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分类讨论:建构初中数学严谨的思维方式徐茜敏(江苏省徐州市睢宁县城西学校 2 2 1 2 0 0)【摘要】分类讨论是一种解题方法,也是一种思维理念.学生熟练运用分类讨论方法,可以提高解题的正确率,培养严谨的思维习惯.本文首先分析分类讨论思想在初中数学教学中的应用意义,然后从“创设熟悉情境,培养分类意识”“依托分类思想,厘清数学概念”“布置分类任务,探究几何问题”“注重解题训练,实施分类实践”四个方面探索分类讨论思想在初中数学教学中的有效应用策略.【关键词】分类讨论;初中数学;课堂教学分类讨论思想,是解决问题的一种基本策略,更是一种严谨的思维方式.这需要学生根据合理的逻辑,将研究对象划分成各种不同的类别,在整理和分析的过程中推导出正确的结论.当前,分类讨论思想在初中数学教学中得到广泛应用,对于公式、定理、概念、运算等抽象的知识点都能起到良好的教学指导作用.下面,笔者结合具体的教学案例,对分类讨论思想在初中数学学习中的应用谈一谈自己的思考和实践.1 分类讨论思想的应用意义1.1 提高问题分析能力并非所有的问题都有唯一的答案.如果学生无法意识到这个关键点,说明初中生未能从小学阶段的学习观念中脱离出来,数学思想存在薄弱点,在思考和研究的过程中很容易出现遗漏答案的情况.教师可以应用分类讨论思想,弥补学生在问题思考方面的短板.比如,针对某些结果不唯一的数学问题,让学生学会根据不同的情况、不同的标准,逐一讨论.之后,将所有讨论结果归纳汇总,将问题的答案逐步完善.由此,就能逐步养成良好的分类思考习惯,让学生的数学思维变得更为严谨,避免他们出现思维定式的问题.1.2 优化探究学习方式传统的数学学习方式通常以套用模板、反复刷题的方式为主,教师会采用“满堂灌”的方式,将知识点直接填充给学生.在这种情况下,很容易僵化学生的数学思维,导致学生的探究学习效率低下.教师应该优化教学方式,让学生尝试运用分类讨论思想,对不同的知识类别进行举例.这样既可以锻炼学生的合作探究能力,也能提高学生的思维水平,帮助学生更好地认清数学学科的本质.1.3 灵活运用基础知识运用数学基础知识解决问题是数学学习根本目标,但很多问题往往答案不唯一,需要进行不同的假设后才能分别得出答案,而一旦问题需要从多角度进行分析思考,学生的答题就会陷入僵局.通过运用分类讨论思想,可以帮助学生灵活应用所学的基础知识,将重要的公式、概念、定理融会贯通1.比如,数学问题的某个已知量中包含字母,学生在解答这类习题时,应有意识地根据字母的取值范围进行分类讨论,求解出不同的题目结果.这样可以确保解题方向的正确性,从而让学生更好地迁移运用基础知识.2 分类讨论思想在初中数学教学中的有效应用策略2.1 创设熟悉情境,培养分类意识分类讨论需要兼顾很多问题细节,许多初中生由于不熟悉分类讨论的思考方式,当求解出一个答案之后,就会习惯性地终止思考,忽略了有多个答案存在的情况.新课标鼓励教师运用情境教学的方式,引发学生的参与积极性,从而让学生逐渐熟悉分类讨论的学习方式,培养出良好的分类意识.首先,教师可以在教学中融合生活元素,让情境更富有真实感.例如 教师在教学苏科版初中数学八下有关“直方图”的课程时,可以通过电子白板创设以下生活情境:某初中学校为了举办广播体操比赛,需要选65 数理天地 初中版教学思想实践2 0 2 3年1 1月上拔一些身高相仿的学生加入方队.同时,屏幕上会展示一张身高调查表.教师根据调查表提出问题:“如何针对表中的数据,合理进行分类?”该情境问题具有一定的开放性,学生可以大胆发表自己的观点.比如,有的学生认为应当绘制频数分布表,有的学生认为应当先取平均数,有的学生认为应当标注好组数、组距.