第2讲：概率论基础知识及应用.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2012年全国大学生数学建模竞赛暑期培训,概率知识基础,第2讲,数学建模指导组,黄新仁,内容提要,概率知识应用（案例）,彩票中的数学,指纹是否唯一,乒乓赛问题,报童的决窍,概率论基础知识概述,事件的概率,随机变量及其分布,数学期望及方差,概率论基础知识概述,事件的概率,随机变量及其分布,数学期望及方差,序言,人们在研究经济管理、工程技术、医疗卫生、军事科学以,及其他社会问题中，通常总是通过,调查,或对社会现象的,观察,来,获取所研究问题的有关数据；在自然科学领域中，人们也是通,过,科学实验,或对自然现象的,观察,来获取所需要的资料。,对社会现象的观察和对自然现象的科学实验在概率论和统,计学中都统称为,试验,。,现象,确定现象,随机现象,相同条件下，结果总是相同,相同条件下，结果不总是相同,一、概率论基础知识概述,（,1,）试验可在相同的条件下重复进行，而且试验的结果不止一个；,（,2,）每次试验前不能确定将会出现哪一结果，但其所有的可能结果可预知,.,随机试验,（,1,）投掷一个均匀的骰子，观察出现的点数；,（,2,）在一批产品中任意抽取一件进行检验；,（,3,）企业市场调查人员就本企业的产品和服务进行的用户满意度调查；,（,4,）对某产品进行的寿命,.,【,举例,】,1.1,随机事件及其概率,一、概率论基础知识概述,随机事件及相关概念,随机事件,随机试验的结果称为随机事件,.,基本事件,试验中每一可能出现的结果，一个基本事件或样本点,.,复合事件,由多个基本事件构成的集合,.,基本事件和复合事件统称为随机事件，常用字母,A,，,B,，,C,，,表示,.,样本空间,由试验,E,所有样本点组成的集合，常用字母,S,表示,.,必然事件,每次试验中必然发生的事件；样本空间,S,是必然事件,.,不可能事件,试验中不可能发生的事件，记为,.,样本空间的任何子集,.,1.1,随机事件及其概率,一、概率论基础知识概述,【,举例,】,S,A,1,=,出现偶数点,A,2,=,小于,4,的点,A,4,=,大于,6,的点,A,3,=,不超过,6,的点,【,例,1】,投一个均匀的骰子，观察出现的点数，则有下列事件：,【,例,2】,在一批产品中连续抽取二次，每次任取一件进行检验，分别记为,T,、,F,为抽到正品和次品，则：,S,=,A,1,=,第一次抽到的是正品,A,2,=,抽到一个正品,A,3,=,两次抽到的质量相同,一、概率论基础知识概述,1.1,随机事件及其概率,一、概率论基础知识概述,1.1,随机事件及其概率,事件的关系和运算,一、概率论基础知识概述,1.1,随机事件及其概率,1.1,随机事件及其概率,例如：,新产品上市后有多大可能性会畅销和滞销；,购买彩票中奖的可能性；,项目投资后赢利或亏损的可能性等等；,事件的概率与在重复试验中该事件出现的频率之间有着非常,密切的关系。,在日常生活和科学研究中，人们经常需要了解今后某些事情或结果发,生可能性的大小，以便为应采取的决策提供依据。,事件的概率,一、概率论基础知识概述,1.1,随机事件及其概率,对于随机事件,A,，在一次试验中我们无法预言它是否会发生，但是在,相同条件下重复试验的次数充分大以后，可以发现事件,A,发生的次数,n,A,与试验次数,n,之比将,在某个确定的值附近波动,。,频率及其稳定性,事件,A,发生的次数,n,A,与试验次数,n,之比就称为事件,A,发生的频率，,记为,f,n,(,A,),，即,一、概率论基础知识概述,1.1,随机事件及其概率,人们发现，随着重复试验次数的增多，事件,A,发生的频率,f,n,(,A,),就逐渐稳定地趋近于某个常数,P,(,A,),附近，这一客观存在的常数,P,(,A,),就称为事件,A,的概率。,【,著名的掷币试验,】,一、概率论基础知识概述,1.1,随机事件及其概率,主观概率是指对一些无法重复的试验，确定其结果的概率,只能根据以往的经验，人为确定这个事件的概率。,主观概率,一、概率论基础知识概述,1.1,随机事件及其概率,古典概率,称满足以下条件的试验为古典概型：,试验的样本空间仅有有限个基本事件；,试验中每一基本事件发生的概率相等。