知道了散射振幅 ，也就能求出微分散射截面，的具体形式通过求,schr,dinger,方程（,5,）的解并要求在 时具有渐近形式（,9,）而得出。,下面介绍两种求散射振幅或散射截面的方法,分波法，玻恩近似方法。,分波法是准确的求散射理论问题的方法，即准确的散射理论。,三、分波法,讨论粒子在中心力场中的散射。,粒子在辏力场中的势能为 ，状态方程,（,3-1,）,取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴,z,，,显然,与,无关，按照,3.3.,的讨论，对于具有确定能量的粒子，方程（,3-1,）的特解为,由于现在,与,无关,(,m=0),，,所以，方程（,1,）的特解可写成,方程（,3-1,）的通解为所有特解的线性迭加,（,3-2,）,R,l,(,r,),为待定的径向波函数，每个特解称为一个分波，称为第,l,个分波，通常称,l,=0,1,2,3,的分波分别为,s,p,d,f,分波,（,3-2,）代入（,3-1,），得径向方程,（,3-3,）,令 ，代入上方程,（,3-4,）,考虑方程（,3-4,）在 情况下的极限解，令 方程（,3-4,）的极限形式,由此求得：,（,3-5,）,为了后面的方便起见，这里引入了两个新的常数,将（,3-5,）代入（,3-2,），得到方程（,3-1,）在 情形下通解的渐近形式,（,3-6,）,另一方面，按上节的讨论，在远离散射中心处，粒子的波函数,（,3-7,）,将平面波 按球面波展开,（,3-8,）,式中,j,l,(,kr,),是球贝塞尔函数,（,3-9,）,利用（,3-8,），（,3-9,），可将（,3-7,）写成,（,3-10,）,10,（,3-6,）和（,3-10,）两式右边应相等，即,分别比较等式两边 和 前边的系数，即得,（,3-11,）,（,3-12,）,用 乘以（,12,）式，再对,从,积分，并利用,Legradrer,多项式的正交性,可以得到,即 （,3-13,）,11,将此结果代入（,3-11,）式,（,3-14,）,可见，求散射振幅,f,(,),的问题归结为求 ，求,l,的具体值关键是解径向波函数,R(r),的方程（,3-3,）,l,的物理意义：,由（,3-8,），（,3-9,）知，是入射平面波的第 个分波的位相；由,（,3-6,）知，是散射波第,l,个分波的位相。所以，,l,是入射波经,散射后第,l,个分波的位相移动（相移）。,12,微分散射截面,（,3-15,）,总散射截面,即 （,3-16,）,式中 （,3-17,）,是第,l,个分波的散射截面,13,由上述看们看出：求散射振幅,f,(,),的,问题归结为求相移,l,，,而,l,的获得，需要根据,U(r),的具体情况解径向方程（,3-3,）求,R,l,(,r,),，,然后取其渐近解，并写为,即可得到第,l,个分波的相移，由于每个分波都将产生相移,l,，,所以，必须寻找各个分波的相移来计算散射截面，这种方法称为分波法,光学定理,（证明见后）,分波法的适用范围：,分波法求散射截面是一个无穷级数的问题，从原则上讲，分波法是散射问题的普遍方法。但实际上，依次计算级数中的各项是相当复杂的，有时也是不可能的，所以只能在一定的条件下计算级数中的前几项，达到一定精确度即可。,散射主要发生在势场的作用范围内，若以散射中心为心，以,a,为半径的球表示这个范围，则,r,a,时，散射效果就可以忽略不计了，由于入射波的第,l,个分波的径,向函数,j,l,(,kr,),的第一极大值位于 附近，当,r,较大时，,l,愈大，,14,愈快，如果,j,l,(,kr,),的第一极大值位于 ，即,l,ka,时，在,r,a,内，,j,l,(,kr,),的值,很小。亦即第,l,个分波受势场的影响很小，散射影响可以忽略，只有第,l,个分波 之前的各分波必须考虑，所以，我们把分波法适用的条件写成 ，而,的分波不必考虑，,ka,愈小，则需计算的项数愈小，当,ka,ka,的分波散射截面可以略去。