根据学生的看法,教师可以让意见相同的学生相互合作,尝试结合调查表绘制直方图,并根据不同的取值范围,得出最为合理的身高选取范围.其次,教师可以通过新旧结合的方式,构建教学情境.所谓新旧结合,是以旧知识为基础,引发学生的深度联想,与新知识相互关联在一起.例如 教师在讲解有关一元二次方程根判别式的知识点时,可以结合以前所学的知识点,导入以下问题情境:关于一元二次方程,我们曾经学习过各种解析的方法,大家是否能通过分类的方式,将这些方法逐一列举出来.学生通过回忆,可以总结出直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法四种解题方法.此时,教师可以列举四道方程例题,鼓励学生求解出结果,并趁热打铁,进一步提出分类讨论问题:认真观察以上方程的根,分析这些根的情况是否存在差异性.学生通过讨论判定,可以发现这些根的情况并不相同.有的存在两个实数根,且二者相等;有的同样存在两个实数根,但二者不等;还有的不存在实数根.根据学生的讨论结果,教师可以展示一些经典例题,让学生思考以上总结的三种情况需要什么条件才能出现.由此,学生在反复分类讨论的过程中,就能从中得到良好的学习启发,认识到根的判别式在解题中有什么样的应用意义,逐渐体会分类讨论思想的严谨性2.2.2 依托分类思想,厘清数学概念概念的掌握是学习数学的前提和基础,其中涉及公式、定理、法则等类型丰富、内容抽象的知识要点.一般情况下,概念的表达是严谨的,甚至每一个字都有着很重要的意义.在进行概念教学的时候,教师要渗透分类讨论的思想,帮助学生深刻掌握概念的内涵,充分夯实学生的数学基础3.针对某些容易混淆的数学概念,由于它们的相似性相对较高,教师就可以利用分类讨论思想,厘清概念,让学生能够深刻记忆.例如 对于“绝对值和相反数”的概念,学生很容易弄混.教师可以利用生活场景,选择三个位于一条直线的三个地方A,B,C,其中A B=B C,B为中点.教师可以将三个点放在同一条数轴之中,B刚好与原点重合.此时,教师提出思考问题:A点和C点与原点有什么关系?学生经过观察后,可以得出“两个点距离原点均相等”这个结论.在数轴上,教师可以用正负数标记这两个点的数值.并继续提出问题:如果消除掉这两个数的正负号,二者之间的关系是什么?当学生回答相等这个答案之后,教师就能顺利导出相反数这个数学概念.在此基础上,教师可以继续布置分类讨论学习任务:A点与C点到原点的距离与什么因素有关?与什么因素无关?借助生活经验,学生会意识到,距离是一种长度,应当以正数表示,而绝对值必定是正数.数轴上的数字需要考虑数字所处的位置,与正负性密切相关,需要用正负数加以表示,明显不适用于现实中的距离问题.由此,学生在分类讨论的过程中,就能明确两种数学概念的不同之处.2.3 布置分类任务,探究几何问题几何问题是数学学科的学习难点,这类问题同样能应用分类讨论思想加以解析.一般来讲,学生需要从图形位置、图形形状两方面入手,讨论对应的图形问题.对此,教师可以结合分类讨论理念,让学生深入理解几何图形有哪些性质特点,找出解决几何问题的有效方法4.例如 教学“直线与圆位置关系”时,教师可以组织富有趣味性的小实验,让学生使用圆规在草纸上绘制一个圆.随后将直尺放置在圆上,尝试上下移动.并提出实验问题,如果将直尺视为直线,你认为这条直线通过移动,能与圆出现几种位置关系?学生们通过实验操作,不难发现相交、相切、相离三种情况.之后,教师可以通过多媒体播放日出的动画,将太阳视为圆,将地平线视为直线.并引出思考问题:如视频所示,日出的过程可以直观反映出相交、相切、相离三种直线与圆的位置关系,圆和直线在这三种关系中分别有几个公共点?学生既可以主动上台操作多媒体设备,在大屏幕上标记出三种位置情752 0 2 3年1 1月上教学思想实践 数理天地 初中版况下公共点的数量,也可以在台下自主探究,通过实验和猜想得出结论.