,【,古典概型,】,若试验的样本空间,S,包含了,n,个样本点，事件,A,包含了其中的,k,个，则事件,A,发生的概率为：,【,古典概率,】,一、概率论基础知识概述,1.1,随机事件及其概率,【,例,4】,在,100,件产品中有,5,件是次品，从中任取,10,件，求以下事件的概率：,A,=,全为正品,B,=,恰有,1,件次品,C,=,至少有,3,件次品,D,=,至少有,1,件次品,P,(,B,)=,=0.3394,P,(,A,)=,=0.5838,解：,=0.0066,一、概率论基础知识概述,1.1,随机事件及其概率,条件概率与乘法公式,设,A,、,B,是两个事件，且,P(A)0,，称在,A,已发生的条件下,B,发生的概率，为,B,对,A,的,条件概率,，记为,P(B|A).,【,计算式,】,【,例,5】,产品抽样检验问题,已知,10,件产品中有,3,件是次品，从中先后抽取,2,件，作不放回抽样。,求：第一次取到次品后，第二次再取到次品的概率。,（乘法公式）,【,定义,】,一、概率论基础知识概述,1.1,随机事件及其概率,全概率公式,A,1,A,5,称之为一个,完备事件组,，或样本的一个划分,A,2,A,5,A,4,A,1,A,3,S,B,应用：,知因求果,一、概率论基础知识概述,1.1,随机事件及其概率,贝叶斯公式,贝叶斯公式在风险决策中有着非常重要的应用！,应用：知果寻因,一、概率论基础知识概述,1.1,随机事件及其概率,【,例,6】,某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为,1/2,，,而他不知道正确答案时猜对的概率应该为,1/4,。考试结束后发现他答对了，,那么他知道正确答案的概率是多大呢？,解：,设,A,=,该考生答对了，,B,=,该考生知道正确答案,依题意有,P,(,B,)=1/2,，,P,(,B,)=1/2,，,P,(,A,|,B,)=1/4,，,P,(,A,|,B,)=1,再由贝叶斯公式，得：,【,公式的应用举例,】,于是由全概率公式，有：,P,(,B,)=,一、概率论基础知识概述,1.1,随机事件及其概率,【,例,7】,伊索寓言故事,”,狼来了,“,。一小孩每天上山放羊，山里有狼，第一天，他大喊：狼来了，结果山下的村民都上山打狼，结果狼没来；第二天，仍是如此；第三天，狼真的来了，可无论小孩怎么喊，没人来救他。为什么？,分析：,村民的对小孩的可信度是如何下降的？,建模解释：,小孩第二次撒谎，则以,替换,代入公式后可计算得小孩第二次撒谎后的可信度为：,【,应用,】,（,1,）,银行向某人贷款连续两次不还，银行不会第三次,贷给他,.,（,2,）,医院检查为降低错检率也可用贝叶斯公式进行说明,.,一、概率论基础知识概述,1.1,随机事件及其概率,内容提要,层次分析的一般方法,-,层次结构图,、比较矩阵、权重向量、一致性检验,概率知识应用（案例）,彩票中的数学,指纹是否唯一,乒乓赛问题,报童的决窍,概率论基础知识概述,事件的概率,随机变量及其分布,数学期望及方差,任何随机试验的试验结果，都可以定量化并用随机变量表示。,【,如,】,1,、,投掷两枚硬币出现正面的数量,用,X,表示出现正面的数量，则,X,的取值为,X=0,、,1,、,2,随机变量的概念,2,、在灯泡寿命试验中,令,X,为,“,灯泡寿命,”,(,小时,),，则,X,0,X 500,，,X1000,，,800 X1200,等表示了不同的随机事件。,一、概率论基础知识概述,1.2,随机变量及其分布,设,X,是一随机变量，,x,是任意实数，称函数,F,(,x,)=,P,X,x,为,X,的分布函数。,【,定义,】,对任意实数,x,1,x,2,，有,P,x,0,，,则称,X,服从参数为,的正态分布,，,记为,X,N,(,，,2,),。,x,f,(,x,),0,=0.5,=1,=2,0,f,(,x,),x,1,2,一、概率论基础知识概述,1.2,随机变量及其分布,【,标准正态分布,】,称,=0,，,=1,的正态分布为标准正态分布，记为,X,N,(0,1),，,其密度,函数和分布函数分别记为,(,x,),和,(,x,),。