群论课件第二章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,2,章 群论基础 第,1,节 群,1.1,群的概念,一种集合,-,不同元素,一种运算,-,二元运算群中的,“,乘法,”,四个条件,封闭性。,结合律。,单位元。,逆元。,称,B,为,A,的逆元，或者是,A,为,B,的逆元,。,称,E,为单位元,。,把这种集合称为,群,，用,G,表示，集合中的元素称为,群元,1,说明,：,1.,一个群中的单位元是唯一的。,2.,一个元素的逆元是唯一的。,若,则,所以,2,1.2,群的分类,1.,群阶：群元的数目。记作,g,。,-,有限群：,g,有限。,例：,循环群：群中所有的群元是按某个元的幂来产生。运算为乘法,-,无限群：,g,无限,例：所有整数的集合，运算为加法,按个数分：有限群和无限群,3,2.,群乘：将集合中的任意两个元构成唯一的,另一个元的一种运算。群乘不一定,是通常代数中的乘法。,不一定成立,-,交换群或者阿贝尔群：满足交换律,（循环群都是阿贝尔群）,-,非交换群：不满足交换律,按运算方法分：交换群和非交换群,不一定满足交换律。,4,1.3,群元的基本性质,1.,单位元,E,-1,=E,E,的逆元仍为,E,2.,逆元,(A,-1,),-1,=A,逆元之逆元为元素本身,3.,乘积的逆元,(AB),-1,=B,-1,A,-1,请证明！,5,1.4,具体群的举例,1.,数群（取数学对象为普通的数）,以数为群元，以数学运算为群乘，构成数群,例,(1),：全部正负整数,(,包括,0),的集合，群乘为加法,E=0,，,A=n,A,-1,=-n,这是无限群、可交换群（阿贝尔群）,例,(2),：全部正负整数,(,不包括,0),的集合，群乘为乘法,E=1,，,A=n,A,-1,=1/n,提问：这是不是群？为什么？,答案：不是，因为,A,-1,=1/n,不是整数，,A,没有逆元,。,6,2.,矩阵群,例：矩阵群,d,3,=e,a,b,c,d,f,1 0 0 0 1 0 1 0 0,e =0 1 0 a =1 0 0 b =0 0 1,0 0 1 0 0 1 0 1 0,0 0 1 0 0 1 0 1 0,c =0 1 0 d =1 0 0 f =0 0 1,1 0 0 0 1 0 1 0 0,满足封闭性，单位元，逆元都存在，并且满足结合律,（同学自证）,7,1.5,群表和群表定理,1.,群表,:,（群的乘法表）,群中所有元素两两乘积的结果,群表一定，群元之间的关系就完全确定了,左因子（第一因子）,右因子,(,第二因子,),8,2.,群表定理（重排定理）,一个群的全部元，在群表中的每一行或每一列都要出现，而且只出现一次，只是次序不同。数学表述如下：,G,：,E,，,A,2,，,A,3,，,A,4,-A,g,A,k,G,:A,k,，,A,k,A,2,，,A,k,A,3,，,A,k,A,4,-A,k,A,g,中,或,G,A,k,:A,k,，,A,2,A,K,，,A,3,A,k,，,A,4,A,k,-A,g,A,k,中,每个元素必然出现并只出现一次,(,只是重排,),，即群,G,被其中的元素左乘或右乘仍为该群,G.,A,k,G,=,G,A,k,=G,9,重排定理：,A,k,G =G A,k,=G,求证,:,G,A,k,=G,证明,:,第一步：证明每个元素必出现在,G,A,k,中,（即证明若元素,X,G,，则必,X,G,A,k,）,令,A,r,=X A,k,-1,X,，,A,k,-1,G,A,r,G,(,封闭性,),则,X,=,A,r,A,k,G,A,k,第二步：证明每个元素只出现一次,（即证明若又有一元素,A,s,G,使,A,s,A,k,=X,则必有,A,s,=A,r,）,A,s,A,k,=X,又由前面可知,X,=,A,r,A,k,，,A,r,A,k,=,A,s,A,k,则,A,r,=A,r,（,A,k,A,k,-1,）,=,（,A,r,A,k,）,A,k,-1,=,（,A,s,A,k,）,A,k,-1,=A,s,（,A,k,A,k,-1,）,=,A,s,10,1.6,几种对称群,1.,晶体平移群,格矢：空间点阵之间的矢量（平移矢量）。,平移群：所有平移操作的集合构成一个群。