序言实变函数简介省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件.pptx

,单击此处编辑母版标题样式,*,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,实变函数,介绍,序言,第1页,微积分基本定理,若f(x)在a,b上,连续,，则,若F(x)在a,b上,连续,，则,导数（切线斜率）,x,i-1,x,i,定积分（面积）,第2页,微积分发展三个阶段,创建（17世纪）：,Newton,（力学）,Leibniz,（几何）,(无穷小),严格化（19世纪）:,Cauchy,Riemann,Weierstrass,(极限理论,(-N,-语言),，实数理论),外微分形式（20世纪初）：,Grassmann,Poincare,Cartan,（微积分基本定理怎样在高维空间得到表达）,第3页,微积分继续发展三个方向,外微分形式(整体微分几何),（微积分基本定理怎样在高维空间得到表达）,复数域上微积分（复变函数）,微积分深化和拓展（实变函数）,第4页,1.Riemann积分回顾,(1)Riemann积分定义,积分与分割、介点集取法无关,几何意义（非负函数）：,函数图象下方图形面积。,x,i-1,x,i,其中,第5页,(2)Riemann可积充要条件,f(x)在a,b上Riemann可积,其中：,x,i-1,x,i,x,i-1,x,i,第6页,(2)Riemann可积充要条件,f(x)在a,b上Riemann可积,其中：,x,i-1,x,i,第7页,(2)Riemann可积充要条件,f(x)在a,b上Riemann可积,注：连续函数、只有有限个间断点有界函数和闭区间上单调函数Riemann可积,x,i-1,x,i,第8页,例：Dirichlet函数不Riemann可积。,注：D(x)下方图形,可看成由0,1中每个,有理点长出单位线,段组成。,上积分,下积分,0 1,第9页,（3)Riemann积分不足,a.微积分基本定理 定理：若f(x)在 a,b上可微且,f(x),在a,b上,Riemann,连续,则,注：推荐大家看看龚升写,话说微积分，简明微积分,数学历史启示（数学教学，.1）,微积分严格化后(高等数学研究,1-3）,1881年Volterra作出一可微函数，导函数有界但不Riemann可积；,第10页,b.积分与极限交换次序（普通要求一致收敛）,例：设r,n,为0,1中全体有理数(因为其为可数集，故可把它排成序列)，作0,1上函数列,故对普通收敛函数列，在Riemann积分意义下极限,运算与积分运算不一定可交换次序，即：,不一定成立。,则 f,n,(x)在a,b上Riemann可积,但,不Riemann可积。,第11页,Riemann积分,x,i-1,x,i,为使f(x)在a,b上Riemann可积，,按Riemann积分思想，必须使得,分划后在多数小区间上振幅,足够小，这迫使在较多地方振动,函数不可积。Lebesgue提出，,不从,分割定义域,入手，,而从,分割值域,入手；,(积分与分割、介点集取法无关),第12页,2.Lebesgue积分思想介绍,1902年Lebesgue在其论文“积分、长度与面积”中提出（参见：Lebesgue积分产生及其影响，数学进展，.1）,y,i,y,i-1,用,mE,i,表示 E,i,“,长度,”,第13页,Lebesgue积分思想,y,i,y,i-1,f(x)在 E,i,上振幅不会大于,其中,mE,i,表示 E,i,“,长度,”，,即：,第14页,对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻，他说：,假如我欠人家一笔钱，现在要还，此时按现金,面值大小分类,，然后,计算每一类面额总值,，,再相加,，这就是,Lebesgue积分思想,；,如不按面额大小分类，而是按从钱袋,取出先后次序,来,计算总数,，那就是,Riemann积分思想,（参见：周性伟，实变函数教学点滴体会，,高等理科教学，.1）,即采取,对值域作分划,，对应得到对,定义域,分划,（,每一块不一定是区间,），,使得在每一块上振幅都很小，,即,按函数值大小对定义域点加以归类,y,i,y,i-1,0 1,第15页,3.Lebesgue积分构思产生问题,(1),集合,E,i,“长度”怎样定义,（第三章 测度论）；,(2)怎样,函数,可使 E,i,都有“长度”,（第四章 可测函数）；,(3)定义Lebesgue,积分,并研究其性质,（第五章 积分论）；,第一章 集合，第二章 点集，第六章 微分与不定积分,y,i,y,i-1,第16页,4.集合论中一些例子,(1)Achilles追龟,问题：,时间,由,时刻,组成，每一时刻，甲、乙都在一,确定点,上因为甲、乙跑完对应旅程所用时间一样，故甲、乙所用“,时刻数,”一样，从而跑过,点“个数”,也一样。,0(甲)（乙）,3/4,7/8,15/16 1,甲速度为1，乙速度为1/2,第17页,(2)Hilbert旅馆问题,1,2,3,4,5,6,a,1,a,2,a,3,a,4,a,5,a,6,问以下情况是否能把新来人安排下：,1 又来了有限个人b,1,b,2,b,3,，b,n,3 每个人带无限多个亲戚（亲戚可排个队）,4 又来了0,1个人,2 每个人带一个亲戚b,1,b,2,b,3,b,n,第18页,Hilbert旅馆问题解答,1,b,1,b,2,b,3,b,n,a,1,a,2,a,3,1,2,3,4,5,6,a,1,a,2,a,3,a,4,a,5,a,6,4 不能安排进去,（,0,1是不可数集,）,2,b,1,a,1,b,2,a,2,b,3,a,3,3 a,1,a,2,a,3,a,4,a,11,a,12,a,13,a,14,a,21,a,22,a,23,a,24,a,31,a,32,a,33,a,34,第19页,参考文件,周民强，实变函数(论)，北京大学出版社，1995.6(),周性伟，实变函数，科学出版社，1998.9,胡适耕，实变函数，高等教育出版社，1999.7,徐森林，实变函数论，中国科学技术大学出版社，,郑维行等，实变函数论与泛函分析概要，高等教育出版社,1987,夏道行等，实变函数论与泛函分析，高等教育出版社，1983.2,Halmos，测度论(Measure theory),Rudin,实分析与复分析(Real and complex analysis).,实变函数论与泛函分析基础（第二版）,程其襄 等编,高等教育出版社，年7月.,北京九章图书,.tw/,互动出版网,www.china-高 等教育出版社，年7月.,第20页,