解线性方程组的直接方法市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件.pptx

第三章 解线性方程组的直接方法,1 解线性方程组的 Gauss 消去法,2 直接三角分解法,3 行列式和逆矩阵的计算,4 向量和矩阵的范数,5 Gauss 消去法的浮数舍入误差分析,第三章 解线性方程组的直接方法,1 解线性方程组的 Gauss 消去法,2 直接三角分解法,3 行列式和逆矩阵的计算,4 向量和矩阵的范数,5 Gauss 消去法的浮数舍入误差分析,引言,快速、高效地求解线性方程组是数值线性代数研究中,关键问题,，也是当前科学计算中,重大研究课题之一,。,各种各样科学和工程问题，往往最终都要归结为求解一个线性方程组。,线性方程组数值解法有：,直接法,和,迭代法,。,直接法,：在假定没有舍入误差情况下，经过有限次运算能够求得方程组准确解；,迭代法,：从一个初始向量出发，按照一定迭代格式，结构出一个趋向于真解无穷序列。,线性方程组直接解法,第1页,举例（一）,解：,例：直接法解线性方程组,第2页,我们知道，下面有,3种方程解我们能够直接求出：,n,次运算,（,n1）n/2,次运算,第3页,（,n1）n/2,次运算,第4页,对方程组，作以下变换，解不变,交换两个方程次序,一个方程两边同时乘以一个非0数,一个方程两边同时乘以一个非0数，加到另一个方程,所以，对应对增广矩阵,(A，b),，作以下变换，解不变,交换矩阵两行,某一行乘以一个非0数,某一个乘以一个非0数，加到另一行,消元法,就是对增广矩阵作上述行变换，变为我们已知,3种类型之一，而后求根.,第5页,1,解线性方程组,Gauss,消去法,2,直接三角分解法,3,行列式和逆矩阵计算,4,向量和矩阵范数,5 Gauss,消去法浮点舍入误差分析,第6页,1,解线性方程组,Gauss,消去法,1.1 Gauss,消去法,1.2 Gauss,列主元消去法,1.3 Gauss,按百分比列主元消去法,1.4 Gauss-Jordan,消去法,1.5,矩阵方程解法,1.6 Gauss,消去法矩阵表示形式,第7页,1,解线性方程组,Gauss,消去法,在科技、工程、医学和经济等各个邻域中，经常碰到求解,n,阶线性方程组,(1.1),问题。方程组（,1,.,1,）系数 和右端项,均为实数，且 不全为零方程组（,1,.,1,）可简记为,（,1,.,2,）,其中,第8页,1 1.1 Gauss,消去法,我们知道，对线性方程组（,1.1,）作行运算（变换）,:,（,1,）交换方程组中任意两个方程次序；,（,2,）方程组中任何一个方程乘上某一个非零数；,（,3,）方程组中任何一个方程减去某倍数另一个方程，,得到新方程组都是与原方程组,(1.1),等价。若方程组,(1.1),或,(1.2),系数,矩阵,A,是非奇异，则得到新方程组与原方程组是同解。这一章若无尤其,申明，总是假定方程组,(1.1),系数矩阵是非奇异，所以它有唯一解。,解方程组,(1.1),基本,Gauss,消去法,就是重复利用上述运算，按自然次序,(,主对角元素次序,),逐次消去未知量，将方程组,(1.1),化为一个上三角形方程,组，这个过程称为,消元过程,；然后逐一求解该上三角形方程组，这个过程称,为,回代过程。,计算得该该上三角形方程组解就是原方程组,(1.1),解,.,我们知道，线性方程组,(1.1),与其增广矩阵,本章主要介绍求解线性方程组,(1.1),直接法。所谓直接法，就是不考虑计算过程舍入误差时，经有限次数运算便可求得方程组准确解方法,.,我们还将在,5,中对计算过程中舍入误差作一些初步分析,1.1 Gauss,消去法,第9页,（,1.3,）,之间有一对应关系,.,不难看出,:,（,1,）交换矩阵,(1.3),第,p,q,两行,(,记作,),相当于交换方程组,(1.1),第,p,q,两个方程；,（,2,）用一个非零数,乘矩阵,(1.3),第,p,行,(,记作,),相当于用,乘方程组,(1.1),第,p,个方程；,（,3,）矩阵,(1.3),第,q,行减去第,p,行,倍,(,记作,),相当于方程组,(1.1),第,q,个方程减去第,p,个方程,倍,.,所以，解线性方程组,(1.1),基本,Gauss,消去法消元过程能够对它增广矩阵进行上述行初等变换,(1.4),例,1,用基本,Gauss,消去法解线性方程组,第10页,解,Gauss,消去法消元过程可对方程组,(1.4),增广矩阵进行初等变换：由,此得到与方程组,(1.4),同解上三角形方程组,(1.5),消去法回代过程是解上三角形方程组,(1.5).,我们从方程组,(1.5),第三个方,程解得,然后将它代入第二个方程得到,最终，将 