高等几何讲义(第1章).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,高 等 几 何,(Higher Geometry),单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,高 等 几 何,(Higher Geometry),课 程 概 论,一、高等几何的内容,什么是射影几何？,直观描述,欧氏几何,仿射几何,射影几何,十九世纪名言,一切几何学都是射影几何,鸟瞰下列几何学,欧氏几何,(,初等几何,),研究图形在“搬动”之下,保持不变的性质和数量,(,统称,不变性,，如距离、角度、面积、体积等,),搬动,正交变换,对图形作有限次的平移、旋转、轴反射的结果,欧氏几何,研究图形的,正交变换不变性的科学,仿射几何,平行射影,仿射变换,仿射几何,研究图形的,仿射变换不变性的科学,透视仿射变换,有限次平行射影的结果,仿射不变性,比如,平行性、两平行线段的比等等,射影几何,中心射影,射影变换,射影几何,研究图形的,射影变换不变性的科学,透视变换,有限次中心射影的结果,射影不变性,比如,几条直线共点、几个点共线等等,射影变换将彻底改变我们原有的几何空间观念！,课 程 概 论,一、高等几何的内容,二、高等几何的与方法,综合法,给定公理系统,(,一套相互独立、无矛盾、完备的命题系统,),，演绎出全部内容,解析法,形、数结合，利用代数、分析的方法研究问题,本,课程,以,解析法为主，兼用综合法,课 程 概 论,一、高等几何的内容,二、高等几何的与方法,三、开课目的,学习射影几何，拓展几何空间概念，引入几何变换知识，接受变换群思想。,训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数学审美意识，提高数学修养。,新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何，提高观点，加深理解，举一反三。,主 要 内 容,欧氏几何,仿射几何,射影几何,重点讨论共点性与共线性,第二章,：射影平面的定义，射影坐标，交比，调和共轭，对偶原理,第三章,：射影变换，包括透视、一维射影变换、直射、对射、配极,第四章,：配极与二次曲线、一维射影变换与二次曲线、二次曲线的射影分类,第五章,：用射影几何理论建立其子几何,仿射几何、欧氏几何,射影几何,第一章,：欧氏平面及仿射平面上的变换，仿,射坐标及仿射坐标变换,本教材基本框架,1,映射与变换,设有集合,S,和,S,/,，,若对,S,中每一元素,M,，,按照确定的法则,T,，在,S,/,中总存在唯一元素,M,/,与之对应，则称此法则,T,为集合,S,到集合,S,/,的,映射,，记为,T,:,S,S,/,(1.1),若在,T,之下，元素,M,(,S,),的对应元素是,M,/,(,S,/,),，,则说,T,将,M,映成,M,/,，记为,第一章 变换群与几何学,_,1,变换与变换群,并称,M,/,为,M,在,T,之下的,象,，,M,为,M,/,在,T,之下的,原象,M,M,/,T,(,M,),，,T,1,变换与变换群,T,(,S,),：集合,S,的全体元素在,T,之下的象的集合,满射,：,T,(,S,),S,/,；,单射,：,S,的不同元素的象元素也不同；,双射,：既是单射又是满射的映射,术语约定：,两个集合之间的双射称为,对应,；将集合到自身的双射称为,变换,几种常见变换,例,1,恒等变换,若变换,T,，将,S,上每一元素变到自身，即,则称为,恒等变换,(,或,单位变换,),，记为,I,M,T,(,M,),M,，,M,S,，,T,O,i,j,x,y,M,M,/,a,1,变换与变换群,取直角标架,O,;,i,j,，,设,M,(,x,y,),，,M,/,(,x,/,y,/,),，,a,a,1,a,2,，则,T,a,的,坐标表达式为：,简称为,平移,记为,T,a,T,a,：,x,/,x,a,1,y,/,y,a,2,(1.2),例,2,平移变换,将平面上的点,M,按定向量方向,a,移动到点,M,/,，,使得,M