,说明：,已知,U,(,r,),时，可用分波法求出低能散射的相移和散射截面，在原子核及,基本粒子问题中，作用力不清楚，也即不知道,U,(,r,),的具体形式，这时，,我们可先由实验测定散射截面和相移，然后确定势场和力的形式和性,质，这是研究原子核及基本粒子常用的一种方法。,15,思考题：,什么是分波法,分波法是说入射平面波,e,ikz,按球面波展开,展开式中的每一项称为一个分波，每个分波在中心力场的影响下，各自产生一个相移,l,。,而,l,的获得需根据,U,(,r,),的具体形式解径向方程,求出,R,l,(,r,),，,然后取其渐近解，并写成,即可得到第,l,个分波的相移，由于每个分波都将产生相移,l,，,所以，计算散射截面时须寻找各个分波的相移，这种方法称为分波法。,16,分波法应用举例,ex.,球方势阱和球方势垒的低能散射。,粒子的势能,U,0,是势阱或势垒的深度或高度，设入射粒子能量很小，其德布罗意波长比势场作用范围大很多（质子和中子的低能散射可以近似地归结为这种情况），求粒子的散射截面。,Solve:,粒子的径向方程,（,1,）,其中,E,为粒子的能量，,U,(,r,),为粒子在靶粒子中心力场中的势能。,对于球方势阱,U,0,0,（,2,）,17,因粒子波长 ，所以仅需讨论,s,波的散射,（,l,=0,），,据此及（,2,）式，可将方程（,1,）写成,（,3,）,（,4,）,其中,令 ，则（,3,），（,4,）可写成,（,5,）,（,6,）,其解为,（,7,）,（,8,）,18,于是,（,10,）,（,9,）,因 在,r,=0,处有限，必须有 所以,在,r,=,a,处，及 连续，因此，及 在,r,=,a,处连续,由（,7,），（,8,）式得,由此求得相移,（,11,）,总散射截面,（,12,）,19,在粒子能量很低 的情况下，。利用,x,1,时，,arctgx,x,，,有,（,13,）,（,14,）,对于球方势垒 。,这时，用,ik,0,代替以上讨论中的,k,0,，,在粒子能量很低 的情况下，（,13,）变为,（,15,）,（,14,）写为,（,16,）,当 时 ，由于,代入（,16,）式，得,20,低能粒子经无限高势垒场的散射，其散射截面等于半径为,a,的球面面积，它与经典情况不同，在经典情况下，总散射截面就是作为散射中心的半径为,a,的硬球,的最大截面面积 ，它是量子力学计算的结果的 。,21,四、玻恩近似,分波法仅适用于讨论低能粒子的散射问题，当入射粒子的能量很高时，采用分波法计算散射截面就不恰当了，对于高能入射粒子而言，势能 可看作是微扰，体系的哈密顿算符为,其中，是粒子的动能（自由粒子的哈密顿量），其本征函数取箱归,一化的动量本征函数,，粒子与散射力场的相互作用能。,这里，采用箱归一化意味着体积,L,3,内只有一个粒子。于是，入射粒子流密度,单位时间内，散射到 方向立体角 内的粒子数,（,1,）,22,另一方面，入射粒子由于受到靶粒子力场的微扰作用，从动量为 的初态,跃迁到动量 的末态 ，即,对于弹性散射，动能守恒,单位时间内，粒子从初态 跃迁到动量大小为 ，方向为 的立体角 内所有末态上的几率，即跃迁几率,（,2,）,跃迁距阵元,（,3,）,为动量大小为 ，方向角为 的末态数目（态密度）,（,4,）,23,将（,3,）、（,4,）代入（,2,）式，得出,（,5,）,此式在数量上即表示单位时间内跃迁到立体角,d,内的粒子数,（,6,）,比较（,1,），（,6,）式，并注意到 ，立即可得,（,7,）,式中绝对值内保留负号是因为用格林函数法算出的散射振幅 有一负号。引入矢量,其中,是散射角，,是散射引起动量的变化，于是,（,8,）,24,取 的方向为球坐标的极轴方向，为方位角，则可简化积分,（,9,）,因而,（,10,）,此式即为玻恩近似表达式，若势能,U,(,r,),已知，计算积分后就可以求出微分散射截面，所以，应用玻恩近似法计算微分散射截面时，主要难点在于给出,U,(,r,),的具体形式后，如何计算积分 。