代第一个方程得到,在回代过程中，我们重复利用了上述行运算（,2,）,第11页,现在，我们将应用于上述例,1,基本,Gauss,消去法推广到解普通,n,n,阶线性方程组,(1.1).,Gauss,消去法消元过程由,n,1,步组成：,第一步 设 把增广矩阵,(1.3),第一列中元素 消为零为此，令 从 第,i(i2,，,，,n),行分别减去第一行 倍，得到其中,第12页,第二步 设 把矩阵 第二列中元素 消为零,.,仿此继续进行消元，假设进行了,kl,步，得到,第,k,步 设 把 第,k,列元素 消为零，得到,第13页,其中,要求,第14页,(1.9),式是消元过程普通计算公式,.,式中作分母元素 称为,(,第,k,步,),主元素,(,简称,主元,).,若 则 中最少有一,个元素，比喻说 不为零,(,不然,方程组,(1.1),系数矩阵,A,奇异,).,这么,我们可取 作为主元,.,然后,交换矩阵 第,k,行与第,r,行,把它交换到,(k,k),位置上,.,称为,乘子,.,进行,n,1,步消元后，我们便得到一个上梯形矩阵,这里,我们假设整个消元过程中没有进行过矩阵行交换,.,是一个上,三角矩阵,.,与上 对应上三角方程组,第15页,(1.11),和方程组,(1.1),同解,.,Gauss,消去法回代过程是解上三角形方程组,(1.11).,轻易得到它解,分量计算公式为,.(1.12),便是线性方程组,(1.1),解,.,我们也称 为主元,.,应用,Gauss,消去法解一个,n,阶线性方程组总共需乘除法运算次数为,第16页,1.2 Gauss,列主元消去法,在,Gauss,消去法消元过程中，我们逐次选取主对角元素 作为主元。,然而，若 相对其它元素,(,比如,与同列,比较,),绝对值,较小，则舍入误差影响很大。在这种情形下，会使得计算结果准确度不高，甚至消元过程无法进行到底。,第17页,举例（二）,解：,例：,采取十进制八位浮点数，分别用,Gauss,消去法和列主元,Gauss,消去法求解线性方程组:,准确解为 ，,8个,8个,Gauss,消去法：,9,个,小主元 可能造成计算失败。,第18页,从上面例子看到，为了使消元过程不至于中止和减小舍入误差影响，,我们不按自然次序进行消元。这就是说，不逐次选取主对角元素作为主元，,比如，第,k,步，我们不一定选取 作主元，而从 中,选取绝对值最大元素，即使得,元素 作主元，又称它为,(,第,k,步,),列主元,。增广矩阵中主元所在行,称为,主行,，主元所在列称为,主列,。而且，在进行第,k,步消元之前，交换矩,阵第,k,与第,r,行。可能有若干个不一样,i,值使 为最大值，则取,r,为这些,i,值中最小者。经过这么修改过,Gauss,消去法,称为,Gauss,列主元消去法,。,线性方程组,(1.1),右端项作为增广矩阵第,n,十,1,列。使用计算机求解方,程组时，经常将 记作 为了节约计算机存贮单元，在用,消去法解方程组计算过程中，得到 依然能够存放到原来增广矩阵,对应位置上。所以可将 右上角标识去掉，并将公式,(1.9),和,(1.12),中,等号,“,”,改成赋值号,“,”,。,算法,3.1,应用,Gauss,列主元消去法解,n,阶线性方程组 ，其中,输入,方程组阶数,n,；增广矩阵,A,，,b.,第19页,输出,方程组解 或系数矩阵奇异信息。,step l,对,k,=,1,2,，,，,n,-,l,做,step,2,-,5,。,step,2,选主元：求 使,step,3,若 ，则输出（,A is singular,）；停机。,step,4,若,则,（交换增广矩阵第 行与第,k,行）,step 5,对,i,k,1,，,，,n,做,step,6-7,。,step 6,step 7,对,step 8,。,step 9,对 。,step 10,输出 ；,停机。