M,/,a,的变换称为,平移变换,，,o,i,j,x,y,M,M,/,1,变换与变换群,例,3,旋转变换,对平面上固定点,O,和有向定角,，使原象点,M,与象点,M,/,满足,的点变换称为以,O,为中心的,旋转变换,，简称,旋转,，记为,R,其表达式为：,R,：,x,/,x,cos,y,sin,y,/,x,sin,y,cos,(1.3),|,OM,/,|,|,OM|,，,MOM,/,例,4,镜射变换,对平面上的定直线,，使原象点,M,与象点,M,/,之间的线段被,垂直平分的点变换称为,以,为轴的镜射变换,，简称,镜射,建立如图坐标系，则其表达式为：,1,变换与变换群,O,i,j,x,y,M,M,/,x,/,x,y,/,y,M,ox,：,(1.4),A,B,C,D,E,M,A,/,E,/,B,/,C,/,D,/,M,/,/,例,5,平行射影,二平面,、,/,交于直线,，向量,与二平面都不平行对于,上任意点,M,，过,M,作平行于,的直线，交,/,于,M,/,，,则将,M,映成,M,/,的点对应称为平面,到平面,/,的,平行射影,，,向量,为,投射方向,性质,：,1,将直线变成直线；,2,保持平行性和平行线段之比；,3,对应点连线平行，直线,上的点不变,1,变换与变换群,2,映射的乘积与逆,设点,M,先用,R,作用得到,M,/,，,再用,T,a,作用得到,M,/,，,则由,(1.3),和,(1.2),可得,M,到,M,/,的变换为：,1,变换与变换群,x,/,x,cos,y,sin,a,1,y,/,x,sin,y,cos,a,2,我们称这种从,M,到,M,/,的变换为,R,和,T,a,的,乘积,，,记为,T,a,。,R,(,或,T,a,R,),一般地，设有映射,T,1,:,S,S,/,和,T,2,:,S,/,S,/,，则,乘积,T,2,T,1,:,S,S,/,定义为对任意,M,S,，,T,2,T,1,(,M,),T,2,T,1,(,M,),结合律成立：,T,3,(,T,2,T,1,),(,T,3,T,2,),T,1,但乘积一般不可换,对于变换,T,:,S,S,，有,TT,1,T,1,T,I,易知：,T,a,1,T,a,，,T,a,T,b,T,a,b,；,R,1,R,，,R,R,R,1,变换与变换群,3,不动元素与不动子集,对于变换,T,:,S,S,，若,存在元素,M,S,，使,T,(,M,),M,，,则称,M,为此变换的,不动元素,；,若存在,S,的子集,F,，使,T,(,F,),F,，则称,F,为此变换的,不动子集,注意,：,1,不动元构成的子集是不动子集；但不动子集的元素不一定是不动元,如，与非零向量,a,平行的直线都是平移,T,a,的不动直线，但,T,a,无不动点,2,变换,T,:,S,S,与,T,1,有相同的不动子集,1,变换与变换群,1,变换与变换群,解：,设直线,经此镜射作用后的象为,/,：,Ax,/,By,/,C,0,，,将变换式代入，得,Ax,By,C,0,不动,(,即,与,/,重合,),的充要条件为,A,/,A,B,/(,B,),C,/,C,，,此式等价于,2,AB,2,BC,0,，,即,A,0,，,B,0,，,C,0,或,A,0,，,B,0,，,故不动直线的方程为,y,0,和,Ax,C,0(,A,0),例,求镜射变换 