,0,a,-,a,(-,a,),1-,(,a,),(,x,),x,(,a,),正态分布表给出的是标准正态分布的,分布函数的值,(,x,),。,查正态分布表时常要用到以下关系：,P,X,a,=,(,a,),P,X,a,=1-,(,a,),P,a,X,b,=,(,b,),-,(,a,),(-,a,),=1-,(,a,),【,正态分布表的使用,】,一、概率论基础知识概述,1.2,随机变量及其分布,【,一般正态的标准化,】,设,X,N,(,2,),，,则,一、概率论基础知识概述,1.2,随机变量及其分布,内容提要,层次分析的一般方法,-,层次结构图,、比较矩阵、权重向量、一致性检验,概率知识应用（案例）,彩票中的数学,指纹是否唯一,乒乓赛问题,报童的诀窍,概率论基础知识概述,事件的概率,随机变量及其分布,数学期望及方差,【,引例,】,“,赌博问题,”,法国有两个大数学家，一个叫做巴斯卡尔，一个叫做费马。,巴斯卡尔认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题。他们说，各出赌金,100,元,共,200,元，并 约定谁先赢满,5,局，谁取得全部,200,元，由于出现,意外情况，,A,赢了,4,局,，,B,赢了,3,局,，时间很晚了，他们都不想再赌下去,了。那么，这个钱应该怎么分才算公平？,按,1:1,分,？,或者,其他,分法？,按,4:3,分,？,【,分析,】,最多两局便可分出胜负,其情况有以下四种,:,因此,A,能,“,期望,”,得到的数目应为,:,而,B,能,“,期望,”,得到的数目为：,一、概率论基础知识概述,1.3,数学期望及方差,数学期望,【,离散型时的定义,】,设,X,为离散型随机变量，其分布列为：,则称,为,X,的,数学期望,（或,期望,）,【,连续型时的定义,】,设,X,为连续型随机变量，其密度函数为,f(x,),则称,为,X,的,数学期望,（或,期望,）,级数,或,广义积分,绝对收敛,【,数学期望的含义,】,表示了随机变量在随机,试验中取值的,平均值,，,所以又常称为随机变量,的,平均数、均值,.,一、概率论基础知识概述,1.3,数学期望及方差,【,再解,“,赌博问题,】,法国有两个大数学家，一个叫做巴斯卡尔，一个叫做费马。,巴斯卡,尔认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题。他们说，各出赌金,100,元,共,200,元，并 约定谁先赢满,5,局，谁取得全部,200,元，由于出现,意外情况，,A,赢了,4,局,，,B,赢了,3,局,，时间很晚了，他们都不想再赌下去,了。那么，这个钱应该怎么分才算公平？,解：,假定他们俩再赌一局，或者,A,赢，或者,B,赢。若是,A,赢满了,5,局，钱应该,全归他,；,若是,A,输了，即,A,、,B,各赢,4,局，这个钱应该,对半分,。,设,X,为,A,所能赢得的金额，则,X=1,或,1/2,因为,A,输赢的可能性都是,1/2,，于是有,X,的数学期望如下：,E,（,X,）,=,11,2,1,21,2,3,4,一、概率论基础知识概述,1.3,数学期望及方差,【,案例,1】,“,保险收益问题,”,据统计65岁的人在10年内正常死亡的概率为0.98,因事故死亡概率,0.02.保险公司开办老事故死亡保险,投保者需交纳保险费100元.若10年,内因事故死亡公司赔偿,a,元。,（,1,）应如何定,a,才能使公司可期望获益;,（,2,）若1000人投保,公司期望总获益多少?,解：,设,X,i,表示公司从第,i,个投保者身上所得的收益，,i,=11000,，则,X,i,0.98 0.02,100,由题设,于是得,公司每笔赔偿小于5000元,能使公司获益.,公司期望总收益为,若公司每笔赔偿3000元,能使公司期望总获益40000元.,一、概率论基础知识概述,1.3,数学期望及方差,【,案例,2】,“,验血方案的选择,”,为普查某种疾病,n,个人需验血.