下面给出几种常见的较复杂的作用势能及对应的积分公式。,25,玻恩近似法应用举例：,玻恩近似法的适用范围：,玻恩近似法只适用于粒子的高能散射，它与分波法（适用于低能散射）相互补充，作为解决散射问题的两种主要近似方法。,ex.1,计算高速带电粒子 ，被中性原子内部的屏蔽库仑场 所散射的散射截面。,Solve,：,高速带电粒子属高能粒子，故,（,1,）,26,其中 （,2,）,当入射粒子的能量很大，散射角,较大时,（,3,）,所以上式可近似写成,（,4,）,此式称为,Rutherford,散射公式。首先由卢瑟福用经典方法计算库仑散射（不考虑屏蔽作用）得出。这说明式（,3,）是经典力学方法可以适用的条件。式（,4,）表明要求散射角比较大，能量比较大，这时散射要在原子核附近发生，即入射粒子深入到原子内部，因而核外电子不起屏蔽作用。当,角很小时，条件（,3,）不能满足，,Rutherford,公式不能成立，此时需用（,1,）式。,27,ex.1,.,粒子受到势能为 的场的散射，求,s,分波的微分散射截面。,解,为一般起见，先考虑,l,分波的相移，再取特殊情况,s,分波的相移。,根据边界条件,（,1,）,解径向,R,l,(,r,),满足的径向方程,令,（,2,）,又令,所以（,2,）式可以写成,28,（,3,）,令,于是（,3,）式又可写成,（,4,）,上式是,阶贝塞尔方程，其解为,因此,但当 时 ，,所以在,r,=0,附近,由,29,（,5,）,比较（,1,）式和（,5,）式，则有,令,将 值代入微分散射截面的表达式,立即可得到,s,分波的微分散射截面,30,s,分波散射截面,31,ex.2.,慢速粒子受到势能为 的场的散射，,若 ，求散射截面。,解,由于是慢速粒子散射，对于低能散射只需考虑,s,分波。,由径向波函数,R(r),所满足的径向方程,当,l,=0,时,（,1,）,令 （,2,）,（,3,）,将 代入以上方程,并令 （,4,）,32,（,5,）,（,6,）,当 应有限，则要求,在,r,=,a,处，,R,(,r,),和 为连续,33,两式相除，得,(7),总散射截面,讨论,：当粒子的能量 时，,34,如果粒子能量很低,k,0,的情况下,如果 时，于是有,在这种情况下，总散射截面等于半径为,a,的球面面积。,它与经典情况不同，在经典情况下，,35,ex.3.,只考虑,s,分波，求慢速粒子受到势场 的场散射时的散射截面,解,根据边界条件,（）,解径向方程：,令,则上方程简写为：,令 代入上方程，有,36,只考虑,s,分波，,l,=0,，,由于 ，以上方程在 时的渐近形式为,此为 阶贝塞尔方程，其解为,由于，所以有限解为,于是,比较（,1,）和（,2,）两式，并注意取（,1,）式中的,l,等于,0,，则,37,ex.4.,用玻恩近似法求粒子在势能场 中散射的散射截面,解,根据微分散射截面公式,于是将 代入上式积分,38,39,ex.5.,用玻恩近似法求粒子在势能场 中散射的微分,散射截面，式中 。,解,40,41,ex.6.,设 ，求反射系数,solve,：,（,1,）,令,则 （,2,）,（,3,）,（,4,）,将（,2,）,（,4,）代入方程（,1,），则有,（,5,）,其中,42,当 时，方程（,1,）的渐近形式,此方程有平面波解,令 （,6,）,当 时，超于常数,（,7,）,利用这些关系式，方程（,5,）可写成,（,8,）,其中,将（,8,）写成,43,（,9,）,再令,显然,于是，方程（,9,）变为,（,10,）,方程（,10,）为超几何方程，其满足 （即 ），有限的解为,（,11,）,满足 即 ，有限的解为,（,12,）,44,当 ，即 时,反射系数：,（,13,）,利用,45,我们可得：,46,将上述结果代入（,13,）式，得,47,