,第20页,在,Gauss,消去消元过程第,k,步，若从 中选取,绝对最大元素作主元，即若,则选取 作主元，称它为,(,第,k,步,),行主元,，而且在进行第,k,步消元之前交,换增广矩阵第,k,列与第 列,(,必须统计这种交换信息，方便整了解之用,),。,经这么修改,Gauss,消去称为,Gauss,行主元消去法,。,应用,Gauss,列或行主元消去法解一个线性方程组时，在消元过程中选取主,元后作行或列交换不会改变前面各步消为零元素分布情况。据此，在消,元过程第,k,步，我们还能够从系数矩阵最终,n,k,1,行和列中选取绝对值,最大元素作主元，即若,则选取 作为主元，而且在消元之前交换增广矩阵第,k,行与第 行,以,及第,k,列与第 列。经过这么修改,Gauss,消去法称为,Gauss,全主元消去法,。,Gauss,全主元消去法与列主元和行主元消去法相比，工作量要大得多，而,行主元消去法则要统计列交换信息，所以,Gauss,列主元消去法是解线性方程组,实用方法之一。,第21页,1 1.3 Gauss,按百分比列主元消去法,P51P52,1.3 Gauss,按百分比列主元消去法,对于一些情形，列主元消法不是十分令人满意。方程组,（,1.15,）,等价于方程组,(1.13).,应用,Gauss,列主元消去法,进行第一步消元后增广矩阵是,由此可见，第二步主行是第二行。消元过程结束后，由回代过程得到计,算解与例,2,中应用基本,Gauss,消去法得到计算解相同。这个例子说明,Gauss,列主元消去法也会使计算结果产生较大误差。我们看到，方程组,(1.15),是,由,(1.13),头两个方程乘 得到。所以，在消元过程第,k,步，若第,k,列第,k,至第,n,个元素中某个元素与其所在行,“,大小,”,之比为最大者，就选它作为主,元，这种选主元方法似乎是合理。经过这么修改,列主元消去法称为,按百分比列主元消去法,。,第22页,第三章,1 1.3 P,52,更详细地说，,Gauss,按百分比列抗消去法在消元过程第一步之前，对,i=1,2,n,计算方程组系数矩阵第,i,行大小,在第,k,步，求最小 使,以第,r,行作为主行，然后交换增广矩阵第,k,行与第,r,行。,算法,3.2,应用,Gauss,按百分比列主元消去法解,n,阶线性方程组,Ax,b,，其,中,输入,方程组阶数,n,；增广矩阵,A,，,b,。,输出,方程组解 或系数矩阵奇异信息。,step 1,对,i=1,2,n,若 ，则输出（,A is singular,）；停机。,step 2,对,k,1,，,2,，,，,n1,做,step 3,-,7,。,step 3,选主元,:,求,r,使,第23页,第三章,1 1.3 P,52,下,step 4,若,，则输出（,A is singular,）；停机。,step 5,若,则,step 6,对,j=k,n+1,(,交换增广矩阵第,k,行与第,r,行,),。,step 7,对,i=k+1,n,做,step 8-9.,step 8,step 9,对,j=k+1,n+1,step 10,step 11,对,k=n-1,1,第24页,第三章,1 1.3 P,53,step 12,输出 ；,停机。,例,3,应用,Gauss,按百分比列主元消去法解方程组,开始，我们计算得,因为,所以,第二行为主行,即 为第一步消元主元,.,交换 与 得 ，,。交换增广矩阵,A,b,第,2,行与第,1,行，即,第25页,第三章,1 1.3 P,53,下,计算乘子,进行第一步消元后，增广矩阵化为,第二步，我们计算得,因而，第三行为主行，为主元。交换 与 得 交换,增广矩阵第,3,行与第,2,行（此例中把 和 也交换），即,第26页,第三章,1 1.3 P,54,计算乘子,经第二步消元后，增广矩阵化为,最终，由回代过程计算得,第27页,第三章,1 1.3 P,54,下,算法,3.2,中，若不进行增广矩阵行交换，则可引进一个向量,来统计行交换。分量最初为,即 。若在消元过程第,k,步需要交换增广矩阵第,k,行与第,r,行,则交换,第,k,与第,r,个分量,.,消元过程结束时,向量 便给出消元过程中,一组主行指示。这么，最终 指示原始增广矩阵在第一步被选为主行,行，指示第二步被选为主行行，等等。在消元过程中，对增广矩阵进行,行交换目标是把系数矩阵化为一个上三角阵。由此可知，最终一个方程仅,含 ，倒数第一个方程含 和 等等。