的不动直线,x,/,x,y,/,y,4,变换群,若集合,S,上的,某些变换,构成的集合,G,满足条件：,1.,G,中任二变换的乘积仍属于,G,；,2.,G,中每一变换,T,的逆,T,1,也属于,G,，,则称,G,为集合,S,上的一个,变换群,由定义知,：,任何变换群一定包含恒等变换,可以证明,：平面上绕定点,O,的旋转变换的集合,G,是一个变换群，称为,旋转群,记为,G,1,只含恒等变换的集合,I,也是变换群,若二变换群,G,*,、,G,满足,G,*,G,，则称,G,*,为,G,的,子,(,变换,),群,1,变换与变换群,如：变换群,G,是其自身的子群，,I,是任意变换群的子群,可以证明：,G,*,R,0,I,，,R,/2,，,R,，,R,3,/2,是,旋转群,G,1,的非平凡子群,(,即真子群,),1,变换与变换群,2,仿射坐标与仿射平面,1,仿射坐标与仿射坐标变换,平面上一定点,O,及二不共线向量,e,1,、,e,2,构成一个,仿射标架,，记为,O,；,e,1,，,e,2,任意点,M,的向径的分解式为：,O,x,y,M,E,y,E,x,e,2,e,1,a,则有序数对,(,x,y,),称为点,M,关于标架,的,仿射坐标,OM,x,e,1,y,e,2,(1),x,y,也称为向量,OM,的,坐标,(,或,分量,),显然，原点,O,的坐标是,(0,0),；,x,轴上的单位点为,E,x,(1,0),；,y,轴上的单位点为,E,y,(0,1),若在平面上给定仿射标架，则平面上全体点的集合与全体有序数对的集合有一一对应关系，故也说在平面上建立了一个仿射坐标系,Oxy,因此常直接称标架,O,；,e,1,，,e,2,为,仿射坐标系,，,O,称为,坐标原点,，,e,1,和,e,2,称为,基本向量,习惯上，将建立了仿射坐标系的平面称为,仿射平面,2,仿射坐标与仿射平面,仿射坐标变换,2,仿射坐标与仿射平面,O,O,/,y,x,M,e,1,e,2,e,1,/,e,2,/,考察,M,在,下的坐标,(,x,y,),与在,/,下的坐标,(,x,/,y,/,),之间的关系，即求仿射坐标变换式,仿射平面上给定二仿射坐标系,O,;,e,1,e,2,和,/,O,/,;,e,1,/,e,2,/,设在,下，新原点及新基本向量的坐标分别为,O,/,(,a,1,a,2,),，,e,1,/,a,11,a,21,，,e,2,/,a,12,a,22,，,则仿射坐标变换式为：,写成矩阵形式，为,2,仿射坐标与仿射平面,x,a,11,x,/,a,12,y,/,a,1,y,a,21,x,/,a,22,y,/,a,2,，,det(,a,ij,),0 (2),x,a,11,a,12,x,/,a,1,y,a,21,a,22,y,/,a,2,，,det(,a,ij,),0 (2),/,由,(2),可得，向量在,下的坐标,u,v,与在,/,下的坐标,u,/,v,/,之间的关系为：,故有,定理,1,点的仿射坐标变换是满秩线性变换,定理,2,向量的仿射坐标变换是满秩齐次线性变换,特例,：直角坐标变换,2,仿射坐标与仿射平面,u,=,a,11,u,/,a,12,v,/,v,=,a,21,u,/,a,22,v,/,，,det(,a,ij,)0 (3),O,O,/,x,y,M,y,/,x,/,e,1,/,e,2,/,e,1,e,2,记有向角,e,1,e,1,/,，,则,e,1,/,a,11,a,21,cos,sin,，,e,2,/,a,12,a,22,sin,cos,，,2,仿射坐标与仿射平面,代入,(2),式即得平面解析几何中的直角坐标变换式：,x,x,/,cos,y,/,sin,a,1,y,x,/,sin,y,/,cos,a,2,2,仿射坐标与仿射平面,仿射平面上的几个常用结论,过点,M,0,(,x,0,y,0,),，,平行于向量,u,v,的直线,的方程为：,(,x,x,0,)/,u,(,y,y,0,)/,v,，,(1),称为直线,的,点向式,方程,u,0,时，可变形为：,y,kx,b,；,其中，,k,v,/,u,称为直线的,方向数,；,u,0,时，成为：,x,x,0,，,约定其方向数为,上述分析表明，直线方程总形如：,Ax,By,C,0 (,A,，,B,不同时为,0),，称为直线的,一般式,方程,O,x,y,M,M,0,e,1,e,2,仿射平面上关于点与直线的几个结论,：,1.,二直线,(,i,),：,A,i,x,B,i,y,C,i,0(,i,1,2),相交,A,1,/,A,2,B,1,/,B,2,；,平行,A,1,/,A,2,B,1,/,B,2,C,1,/,C,2,；,重合,A,1,/,A,2,B,1,/,B,2,C,1,/,C,2,2,仿射坐标与仿射平面,直线的,参数方程,：,x,x,0,ut,y,y,0,vt,(,t,),且若,P,3,分线段,P,1,P,2,成定比,，则,x,3,(,x,1,x,2,)/(1,),，,y,3,(,y,1,y,2,)/(1,),2.,三点,P,i,(,x,i,y,i,)(,i,1,2,3),共线,x,1,y,1,1,x,2,y,2,1 =0,，,x,3,y,3,1,2,仿射坐标与仿射平面,3.,三直线,(,i,),：,A,i,x,B,i,y,C,i,0(,i,1,2,3),共点或,平行的充要条件是：,A,1,B,1,C,1,A,2,B,2,C,2,0,A,3,B,3,C,3,注,：,以上结论与直角坐标系下相应结论一致；但特殊的直角坐标系下成立的结论不能完全照搬到一般仿射坐标系下,3,仿射变换,1,透视仿射变换,u,v,*,M,N,M,/,N,/,M,*,N,*,设平面,与,*,交于直线,，取分别具有投射方向,u,，,v,的两个平行射影,T,1,：,*,和,T,2,：,*,，,则乘积,T,T,2,T,1,：,称为,上的,透视仿射变换,3,仿射变换,几何性质：,I.,将点变成点，将直线变成直线；,II.,保持平行性和平行线段之比；,III.,对应点连线平行；,IV.,交线,上的点均为不动点,对应点连线所具有的固定方向称为,透视方向,；平面,与,*,交线,称为,透视仿射轴,(,简称,轴,),可以证明：,一对对应直线与轴这三条直线或者三线共点，或者三线平行,定理,1,轴和一对对应点决定唯一透视仿射变换,（存在性易得唯一性见后图）,3,仿射变换,A,/,M,/,M,/,A,M,B,C,2,仿射变换的定义及性质,平面,上的点变换,T,:,，若将直线变成直线，且保持平行性和平行线段之比，则称为,仿射变换,基本性质,：,1,同素性；,2,结合性；,3,将向量变成向量且保持向量的线性关系,3,仿射变换,若,A,、,B,、,C,是共线三点，则,AC,BC,称系数,为,A,、,B,、,C,的,简单比,，记为,(,ABC,),；,称,A,、,B,为,基点,，,C,为,分点,4,仿射变换保持共线三点的简单比,设在给定仿射坐标系下，,A,(,x,A,y,A,),，,B,(,x,B,y,B,),，,C,(,x,C,y,C,),，则,(,ABC,),(,x,C,x,A,)/(,x,C,x,B,),(,y,C,y,A,)/(,y,C,y,B,),又,(,x,C,x,A,)/(,x,C,x,B,)(,y,C,y,A,)/(,y,C,y,B,),AC,/,BC,故简单比也可定义为,：,(,ABC,),AC,/,BC,例子：求仿射变换对应图形,1.,二全等三角形的对应图形是二等积三角形。,2.,圆的对应图形是椭圆。,3.,两个全等矩形对应图形是等积平行四边形。,4.,三角形的重心变为三角形的重心。,5.,相似三角形变为面积比相同但是不必相似的三角形。,6.,三角形的垂心变为不是三角形的垂心。