上机教学四函数的极值与优化省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/10/3,#,高等数学,上机教学（四）,函数极值与优化,第1页,上机目标,上机内容,MATLAB,2、会使用Matlab处理无约束最优化问题.,上机软件,1、会使用Matlab求函数极值；,1、Matlab中函数输入与调用；,2、函数极值求法；,3、无约束最优化问题.,第2页,在Matlab中，函数是采取M文件方式存放。,详细步骤以下：,1、新建一个M文件：,经过点击主窗口左上新建按钮。,2、输入函数内容：,例：函数 f(x1,x2)=exp(X12+X2),应在,M文件,中输入以下：,一、自变量为数量形式函数输入,第一节 Matlab中函数输入与调用,第3页,注意：,（1）、函数标识关键字：,function,（2）、函数名：f1=f1 自变量,:(x1,x2),（3）、函数表示式：a=exp(x12+x2),函数表示式能够由多个式子组成。,（4）、给函数结果赋值：f1=a,第4页,3、存放函数：,点击编辑窗口保留按钮。,注意,:,不要改变保留路径，文件名称必须和函数名称一致。,4、函数调用：,函数保留后，在命令窗口中即可调用该函数。,如求上述函数在x1=1,x2=2处函数值，即可在命令窗口中输入：f1(1,2),其中 f1 为刚才所输入函数名。,第5页,二、自变量为向量形式函数输入,例：函数f(x)=exp(x(1)2+x(2).其中x=(x(1),x(2),即x为一个二维向量。,此时输入与调用方式与数量时不一样,。,1、输入：,第6页,2、调用：,此时自变量为向量，调用格式为：f2(1,2),或 x=1 2;f2(x)即，自变量需采取向量形式输入。,3、实际运行结果以下：,f2(1,2),ans=,20.0855,x=1,2;,f2(x),ans=,20.0855,第7页,Matlab中，求一元函数极值函数为 fminbnd,1、此函数最简输入格式为：x=fminbnd(f,a,b),含义为：,求函数f在区间a,b上最小值点(自变量值).,2、对于最大值问题，需转化为最小值问题来处理。,(-f(x)在区间a,b上最小值就是f(x)在a,b最大值）,第二节 函数极值求法,一、一元函数极值求法,第8页,3、惯用格式x,fval=fminbnd(f,a,b).,结果中，fval为最小值，x为取到最小值点。,例：,Matlab命令：,x,fval=fminbnd(x.2+3*x+1,-2,3),含义是：,求函数f(x)=x2+3*x+1在-2,3内最小值。,结果为,x=-1.5000 fval=-1.2500,注,：此时函数很简单，故没有使用M文件。,第9页,多元函数最小值问题，在Matlab中有2个经常使用函数：,1、,fminsearch,2、,fminunc,注意,：,（1）、在使用这两个函数时，必须首先用M文件形式存放待求最值函数，而且需以向量函数形式表示；,（2）、最大值问题需转化为最小值问题。,二、多元函数极值求法,第10页,（1）、此函数使用单纯型法搜索最值；,（2）、使用格式：,x,fval=fminsearch(f,x0),其中f为待求最值向量函数，x0为搜索过程开始时自变量初始值。,例：,fminsearch(f,1,2)含义为：在x=1,2附近搜寻函数f最小值。,1、fminsearch,第11页,例：,求函数f(x,y)=-(x+y)+(x2+y2+1)在x=1,y=2,附近最小值点。,处理步骤：,1、建立M文件，保留函数f；,M文件内容为：,function f1=f1(x),a=-(x(1)+x(2);,b=(x(1)2+x(2)2+1);,f1=a+b;,2、调用fminsearch函数求最值.,在命令窗口中，输入：,x0=1,2;,x,fval=fminsearch(f1,x0),3、输出结果为：,X=0.5000 0.5000,fval=0.5000,第12页,（1）、此函数与fminsearch不一样地方在于使用搜索方法不一样，它使用牛顿法搜索最值，在效率上有所提升；,（2）、使用格式与fminsearch类似：,x,fval=fminunc(f,x0),其中f为待求最值向量函数，x0为搜索过程开始时自变量初始值。,例,：fminunc(f,1,2)含义为：在x=1,2附近搜寻函数f最小值。,2、fminunc,第13页,第三节 无约束最优化问题,求解无约束最优化问题基本思想,*Matlab优化工具箱介绍,第14页,标准形式：,一、求解无约束最优化问题基本思想,求解基本思想,(以二元函数为例),5,3,1,连续可微,第15页,第16页,多局部极小,唯一极小,(全局极小),第17页,搜索过程,最优点 (1 1),初始点 (-1 1),-1,1,4.00,-0.79,0.58,3.39,-0.53,0.23,2.60,-0.18,0.00,1.50,0.09,-0.03,0.98,0.37,0.11,0.47,0.59,0.33,0.20,0.80,0.63,0.05,0.95,0.90,0.003,0.99,0.99,1E-4,0.999,0.998,1E-5,0.9997,0.9998,1E-8,第18页,二、用Matlab解无约束优化问题（举例说明）,其中（3）、（4）、（5）等式右边可选取（1）或（2）等式右边。,函数fminbnd算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解。,惯用格式以下：,（1）,x=fminbnd(,fun,x,1,x,2,),（2）,x=fminbnd(,fun,x,1,x,2,，options),（3）,x，fval=fminbnd（.）,（4）,x，fval，exitflag=fminbnd（.）,（5）,x，fval，exitflag，output=fminbnd（.）,第19页,解 在matlab命令窗口中输入：,f=2*exp(-x).