验血方案有如下两种：,（,1,）,逐一化验,每个人的血，共需化验,n,次；,（,2,）,分组化验,，,k,个人的血混在一起化验,若结果为阴性,则只需化验一次;若为阳性,则对,k,个人的血逐个化验，找出有病者,此时,k,个人的血需化验,k,+,1,次.,设每人血液化验呈阳性的概率为,p,，且每人化验结果是相互独立的.试说明选择哪一方案较经济.,分析：,只须计算方案(2)所需化验次数的,期望,E(X),。为简单计,不妨设,n,是,k,的倍数，共分成,n/k,组.,一、概率论基础知识概述,1.3,数学期望及方差,解：,设第,i,组需化验的次数为,X,i,则其分布列为,X,i,P,1,k+,1,则其期望为：,于是,X,的期望为：,显然，当,E,(,X,)0.5,上述结果说明：,从每一局比赛来说，,A,队的实力比,B,队略微强一些,!,要在五局三胜制比赛中最后获胜，才是真正获胜。,实际上：,2.3,乒乓球赛问题,二、概率论知识应用,下面计算在五局三胜制比赛中,A,队最后获胜的概率：,A,队最后获胜，可以分成下列几种情况：,（,1,）,A,队连胜三局，其概率为,（,2,）在前三局中,A,队胜二局，最后,A,队又胜一局，其概率为,（,3,）在前四局中,A,队胜二局，最后,A,队又胜一局，其概率为,于是得到在五局三胜制比赛中,A,队最后获胜的概率为：,2.3,乒乓球赛问题,二、概率论知识应用,矩阵,Q,中元素,q,ij,表示：,当,A,队以,a,i,次序出场、,B,队以,b,j,次序出场时，在五局三胜制比赛中,A,队最,后获胜的概率（也就是,B,队最后失败的概率）。,如果两队都随机排阵，,9,种出场次序出现的可能性相等，都是,1/9,，根据全,概率公式，就可以算出,A,队在五局三胜制比赛中最后获胜的平均概率：,0.5,说明,A,队的实力比较强！,2.3,乒乓球赛问题,二、概率论知识应用,问题,2,的模型,什么是,“,稳妥的方案,”,？,对自己的每一种出场次序，都考虑最坏的情况，求出在最坏的情况,下，我方失败的概率是多少，然后在各种出场次序中，选择一种最坏情,况下失败概率最小的出场次序，作为我方的排阵方案。,用出场次序,b,1,时，最坏情况是,A,队用出场次序,a,3,，,B,队失败概率,用出场次序,b,2,时，最坏情况是,A,队用出场次序,a,2,或,a,3,，,B,队失败概率,用出场次序,b,3,时，最坏情况是,A,队用出场次序,a,1,或,a,2,，,B,队失败概率,对于,B,队来说，由矩阵,Q,可以看出：,所以，,B,队最稳妥的方案是采用出场次序为,b,2,2.3,乒乓球赛问题,二、概率论知识应用,对于,A,队来说，由矩阵,Q,可以看出：,所以，,A,队最稳妥的方案是采用出场次序为,a,1,或,a,3,用出场次序,a,1,时，最坏情况是,A,队用出场次序,b,2,，,A,队获胜概率,用出场次序,a,2,时，最坏情况是,A,队用出场次序,b,1,，,A,队获胜概率,用出场次序,a,3,时，最坏情况是,A,队用出场次序,b,3,，,B,队获胜概率,A,队如何安排出场才是最,“,稳妥,”,的？,a,1,？,a,3,?,若,A,队预料到,B,队安排,b,2,出场，则,A,队安排,若,B,队又预料到,A,队安排,a,3,出场，则,A,队安排,若,A,队预料到,B,队安排,b,3,出场，则,A,队安排,a,3,b,3,a,1,这样的推理，可以无穷无尽地进行下去,2.3,乒乓球赛问题,二、概率论知识应用,2.3,乒乓球赛问题,两人零和博弈,（,Zero-Sum Two-Person Game,）,博弈论,（,Game Theory,）,又名对策论，研究具有竞争或斗争性质现象的数学理论和方法。,指一项游戏中，游戏者有输有赢，一方所赢正是另一方所输，游戏的总成绩永远为零，零和游戏原理之所以广受关注，主要是因为人们在社会的方方面面都能发现与零和游戏类似的局面，胜利者的光荣后面往往隐藏着失败者的辛酸和苦涩。