,3,仿射变换,例,求证：若仿射变换有两个不动点,M,和,N,，则直线,MN,上每一点都是此变换的不动点,证明：,设,P,是直线,MN,上任一点，其在仿射变换下的象为,P,/,，则,(,PMN,),(,P,/,MN,),，,即,PN,/,MN,P,/,N,/,MN,故,P,P,/,，即直线,MN,上的点都是不动点,3,仿射变换,3.,仿射变换的表达式,如图，设,O,e,1,e,2,e,/,1,e,/,2,E,x,M,x,E,y,M,y,E,/,x,M,/,x,E,/,y,M,/,y,O,/,x,/,y,/,x,y,M,/,M,M,(,x,y,),M,/,(,x,/,y,/,),T,M,x,M,x,/,T,T,O,O,/,(,a,1,a,2,),M,y,M,y,/,T,e,1,OE,x,T,O,/,E,x,/,e,1,/,a,11,a,21,e,2,OE,y,T,O,/,E,y,/,e,2,/,a,12,a,22,3,仿射变换,故得仿射变换的表达式为：,x,/,a,11,x,a,12,y,a,1,y,/,a,21,x,a,22,y,a,2,，,det(,a,ij,),0,(2),T,则,OM,x,xOE,x,O,/,M,x,/,xO,/,E,x,/,T,OM,y,yOE,y,O,/,M,y,/,yO,/,E,y,/,但,OM,/,OO,/,O,/,M,x,/,O,/,M,y,/,，,即,OM,/,OO,/,xO,/,E,x,/,yO,/,E,y,/,，,(1),其矩阵形式为：,于是有,定理,2,在给定的仿射坐标系下，平面上的仿射变换是满秩线性变换,反之，可证明满秩线性变换是仿射变换,推论,1,在仿射坐标系,=,O,;,e,1,e,2,下，对仿射变换,(2),而言,a,11,a,21,=,e,1,/,a,12,a,22,=,e,2,/,分别是,e,1,e,2,的仿射象,O,/,(,a,1,a,2,),是原点,O,的仿射象,3,仿射变换,x,/,a,11,a,12,x,a,1,y,/,a,21,a,22,y a,2,，,det(,a,ij,),0 (2),/,推论,2,仿射变换将仿射坐标系变成仿射坐标系，且象点在象坐标系下的坐标等于原象点在原坐标系下的坐标,推论,3,代数曲线的次数在仿射变换下不变,注意,：将仿射点变换,(2),与,2,的仿射坐标变换,(2),比较，可见二者在形式上均为满秩线性变换意味着，对满秩线性变换可作两种不同解释：,一、,可理解为在同一坐标系下，点的坐标与其仿射象点的坐标之间的关系,；,二、,可看成在二不同坐标系下，同一点的不同坐标之间的关系,按照上述思想，从向量的坐标变换式立即得到,3,仿射变换,定理,3,在仿射变换,(2),下，若向量,u,v,的象为,/,u,/,v,/,，则,例,1,位似变换,3,仿射变换,O,x,y,e,1,e,2,1,不动点：原点；,2,不动直线：过原点的直线；,3,不是透视仿射变换,u,/,a,11,u,a,12,v,v,/,a,21,u,a,22,v,，,det(,a,ij,),0 (3),x,/,ax,y,/,ay,，,a,0,例,2,伸缩变换,不动点：,x,轴上的所有点；,不动直线：平行于,y,轴的所有直线以及,x,轴,在直角坐标系下，圆,x,2,y,2,1,经其作用后变成椭圆,x,/2,y,/2,/,a,2,1,问：伸缩变换是透视仿射变换吗？,3,仿射变换,O,x,y,P,P,/,e,1,e,2,x,/,x,y,/,ay,，,a,0,O,y,x,e,1,e,2,P,P,/,M,M,/,y,=,y,0,例,3,推移变换,不动点：,x,轴上的所有点；,不动直线：平行于,x,轴的所有直线,问：伸缩变换是透视仿射变换吗？