不过 最终元素也给出这种,信息：第 个方程仅含 ，第 个方程含 和 ，等等。因为在消,元过程中我们保留了元素 ，所以可在消元结束后对方程组右端向量 进,行变换。这么，我们来修改算法,3.2,。,第28页,第三章,1 1.3 P,54P55,算法,3.3,应用,Gauss,按百分比列主元消去法,(,不作矩阵行交换,),解,n,阶线,性方程组 其中,输入,方程组阶数,n,；系数矩阵,A,；右端向量,b,。,输出,方程组解 或系数矩阵奇异信息。,step 1,对,i=1,2,n,若 ，则输出（,A is singular,）；停机；,step 2,对,k,1,，,2,，,，,n1,做,step 3,-,6,。,step 3,选主元,:,求,r,使,step 4,若,，则输出（,A is singular,）；停机。,step 5,若,则,第29页,第三章,1 1.3,P55,step 6,对,i=k+1,n,做,step 7-8,。,step 7,对,i=k+1,n,做,step 8-9,。,step 8,对,j=k+1,n,step 9,step 10,对,i=2,，,3,，,，,n,step 11,step 12,对,i=n-1,，,n-2,，,，,1,step 13,输出 ；,停机。,例,4,我们应用,算法,3.3,解,例,3,方程组,第30页,第三章,1 1.3 P,55P56,开始，向量 。计算得,因为,所以 是第一步消元主行。我们把 修改为 ，而且计,算乘子,经第一步消元后，把系数矩阵修改为,第二步，计算得,第31页,第三章,1 1.3,P56,因而 是主行。我们把 修改为 ，而且计算得乘子,最终矩阵是,现在，我们计算修改向量,b,。我们有,最终，由回代过程计算得,第32页,第三章,1 1.3 P,56P57,对于手算来说，,算法,3.3,无疑是麻烦。然而，在计算机上，它比同类,应用矩阵交换算法则更为有效。,第33页,1 1.4 Gauss-Jordan,消去法,P57,1.4 Gauss-Jordan,消去法,解线性方程组（,1.1,）,Gauss-Jordan,消去法,实际上是无回代过程,Gauss,消去法。为了不进行回代过程，只要在消元过程每一步将主列中除主,元以外其余元素均消为零。在实际计算中，第,k,步消元之前无须将主元交换,到（,k,，,k,）位置上，能够依据每一步选取主元所在位置找出方程组解。,类似于公式,(1.9),推导，轻易导出,Gauss-Jordan,消去法（按列选主元）,计算公式。我们将方程组右端项记作 ，并,设第,k,步选取主元为 （列主元），则在消元过程中有,其中,第34页,第三章,1 1.4 P,57,方程组解为,算法,3.3,应用,Gauss-Jordan,列主元消去法解,n,阶线性方程组,其中,输入,方程组阶数,n,；增广矩阵,A,，,b,。,输出,方程组解 或系数矩阵奇异信息。,step 1,对,k,=1,2,n,做,step 2-4,。,step 2,选主元,:,求,使,step 3,若 ，则输出（,A is singular,）；,停机。,第35页,第三章,1 1.4 P,58,step 4,对,，,做,step 5,-,6,。,step 5,step 6,对,step 7,对,step 8,输出 ；,停机。,第36页,1 1.5,矩阵方程解法,P58,现在，我们应用,G,a,uss,消去法来解矩阵方程,，,（,1.18,）,其中,。假如按照自然次序进行消元，,则类似于公式（,1,.,9,），在消元过程第,k,步得到,其中要求 。,由回代过程得到方程（,1,.,18,）解,X,元素,计算公式为,注意,逐步计算得 存放到 位置上，存放到,位置上，最终,解 还可存放到,位置上。同解线性方程组,情形完全一,样，普通需要选主元。所以我们能够用,G,a,uss,列主元消去法,或,G,a,uss,-,J,o,rd,a,n,列主元消去法解矩阵方程（,1,.,18,）。,第37页,1 1.6 Gauss,消去法矩阵表示形式,P58,1.6 Gauss,消去法矩阵表示形式,应用基本,Gauss,消去法（假设没有进行行交换）解线性方程组（,1.1,）或,（,1.2,），消元过程第一步得到,即有 （,1.21,）,其中,第二步得到,即有,第38页,第三章,1 1.6 P59,假设进行了,k-1,步，得到,即有,或写成,其中 （,1.22,）,第,k,步则有,即有,其中,第39页,第三章,1 1.6 P59,下,其中,经过,n-1,步消元后，我们得到,即,是一个上三角阵。