,2.,分子转动群,以对称操作为群元，以相继操作为群乘，构成对称群,11,例,D,3,群,E,不动,C,绕,C,轴转,180,o,A,绕,A,轴转,180,o,D,逆时针转,120,o,B,绕,B,轴转,180,o,F,逆时针转,240,o,12,两个相继操作：先操作右（第二）因子，后操作左（第一）因子,例如：,AB=D,B,A,D,BC=D,C,B,D,作业,：,D,2,=,？,D,3,=,？,DA=,？,AD=,？,13,D,3,群的乘法表,14,3.,置换群,以变换位置的操作为群元，以相继操作为 群乘，构成置换群,（,1,）,置换操作,1 2 3,f=,位置,1,上的粒子换到位置,3,上了,3 1 2,（,2,）循环表示法,1 2 3,f=,3 1 2,1 2 3,a=,2 1 3,（,1 3 2,）,（,1 2,）没有置换的不写,15,置换群,S,3,S,3,群由以下六元素构成：,1 2 3 1 2 3 1 2 3,e=a=b=,1 2 3 2 1 3 1 3 2,1 2 3 1 2 3 1 2 3,c=d=f=,3 2 1 2 3 1 3 1 2,a=(1 2)b=(2 3)c=(1 3),d=(1 2 3)f=(1 3 2),构成群,S,3,=E,(1,2)(2,3)(1,3)(1,2,3)(1,3,2),写出乘法表,16,设有、三个物体，分别置于,1,，,2,，,3,三个位置,b,a,ab=d,1 2 3,2 3 1,ddd=e,d,d,d,17,S,3,群的乘法表,18,第二节 子群和陪集,2.1,子群,(1),定义：群,G,中的一些元的集合,S,，若在相同的群乘定义下又构成群，则,S,称作群,G,的,子群。,例：,D,3,群,E A,，,E D F,是子群,A B,，,A B E,不是子群,无单位元 无封闭性,名词：,平凡子群：任何群都存在两个平凡子群，一个是仅有单位元,E,构成的子群，另一个是,G,本身。即,E,，,G,真子群：,S,不是平凡子群，是真子群,19,(2),子群的基本性质,子群中的单位元就是大群中的单位元,证明：设,E,是,S,中的单位元，则对任意,A,S,E,A=A,又,EA=A,所以,E,A=EA,，因此,E,=E,子群中的任一元素的逆元，就是该元素在大群中的逆元,证明：设,A,i,A,j,S,，且,A,i,A,j,=E,，所以,A,i,A,j,在大群中也互逆,两个子群的交集仍然是子群,20,(3),子群的判别定理,群,G,中有一个非空集合,S,是,G,的一个子群的充分必要条件是：,若,S,中包含元素,A,i,和,A,j,，它也应该包含,A,i,和,A,j,的乘积,A,i,A,j,若,S,中包含元素,A,i,，它也应该包括,A,i,的逆元,A,i,-1,注：说明群元的组合规则在,G,中成立，,则在,H,中也成立。,说明单位元和逆元的存在。,21,2.2,陪集,(1),定义：设,S,是群,G,中的子群，其群元是,E,S,2,S,s,取群,G,中不属于子群,S,的一个元,X,右乘子群的所有元，所得的集合,SX,为,SX=EX,S,2,X,S,s,X,称作子群关于,X,的右陪集；,同样可以定义左陪集，,XS,称为关于,X,的左陪集。,注：若,XS,，则根据重排定理，有,SX=XS=S,这仍是子群本身，不称为陪集,22,(2),有关陪集的定理,陪集中的元素各不相同,证明：若,XA,i,=XA,j,，则有,A,i,=A,j,陪集定理,陪集,S,X,和,S,Y,要么完全相同，要么完全不同,（即若有一共同元，则全同）,证明：若 有一共同元，,S,m,X=S,n,Y (S,m,S,n,S,),则,S,m,-1,S,m,X Y,-1,=S,m,-1,S,n,YY,-1,(,左乘,S,m,-1,，右乘,Y,-1,),因此,X Y,-1,=S,m,-1,S,n,S,(,封闭性,),则,S,X Y,-1,=,S,群表定理,(,只是重排,元素结合不变,),故,S,X=,S,Y,推论：有限群,G,可被子群及其陪集完全划分,23,若,X,不是,S,的一个元，那么,SX,不是一个群。,证明：若,SX,是一个群，则,E,SX,，则存在,S,m,S,，,且,S,m,X=E.,则有,X=S,m,-1,，因为,S,m,-1,S,所以,X,S,，,与假设矛盾,。,G,中的每一个元必落在子群或某一个右陪集中。