,3,仿射变换,x,/,x,ay,y,/,y,，,a,0,4,重要定理,定理,4,设,P,i,(,x,i,y,i,),和,P,i,/,(,x,i,/,y,i,/,)(,i,1,2,3),分别是平面上不共线三点，则存在唯一仿射变换将,P,i,映成,P,i,/,3,仿射变换,证明,：设仿射变换为,将,(,x,i,y,i,),(,x,i,/,y,i,/,),代入，得,在上式的第一式中，令,i,1,2,3,，得,x,i,/,a,11,x,i,a,12,y,i,a,1,y,i,/,a,21,x,i,a,22,y,i,a,2,，,(1),x,/,a,11,x,a,12,y,a,1,y,/,a,21,x,a,22,y,a,2,，,det(,a,ij,),0,3,仿射变换,因,P,1,、,P,2,、,P,3,不共线，故,因此方程组,(2),有唯一解,a,11,a,12,a,1,，同理可求唯一确定的,a,21,a,22,a,2,再由,(2),可得,x,1,/,a,11,x,1,a,12,y,1,a,1,x,2,/,a,11,x,2,a,12,y,2,a,1,x,3,/,a,11,x,3,a,12,y,3,a,1,，,(2),x,1,y,1,1,x,2,y,2,1,0,，,x,3,y,3,1,x,2,/,x,1,/,y,2,/,y,1,/,x,3,/,x,1,/,y,3,/,y,1,/,x,2,x,1,y,2,y,1,x,3,x,1,y,3,y,1,a,11,a,21,a,12,a,22,，,3,仿射变换,因,P,1,/,、,P,2,/,、,P,3,/,不共线，故,故定理成立,推论,1,仿射变换是透视仿射变换,该仿射变换有一条由不动点构成的直线,推论,2,仿射变换是恒等变换,该仿射变换有不共线三不动点,x,2,/,x,1,/,y,2,/,y,1,/,x,3,/,x,1,/,y,3,/,y,1,/,0,从而，,0,a,11,a,21,a,12,a,22,定理,5,非透视的仿射变换可通过至多三次透视仿射变换来实现,定理,5,的证明思路,：,设,A,、,B,、,C,是仿射变换,T,的三不共线的非不动点，其对应点依次为,A,/,、,B,/,、,C,/,3,仿射变换,A,/,B,/,C,2,A,/,B,1,C,1,A,B,C,A,/,B,/,C,/,定理,6,平面上全体仿射变换的集合构成一个变换群，称为仿射群记为,G,6,T,1,T,2,T,3,4,欧氏平面和保距变换,1.,保距变换的定义及表达式,建立了直角坐标系的平面称为,欧氏平面,欧式平面上，保持距离不变的仿射变换称为,保距变换,(,或,正交变换,),x,/,a,11,a,12,x,a,1,y,/,a,21,a,22,y a,2,，,det(,a,ij,),0,T,：,是保距变换,A,(,a,ij,),是正交矩阵,定理,1,直角坐标系下，仿射变换：,证明：,设在仿射变换,T,作用下,v,v,1,v,2,变成,v,/,v,1,/,v,2,/,由于,(,v,1,/,v,2,/,),(,v,1,v,2,),A,T,，,从而对任意向量,v,，,v,/2,v,2,的充要条件是,A,T,A,E,，,等价于,A,1,A,T,注：,正交条件,A,1,A,T,用矩阵元素表示为：,a,11,2,a,21,2,a,12,2,+,a,22,2,1,，,a,11,a,12,a,21,a,22,0,也等价于：,a,11,2,a,12,2,a,21,2,a,22,2,1,，,a,11,a,21,a,12,a,22,0,正交条件也可描述为：,矩阵的两个行向量单位正交，或二列向量单位正交,利用上述代数条件不难得出下面的结论：,4,欧氏平面和保距变换,(,v,1,v,2,),A,T,A,v,1,v,2,故,v,/2,(,v,1,/,v,2,/,),v,1,/,v,2,/,例,将点,(0,1),，,(2,0),分别变成,(,1,0),，,(0,2),的保距变换是否存在？