回代过程是解上三角阵方程组（,1.25,）。,矩阵 称为,Gauss,变换矩阵,或,消元矩阵,。我们能够把它写成,其中,I,为,n,阶单位阵，是第,k,个分量是,1,而其余分量全为,0,n,维向量，以及,第40页,第三章,1 1.6 P59,尤其地，若令 ，则有,这就是说，把 后 个分量都消为零。,因为 ，所以有,从而,其次，当 时，因为,则有,第41页,第三章,1 1.6 P60,它是一个单位下三角阵。,第42页,第三章,1 1.6 P60,P61,记 ，据（,1.24,）和（,1.25,）式有,所以,这么，我们把矩阵,A,分解成一个单位下三角阵和一个上三角阵乘积。,为了使基本,Gauss,消去法（不作行交换）能进行到底，我们假定了主元,全不为零。自然，我们要问在什么情形下这些主元全不零？,都是非奇异，此处 。,证实,对,k,用归纳法证实。当 时，定理结论显然成立。,假设定理直到 成立，即 全不为零充分必要条件是,次序主子矩阵 都非奇异。所以，不论是假定,全不为零或是 都非奇异，,Gauss,消去法消元过程总可进行,k,1,步，据,(1.22),式,第43页,第三章,1 1.6 P61,第44页,第三章,1 1.6 P61,下,第45页,第三章,1 1.6 P62,第46页,第三章,1 1.6 P61,P62,第47页,第三章,1 1.6 P62,P63,第48页,2,直接三角分解法,2.1,矩阵三角分解法,2.2 Court,方法,2.3 Cholesky,分解,2.4,分解,2.5,对称正定带状矩阵对称分解,2.6,解三对角线性方程组三对角算法（追赶法）,第49页,2 2.1,直接三角分解法,P63,2.1,矩阵三角分解法,2,直接三角分解法,第50页,第三章,2 2.1 P63,第51页,第三章,2 2.1 P63,P64,第52页,第三章,2 2.1,P64,第53页,第三章,2 2.1 P64,P65,第54页,第三章,2 2.1,P65,第55页,第三章,2 2.1,P65,中,第56页,2 2.2 Crout,方法,P65,2.2 Crout,方法,第57页,第三章,2 2.2 P66,上,第58页,第三章,2 2.2 P66,中,第59页,第三章,2 2.2 P66,P67,第60页,第三章,2 2.2,P67,第61页,第三章,2 2.2,P67,下,第62页,第三章,2 2.2,P68,第63页,第三章,2 2.2,P68,下,第64页,第三章,2 2.2,P68 P69,第65页,第三章,2 2.2,P69,第66页,第三章,2 2.2,P69 P70,第67页,第三章,2 2.2,P70,第68页,第三章,2 2.2,P70,下,第69页,2 2.3 Cholesky,分解,P71,2.3 Cholesky,分解,P71,第70页,第三章,2 2.3,P71,第71页,第三章,2 2.3,P72,第72页,第三章,2 2.3,P72,下,第73页,第三章,2 2.3,P73,第74页,第三章,2 2.3,P72 P73,第75页,第三章,2 2.4,P74,第76页,2 2.4,分解,P73,P74,2.4,分解,第77页,第三章,2 2.4,P74,第78页,第三章,2 2.4,P74,下,第79页,第三章,2 2.4,P75,第80页,第三章,2 2.4,P75,下,第81页,第三章,2 2.4,P75P76,第82页,第三章,2 2.4,P76,第83页,第三章,2 2.4,P76,下,第84页,2 2.5,对称正定带状矩阵对称分解,P77,2.5,对称正定带状矩阵对称分解,第85页,第三章,2 2.5 P77,下,第86页,第三章,2 2.5 P77,P78,第87页,第三章,2 2.5,P78,第88页,第三章,2 2.5 P78,P79,第89页,第三章,2 2.5,P79,第90页,2 2.6,解三对角线性方程组三对角算法（追赶法）,P79,下,2.6,解三对角线性方程组三对角算法（追赶法）,第91页,第三章,2 2.6,P80,第92页,第三章,2 2.6,P80,下,第93页,第三章,2 2.6,P81,第94页,第三章,2 2.6,P81,下,第95页,第三章,2 2.6,P82,第96页,3,行列式和逆矩阵计算,设 是,n,阶矩阵。