,证明：,X,G,，且,X,SX,。,X,S,时，,X,就落在子群,S,中。,若,Y,是,SX,的元，那么,SY,与,SX,是相同的。,证明：,Y=EY=S,1,Y,Y,SY.,根据陪集定理，若,Y,SX,，,则有：,SY,SX,24,(3),子群的阶定理（,lagrange,定理）,若子群,S,群,G,，则有限群,G,的,阶,g,子群,S,的阶是,h,，则,g,是,h,的整数倍。即,g=hl,式中，,l,是整数，称为子群,S,在,G,下的指数。,证明：,1.,群,S,及其陪集必然包括大群,G,中所有的元,答案：,S,中有,E,（群,G,中任何一个,S,以外的元素,X,必然在陪集,S,X,中）,2.,S,X,和,S,Y,要么全同，要么全不同（陪集定理）,3.,子群,S,与陪集,S,X,没有共同元（,X,应不属于,S,）,若 有,S,m,=S,n,X,则,X=S,n,-1,S,m,S,，与前提矛盾,4.,子群与其陪集的阶相同（元素的数目相同）,皆为,h,5.,由以上四点可知，,g,是,h,的正整因子,G =S +S,X,+S,Y,+S,W,（,g,）（,h,）（,h,）（,h,）（,h,）,25,作 业,1.,根据,D,3,群，请计算出,D,2,=,？,D,3,=,？,DA=,？,AD=,？,从上述计算中可以得到什么样的结论？,2.,请写出,D,3,群的子群及其与子群对应的左（右）陪集,26,第,3,节 共轭元素和共轭类,3.1,共轭元素,(1),定义：如果群,G,中存在元素,A,B,X,使得下面 的关系成立,B=X,-1,AX,或者,B=XAX,-1,则称群元,B,与群元,A,互相共轭,(2),性质,对称性：,由,B=X,-1,AX,，左乘,X,，右乘,X,-1,，得,XBX,-1,=XX,-1,AXX,-1,=A,即若,A,是,B,的共轭，,B,也是,A,的共轭。,27,传递性：,若,B=XAX,-1,，,C=YBY,-1,，,则,C=Y(XAX,-1,)Y,-1,=(YX)A(X,-1,Y,-1,)=(YX)A(YX),-1,=ZAZ,-1,(,X,Y,Z,A,B,C,G,),即若,A,与,B,共轭，,B,与,C,共轭，则,A,与,C,共轭,反身性：,Abel,群中每个元自共轭,X,-1,AX=X,-1,XA=A,单位元自共轭,28,3.2,共轭类,(1),定义：,群,G,中所有互相共轭的元素形成的完全集合,-,群中的共轭类，常用,C,表示,即,XCX,-1,=C X,G,式中,：,C=C,1,C,2,C,n,XC,i,X,-1,=C,j,(i,j=1,2,n),(2),性质,单位元自成一类,不同的类中没有共同元,除单位元这一类外，其余各类都不是子群，因为这些类中不包含单位元,Abel,群的每个元自成一类（,请证明,）,29,矩阵群中，同一类的元各互为相似矩阵，因而有相同的矩阵迹,因为,B=XAX,-1,所以,Tr(B)=Tr(XAX,-1,)=Tr(XX,-1,A,)=Tr(A),同一类的元素具有相同的阶数,即：如群中有一元,A,，其阶为,a,，则,A,a,=E,，那么与,A,同类的任意元,XAX,-1,亦具有相同的阶,a,证明,(XAX,-1,),a,=(XAX,-1,),(XAX,-1,),(XAX,-1,),=XA,a,X,-1,=XEX,-1,=E,30,（,3,）怎样求一个群中的共轭类,例,D,3,=E,，,A,，,B,，,C,，,D,，,F,C,1,=E,A,所在的类？,D,所在的类,E,-1,AE=A .,A,-1,AA=A .,B,-1,AB=C .,C,-1,AC=B,D,-1,AD=C,F,-1,AF=B,C,2,=A,，,B,，,C C,3,=D,，,F,31,第,4,节 商群,4.1,共轭子群,定义：设,S,是群,G,的一个,s,阶子群,S=S,1,=E,S,2,S,s,X,是群,G,中某个确定的元素，则集合：,XSX,-1,=XS,1,X,-1,XS,2,X,-1,XS,s,X,-1,构成群，称作群,G,的,共轭子群,证明：封闭性，结合律，单位元，逆元,32,4.2,正规子群,(,不变子群，自共轭子群,),(1),定义：对于群,G,中的每一个元,X,，当,G,的子群,S,满足,XSX,-1,=S,时，就称,S,为,正规子群，,记作,N,注：,正规子群的定义并,不是,指子群,S,中的每一 个元,S,m,以及群,G,中的每一个元,X,都使等式,XS,m,X,-1,=S,m,成立。