若存在，写出变换式,解：,假定保距变换存在，设为,4,欧氏平面和保距变换,x,/,cos,sin,x,a,1,y,/,sin,cos,y a,2,定理,2,直角坐标系下，保距变换可表示为：,其中，定角,(,x,/,a,11,a,12,x,a,1,y,/,a,21,a,22,y a,2,1,a,11,a,12,0,a,1,0,a,21,a,22,1,a,2,则,，,4,欧氏平面和保距变换,且,0,a,11,a,12,2,a,1,2,a,21,a,22,0,a,2,，,由此得,a,12,a,1,1 (1),a,22,a,2,0 (2),2,a,11,a,1,0 (3),2,a,21,a,2,2 (4),a,11,2,a,12,2,1 (5),a,21,2,a,22,2,1 (6),a,11,a,21,a,12,a,22,0 (7),由,(1),、,(3),、,(5),解得,a,1,0,a,11,0,a,12,1,a,1,8/5,a,11,4/5,a,12,3/5,或,4,欧氏平面和保距变换,故所求保距变换存在，为,由,(2),、,(4),、,(6),解得,a,2,0,a,22,0,a,21,1,a,2,4/5,a,22,4/5,a,21,3/5,或,a,1,0,a,11,0,a,12,1,a,2,0,a,22,0,a,21,1,a,1,8/5,a,11,4/5,a,12,3/5,a,2,4/5,a,22,4/5,a,21,3/5,由,(7),得,或,x,/,4/5,3/5,x,8/5,y,/,3/5,4/5,y,4/5,x,/,0,1,x,y,/,1 0,y,或,4,欧氏平面和保距变换,2.,保距变换的实现,定理,3,行列式为,1,的非恒等保距变换是旋转与平移的乘积,证明：,容易看到，保距变换,的乘积即,T,T,a,R,x,/,cos,sin,x,a,1,y,/,sin,cos,y a,2,T,:,R,：,x,/,x,cos,y,sin,y,/,x,sin,y,cos,是旋转,与平移,T,a,：,x,/,x,/,a,1,y,/,y,/,a,2,4,欧氏平面和保距变换,定理,4,行列式为,1,的非恒等保距变换是旋转、镜射和平移的乘积,证明：,保距变换,的乘积即,T,T,a,R,ox,R,(,),x,/,cos,sin,x,a,1,y,/,sin,cos,y a,2,T,:,x,/,x,cos,(,),y,sin,(,),y,/,x,sin,(,),y,cos,(,),是旋转,R,(,),：,镜射,M,ox,：,x,/,x,/,y,/,y,/,与平移,T,a,：,x,/,x,/,a,1,y,/,y,/,a,2,4,欧氏平面和保距变换,行列式为,1,的保距变换称为,正运动,；,行列式为,1,的保距变换称为,反运动,3.,保距变换的性质,定理,5,保距变换保持向量内积不变,证明,：,设在保距变换下，,u,1,u,2,u,1,/,u,2,/,，,v,1,v,2,v,1,/,v,2,/,，,则,(,u,1,u,2,),A,T,A,v,1,v,2,u,1,v,1,u,2,v,2,v,1,v,2,(,u,1,u,2,),u,1,/,v,1,/,u,2,/,v,2,/,(,u,1,/,u,2,/,),v,1,/,v,2,/,4,欧氏平面和保距变换,定理,6,保距变换保持向量夹角不变,推论,保距变换保持面积不变,定理,7,仿射变换是保距变换,它将直角坐标系变成直角坐标系,定理,8,平面上全体保距变换的集合构成一个变换群，称为,欧氏群,(,或,运动群,),记为,G,3,易证：全体正运动的集合构成群，称为,正运动群,显然，正运动群是欧氏群的子群，而欧氏群是仿射群的子群,5,几何学与变换群的关系,1,Klein,观点介绍,若给定集合,S,和,S,上的一个变换群,G,，则称配对,(,S,G,),为,空间,若对,S,中的图形,F,和,F,/,，存在,G,的变换,T,，使,F,变成,F,/,，则称,F,和,F,/,有关系，记为,F,/,F,利用近世代数知识不难证明,引理,上述图形间的关系“,”,是等价关系,由此可按照等价关系“,”,对,S,的图形进行分类：等价图形属于同一类，不等价图形属于不同