这一节，我们讨论矩阵,A,行,列式,detA,和逆矩阵 计算。,3.1,行列式计算,3.2,逆矩阵计算,第97页,3,3.1,行列式计算,P82,下,3.1,行列式计算,第98页,第三章,3 3.1,P83,第99页,3 3.2,逆,n,矩阵计算,P83 P84,3.2,逆矩阵计算,第100页,第三章,3 3.2,P84,第101页,第三章,3 3.2,P84 P85,第102页,第三章,3 3.2,P85,第103页,第三章,3 3.2,P85 P86,第104页,第三章,3 3.2,P86,第105页,第三章,3 3.2,P86 P87,第106页,4,向量和矩阵范数,4.1,向量范数,4.2,矩阵范数,4.3,向量和矩阵极限,4.4,条件数和摄动理论初步,在数值代数，误差分析与微分方程数值解法中，都要用到向量,和矩阵,“,大小,”,即,范数以及极限概念。这一节，我们来讨论这些问,题。,第107页,4.1,向量范数,P87,4.1,向量范数,第108页,第三章,4 4.1,P87 P88,第109页,第三章,4 4.1,P88,第110页,第三章,4 4.1,P88 P89,第111页,第三章,4 4.1,P89 P90,第112页,第三章,4 4.1,P90,第113页,第三章,4 4.1,P90,下,第114页,第三章,4 4.1,P91,第115页,4 4.2,矩阵范数,P91,下,第116页,第三章,4 4.2,P91 P92,第117页,第三章,4 4.2,P92,第118页,第三章,4 4.2,P92 P93,第119页,第三章,4 4.2,P93,第120页,第三章,4 4.2,P94,第121页,第三章,4 4.2,P94 P95,第122页,第三章,4 4.2,P95,第123页,第三章,4 4.2,P95 P96,第124页,第三章,4 4.2,P96,第125页,第三章,4 4.2,P96 P97,第126页,第三章,4 4.2,P97,第127页,第三章,4 4.2,P98,第128页,第三章,4 4.2,P98,下,第129页,4 4.3,向量和矩阵极限,P98,第130页,第三章,4 4.3 P99,第131页,第三章,4 4.3 P99,P100,第132页,第三章,4 4.3,P100,第133页,第三章,4 4.3,P100 P101,第134页,第三章,4 4.3,P101 P102,第135页,第三章,4 4.3,P102,第136页,第三章,4 4.3,P102 P103,第137页,第三章,4 4.3,P103,第138页,4.4,条件数和摄动理论初步,P103,P104,4.4,条件数和摄动理论初步,在线性代数计算中，计算结果通常是近似。这是因为，在计算过程中，因为计算机字长有限，不可防止地产生舍入误差；另首先，因为问题初始数据，比如线性方程组系数矩阵和右端项，往往不是准确给出，所以使计算结果产生误差。或者说，假如初始数据有摄动，那么计算结果亦将产生摄动。,第139页,第三章,4 4.4,P104,第140页,第三章,4 4.4,P105,第141页,第三章,4 4.4,P105 P106,第142页,第三章,4 4.4,P106,第143页,第三章,4 4.4,P106 P107,第144页,第三章,4 4.4,P107,第145页,第三章,4 4.4,P107 P108,第146页,第三章,4 4.4,P108,第147页,5 Gauss,消去法浮数舍入误差分析,P108,P109,5 Gauss,消去法浮数舍入误差分析,第148页,第三章,5,P109,第149页,第三章,5,P109,P110,第150页,第三章,5,P110,第151页,第三章,5,P111,第152页,第三章,5,P111 P112,第153页,第三章,5,P112,第154页,第三章,5,P112,P113,第155页,第三章,5,P113,第156页,第三章,5,P113 P114,第157页,第三章,5,P114,第158页,第三章,5,P114 P115,第159页,第三章,5,P115 P116,第160页,第三章,5,P116,第161页,