*sin(x);,fplot(f,0,8);%作图语句,xmin,ymin=fminbnd(f,0,8),f1=-2*exp(-x).*sin(x);,xmax,ymax=fminbnd(f1,0,8),第20页,例2 对边长为3米正方形铁板，在四个角剪去相等正方形以制成方形无盖水槽，问怎样剪法使水槽容积最大？,解,先编写M文件fun0.m以下:,function f=fun0(x),f=-(3-2*x).2*x;,主程序为：,x,fval=fminbnd(fun0,0,1.5);,xmax=x,fmax=-fval,运算结果为:xmax=0.5000,fmax=2.0000.即剪掉正方形边长为0.5米时水槽容积最大,最大容积为2立方米.,第21页,命令格式为:,（1）,x=fminunc（,fun,X,0,）；或x=fminsearch（,fun,X,0,）,（2）,x=fminunc（,fun,X,0,，options）；,或x=fminsearch（,fun,X,0,，options）,（3）,x，fval=fminunc（.）；,或x，fval=fminsearch（.）,（4）,x，fval，exitflag=fminunc（.）；,或x，fval，exitflag=fminsearch,（5）,x，fval，exitflag，output=fminunc（.）；,或x，fval，exitflag，output=fminsearch（.）,2、多元函数无约束优化问题,标准型为：,min F(X),第22页,3 fminunc为中型优化算法步长一维搜索提供了两种算法，由options中参数LineSearchType控制：,LineSearchType=quadcubic(缺省值)，混合二次和三次多项式插值；,LineSearchType=cubicpoly，三次多项式插,使用fminunc和 fminsearch可能会得到局部最优解.,说明:,fminsearch是用单纯形法寻优.fminunc算法见以下几点说明：,1 fminunc为无约束优化提供了大型优化和中型优化算法。由options中 参数LargeScale控制：,LargeScale=on(默认值),使用大型算法,LargeScale=off(默认值),使用中型算法,2 fminunc为中型优化算法搜索方向提供了4种算法，由 options中参数HessUpdate控制：,HessUpdate=bfgs（默认值），拟牛顿法BFGS公式；,HessUpdate=dfp，拟牛顿法DFP公式；,HessUpdate=steepdesc，最速下降法,第23页,例3 min f(x)=(4x,1,2,+2x,2,2,+4x,1,x,2,+2x,2,+1)*exp(x,1,),1、编写M-文件 fun1.m:,function f=fun1(x),f=exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);,2、输入命令窗口中输入:,x0=-1,1;,x=fminunc(fun1,x0);,y=fun1(x),3、运行结果:,x=0.5000 -1.0000,y=1.3029e-10,第24页,例4 产销量最正确安排,某厂生产一个产品有甲、乙两个牌号，讨论在产销平衡情况下怎样确定各自产量，使总利润最大.所谓产销平衡指工厂产量等于市场上销量.,第25页,2、基本假设,（1）价格与销量成线性关系,（2）成本与产量成负指数关系,第26页,3、模型建立,若依据大量统计数据,求出系数b,1,=100,a,11,=1,a,12,=0.1,b,2,=280,a,21,=0.2,a,22,=2,r,1,=30,1,=0.015,c,1,=20,r,2,=100,2,=0.02,c,2,=30,则,问题转化为无约束优化问题：求甲,乙两个牌号产量x,1,，x,2,，使,总利润z最大.,为简化模型,先忽略成本,并令a,12,=0,a,21,=0,问题转化为求:,z,1,=(b,1,-a,11,x,1,)x,1,+(b,2,-a,22,x,2,)x,2,极值.显然其解为x,1,=b,1,/2a,11,=50,x,2,=b,2,/2a,22,=70,我们把它作为原问题初始值.,总利润为：,z,(,x,1,x,2,)=(,p,1,-q,1,),x,1,+(,p,2,-q,2,),x,2,第27页,4、模型求解,（1）.建立M-文件fun.m,:,function f=fun(x),y,1,=(100-x(1)-0.1*x(2)-(30*exp(-0.015*x(1)+20)*x(1);,y,2,=(280-0.2*x(1)-2*x(2)-(100*exp(-0.02*x(2)+30)*x(2);,f=-y,1,-y,2,;,（2）.输入命令:,x0=50,70;,x=fminunc(fun,x0),z=fun(x),（3）.计算结果:,x=23.9025 62.4977,z=-6.4135e+003,即甲产量为23.9025,乙产量为62.4977,最大利润为6413.5.,第28页,1、求函数 在区间-10,10内最值？,2、求函数 在区间-1,3内最值？,3、某工厂要制作一个容积为100立方米无盖长方体容器，问：怎样制作材料最省？,4、要制作一表面积为108平米水池，问：怎样选择长宽高，能使得容积最大？,上机作业（四）,第29页,5、梯子长度问题（,选作,）,一楼房后面是一个很大花园.在花园中紧靠着楼房有一个温室,温室伸入花园2m,高3m,温室正上方是楼房窗台.清洁工清扫窗台周围,他得用梯子越过温室,一头放在花,园中,一头靠在楼房墙,上.因为温室是不能承,受梯子压力,所以梯子,太短是不行.现清洁工,只有一架7m长梯子,你,认为它能到达要求吗?,能满足要求梯子,最小长度为多少?,第30页,