,而仅仅是说两个集合,XSX,-1,及,S,包含有,相同的元,33,(2),性质,N,与,G,中的任何群元都对易,XN=NX,一个正规子群的自乘积仍是正规子群,NN=N,N,与其陪集的内积仍为该陪集本身,N,XN=XN,2,=XN,对于一切,A,G,，,正规子群,S,对于,A,的左陪集,AS,以及右陪集,SA,是一样的。既有,AS=SA,。,请证明！,34,正规子群的陪集定理：一个正规子群的两个陪集的乘积必定是一个陪集或一个正规子群,证明：,设正规子群的两个陪集是,NK,和,NL,，,K,，,LG,，使群中任意两个元。则有,：,NKNL=NKN(K,-1,K)L=N(KNK,-1,)KL=NNKL=N(KL),若,KL=F,不属于,N,，则,N(KL),就是一个陪集。,若,KL,属于,N,，则,N(KL),就是一个正规子群。,一个正规子群，包含一个或几个完全类。反之，包含一个或几个完全类的子群都是正规子群（,自证,）,35,3.,商群,定义：设有一个阶数为,g,的群,G,，有阶数为,h,的正规子群,N,，则按陪集定理，群,G,可按,N,的左（或右）陪集分解（包括正规子群）。于是,N,和,N,的所有不同陪集形成一个集合，将这个集合的乘法叫做群乘，则此集合构成一个群，叫商群或者因子群。记为：,G/N.,有,G/N=N,NX,2,NX,3,NX,h,请证明：封闭性，结合律，单位元，逆元,36,求出,D,3,群的商群,先求出,D,3,群的正规子群,子群：,EE,AE,BE,CE,D,FE,A,B,C,D,F,共轭类：,EA,B,CD,F,N,1,=E N,2,=E,D,F N,3,=E,A,B,C,D,F,商群：,G/N,1,=(E),(A),(B),(C),(D),(F),G/N,2,=(E,D,F),(A,B,C),G/N,3,=(E,A,B,C,D,F),37,第五节 同构与同态,同构（,isomorphism,）,定义：有两个群,G=E,A,B,C,和,G=E,A,B,C,，它们中的元素存在一一对应的关系，即,A A,B B,C C,在各自群乘的定义下，若,AB=C,时，有,A,B,=C,对一切群元成立，则这两个群称为同构群。,注：互相同构的两个有限群，阶相同，且有相同 的群乘表。,同构关系是一种等价关系,38,2.,同态（,homomorphism,）,（,1,）定义：有两个群,G=A,1,A,2,B,1,B,2,C,1,C,2,和,G,=A,B,C,若群元之间存在着多对一的单方面度应关系：,A,1,A,n,A,B,1,B,n,B,在各自群乘的定义下，若,A,i,B,j,=C,k,，均对应于,A,B,=C,，则这两个群同态，或称准同构,（,2,）性质,同态是同构的特殊体系（,n=1,）,同态关系不是等价关系，但具有传递性,39,第六节 直积群,定义：有两个群,G,a,和,G,b,，它们的阶分别为,g,a,和,g,b,。其中，,G,a,=E,，,A,2,，,A,ga,G,b,=E,，,B,2,，,B,gb,如果它们满足下列要求：,(1)G,a,、,G,b,除单位元以外没有公共元,(2),群,G,a,中的每一个群元与,G,b,中的每一群元对易。,则有：,=E,，,A,2,，,A,ga,B,2,A,2,B,2,A,ga,B,2,A,ga,B,gb,形成一个,g,a,g,b,阶的群，其群元可写成,A,i,B,k,的形式，这个群就记作,G,a,与,G,b,的直积群,G,。记作,G=,40,例：,2.,性质,(1),(2),若,G,a,和,G,b,是阿贝尔群，则它们的直积也是阿贝尔群,(3)G,a,中的子群与,G,b,中的子群的直积是它们直积中的子群,(4)G,a,中的类与,G,b,中的类的直积是它们直积中的类,(5)G,a,中的正规子群，与,G,b,中的正规子群直积，是它们直积中的正规子群。,41,3.,利用直积由小群变成大群,例：设有,A,，,B,，,C,。满足,A,2,=B,2,=C,2,=(AB),2,=(AC),2,=(BC),2,=E,求：由,A,B,C,生成的群。,解：,G,1,=E,，,A,，,G,2,=E,，,B,42,