,A,队可以采用的,3,种出场次序,a,1,a,2,a,3,，是,A,队可以采用的,3,种,策略,B,队可以采用的,3,种出场次序,b,1,b,2,b,3,，是,B,队可以采用的,3,种,策略,矩阵,Q,=(,q,ij,),是,A,队的,得分矩阵，,B,队的,失分矩阵（支付矩阵,),二、概率论知识应用,2.3,乒乓球赛问题,当博弈的双方都只采用一种,固定的策略,（称为,纯策略,）时，两人零和博弈问,题要得到一个稳定的解，矩阵,Q=(,q,ij,),中必须有一个,鞍点,（,Saddle Point,），,即在,同一列中取到最大值,、,又在同一行中取到最小值,的元素。,在上述矩阵,Q=(,q,ij,),中找不到这样的鞍点，所以，这个问题不可,能有一个稳定的,纯策略解,。,考虑,混合策略解,混合策略,就是博弈双方不是固定采用一种纯策略，而是以,某种概率混合采用各种策略。,二、概率论知识应用,设,A,队以,概率,x,1,x,2,x,3,采用策略,a,1,a,2,a,3,则有,。,设,Z,是,A,队采用这种混合策略时，不管,B,队采用什么策略，,A,队的得分（最后获胜概率）能够保证的,最小值,。,由全概率公式可知，当,B,队采用纯策略,b,j,时，,A,队的得分（最后,获胜概率）为,，,因为,Z,是,A,队的得分（最后获胜概率）能够保证的最小值，所以必须有,容易看出，只要上述不等式成立，当,B,队以某种概率混合采用各种策略时，,A,队的得分同样也可以保证大于,Z,所以不必再列式子了。,2.3,乒乓球赛问题,二、概率论知识应用,整个问题就可以表示成一个线性规划问题：,。,目标函数,约束条件,解上述线性规划问题，求得：,A,队,采用策略,a,1,a,2,a,3,的概率应该分别为,当,A,队,采用这种混合策略时，,A,队能够保证的获胜概率为,2.3,乒乓球赛问题,二、概率论知识应用,对于,B,队，也可以列出类似的线性规划问题，正好是上述,A,队问题的对偶,问题。解这个对偶的线性规划问题，可以求得：,B,队,采用策略,的概率应该分别为,当,B,队,采用这种混合策略时，,B,队能够保证的获胜概率为,2.3,乒乓球赛问题,二、概率论知识应用,内容提要,层次分析的一般方法,-,层次结构图,、比较矩阵、权重向量、一致性检验,概率知识应用（案例）,彩票中的数学,指纹是否唯一,乒乓赛问题,空中交通管理,概率论基础知识概述,事件的概率,随机变量及其分布,数学期望及方差,概率知识应用（案例）,彩票中的数学,指纹是否唯一,乒乓赛问题,报童的决窍,2.4,报童的诀窍,报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回,.,设,报纸每份的购进价格为,b,，零售价为,a,，退回价为,c,，应该自然地假设,abc,.,这就是说，报童售出一份赚,a-b,，退回一份赔,b-c,.,报童每天如果购进的报纸,太少，不够卖，会少赚；如果购进太多，卖不完，要赔钱,.,请你为报童筹划,一下，他应该如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入,.,问题提出,问题,报童售报：,a,(,零售价,),b,(,购进价,),c,(,退回价,),售出一份赚,a-b,；退回一份赔,b-c,每天购进多少份可使收入最大？,二、概率论知识应用,问题分析,购进太多,卖不完退回赔钱,购进太少,不够销售赚钱少,应根据需求确定购进量,每天需求量是,随机,的,优化问题的目标函数应是长期的日平均收入,每天收入是随机的,存在一个合适的购进量,等于每天收入的数学期望,售出一份赚,a-b,；退回一份赔,b-c,2.4,报童的诀窍,二、概率论知识应用,调查需求量的随机规律,每天需求量为,r,的概率,f,(,r,),r,=0,1,2,假设及符号说明,设每天购进,n,份，日平均收入为,G,(,n,),已知售出一份赚,a-b,；退回一份赔,b-c,2.4,报童的诀窍,二、概率论知识应用,模型建立,求,n,使,G,(,n,),最大,(,其中,a,b,c,f,(,r,),已知,),2.4,报童的诀窍,二、概率论知识应用,模型求解,将,r,视为连续变量,2.4,报童的诀窍,二、概率论知识应用,n,P,1,P,2,取,n,使,a-b,售出一份赚的钱,b-c,退回一份赔的钱,0,r,p,需求量不超过,n,的概率,需求量超过,n,的概率,结果解释,2.4,报童的诀窍,二、概率论知识应用,本讲结束，谢谢大家！,第2讲 概率知识基础,