在此基础上,教师可以继续布置分类探究任务,在相交、相切、相离三种情况下,分别判定圆的半径跟圆心到直线的距离的长短关系.借助分类讨论学习任务,可以从不同的角度梳理几何图形位置关系的知识要点.这样既可以提高学生的几何课程学习效率,也能在潜移默化中渗透数形结合思想,培养学生良好的几何直观核心素养.2.4 注重解题训练,实施分类实践除了基础教学,分类讨论思想也是解析数学题的重要武器.在新课改的背景下,初中阶段的数学题目多以实践应用为主,题干信息相对比较复杂.学生在读题过程中,经常会遗漏掉重要的条件,或因为对数学概念掌握得不够扎实,导致学生的解题结果存在偏差.因此,教师应当从日常的解题训练入手,将分类讨论思想融入其中,充分强化学生的实践解题能力.例1 假如等腰三角形中有一个角为5 0,试问该等腰三角形的顶角为多少度?解析 许多学生在面对这类题目时,很容易出现思维定势,将题目中给出的角默认为底角,再经过相应的计算,求出顶角为8 0 .但题目中并未明确说明这个角不可以为顶角.因此,根据分类讨论思想,应当得出5 0 和8 0 两个答案.例2 有一个等腰三角形,它的其中两条边长分别为3 c m和6 c m,试问周长为多少?解析 有些学生因为例1的前车之鉴,会下意识地使用分类讨论思想,将3 c m和6 c m分别视为等腰三角形的腰长,进而得出1 2 c m和1 5 c m两个答案.这属于对分类讨论思想的误用,因为分类讨论既要有分类的过程,也要论证每一种情况是否合理.在本题中,若腰长为3 c m,则两腰的长度和为6 c m,正好与底边6 c m相等.根据三角形的基本定义“任意两边的长度和必定大于第三边的长度”,说明这种情况不合理,应当排除.因此,本题只有1 5 c m一个答案.例3 解方程x-1=2.解析 根据以往的学习经历,当题目中涉及绝对值时,学生应当产生警惕意识.在题目中,绝对值为2的数字有2个.因此,教师应对x-1=2或x-1=-2展开分类讨论,分别求出3和-1两个正确答案.例4 尝试比较1+a与1-a的大小.解析 在实际做题中,针对比较大小类的问题,采 用 作 差 法 的 方 式 最 为 合 适.通 过 列 式1+a -1-a ,经化简可得2a.此时,需要从2a=0,2a0时,1+a1-a;当a=0时,1+a=1-a;当a0时,1+a1-a.综上所述,教师通过各种类型的习题演练,可以帮助学生迅速熟悉分类讨论思想的实践应用,强化学生的解析思路,从而掌握良好的解题技巧.运用分类讨论思想,既能提高学生做题的准确性,又能培养他们严谨的数学思维,更有利于学生数学核心素养的发展5.3 结语在初中数学教学中合理运用分类讨论思想,不仅能让学生掌握高效的解题技巧,也能帮助学生将数学基础知识融会贯通.教师应当从情境、概念、几何、解题等方面入手,深化分类讨论思想的实践应用,让学生在探究过程中充分掌握数学学科的知识要点,将复杂的问题有效简化,全面发挥分类讨论思想的实践作用,从而帮助学生在数学学习中构建严谨的思维方式.参考文献:1王珍.分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用J.中学数学,2 0 2 3(1 2):7 3-7 4.2徐水花.初中数学分类讨论思想运用原则与学习策略J.现代中学生(初中版),2 0 2 3(0 6):1 1-1 2.3柳广社.分类讨论思想在初中数学解题中的应用探索J.数学学习与研究,2 0 2 3(0 6):6 5-6 7.4黄道全,龚敬明.例谈分类讨论思想在中考综合试题中的运用J.数理化学习(初中版),2 0 2 3(0 1):1 7-2 0.5单侠飞.分类讨论法在初中数学解题中的有效应用J.数学之友,2 0 2 2,3 6(2 3):8 1-8 3.85 数理天地 初中版教学思想实践2 0 2 3年1 1月上