类,每一等价类中各图形所共有的性质和量为在群,G,的变换下的,不变性质,和,不变量,5,几何学与变换群的关系,对于空间,(,S,G,),而言，研究图形关于群,G,下的不变性质、不变量和图形分类的所有命题的集合，称为集合,S,上,群,G,附属的几何学,若集合,S,上的群,G,*,是,G,的子群，则称,G,*,附属的几何是,G,附属的几何的,子几何,显然，群所含变换越少，不变性质和不变量就越多，从而其所附属的几何学包含的内容就多,2,变换群与几何学,平面上欧氏群附属的几何学称为,欧氏平面几何,平面上仿射群附属的几何学称为,仿射几何,5,几何学与变换群的关系,按照,Klein,观点，变换群与几何学的关系如下：,对于给定的空间，不同的变换群附属不同的几何学，它研究图形在此变换群下的不变性质、不变量和图形分类,如仿射几何研究的平行性、同素性、结合性是仿射不变性质，简单比是其不变量,而欧氏群附属的欧氏几何研究的长度、角度、面积是其不变性质，简单比、距离是其不变量,由于欧氏群是仿射群的子群，故欧氏几何是仿射几何的子几何而后面将学习的射影几何则是比仿射几何更大的几何,几种几何学的比较,1,、射影几何学,空间,射影平面,P,主,变换群,射影变换群,K,研究内容,图形在射影变换下的不变性质和数量,关联性，同素性,交比,注,：点列和线束是基本不变图形。其余所有射影不变性均可由上述基本的射影不变性演绎,.,几种几何学的比较,2,、仿射几何学,空间,仿射平面,PA,主,变换群,仿射变换群,A,研究内容,图形在仿射变换下的不变性质和数量,仿射几何学,因为仿射变换群是射影变换群的子群,所以射影不变性必定也是仿射不变的,.,从而仿射几何的研究内容必定包括射影几何的研究内容,.,定理,3.10,仿射变换保持平行性不变,.,注,：平行性是最基本的仿射不变性,.,若,A,、,B,、,C,是共线三点，则,AC,BC,称系数,为,A,、,B,、,C,的,简单比,，记为,(,ABC,),；,称,A,、,B,为,基点,，,C,为,分点,4,仿射变换保持共线三点的简单比,设在给定仿射坐标系下，,A,(,x,A,y,A,),，,B,(,x,B,y,B,),，,C,(,x,C,y,C,),，则,(,ABC,),(,x,C,x,A,)/(,x,C,x,B,),(,y,C,y,A,)/(,y,C,y,B,),又,(,x,C,x,A,)/(,x,C,x,B,)(,y,C,y,A,)/(,y,C,y,B,),AC,/,BC,故简单比也可定义为,：,(,ABC,),AC,/,BC,注,：单比是最基本的仿射不变量,.,欧氏几何中不全等形是不同的图形，而在仿射几何中，所有的三角形是一样的。,定理,3.11,单比是仿射不变量,.,仿射不变性,平行性,单比,平行线段的比,两三角形面积之比,(,是仿射不变量,),线段的中点,三角形的重心,梯形,平行四边形（是仿射不变图像）,注：,在仿射几何中没有距离的概念，定义,(,ABC,),AC,/,BC,的比不是线段的长度的比，而实际上是坐标的表示的，仅是借用欧氏空间中的符号而已。,因为正交变换群是仿射变换群的子群,所以仿射不变性必定也是正交不变的,.,从而欧氏几何的研究内容必定包括仿射几何的研究内容,.,定理,正交变换保持两点间的距离不变（用定义证）,注,：距离是最基本的正交不变性,.,由此,一切刚体性质都是欧氏几何的研究对象,.,由此，可以演绎出正交变换的全部不变性和不变量。如角度，面积，体积，全等形等欧氏几何研究内容。,结论,：子几何学的研究内容比原几何学丰富,.,3.,欧氏几何学,空间,欧氏平面,主,变换群,正交变换群,研究内容,正交变换下不变的度量性质和度量不变量,欧氏几何学,如何判定图形或定理属于哪种几何学研究内容,根据图形或定理所涉及的不变性和不变量来判定。例如，涉及距离，线段或角度的 相等、垂直等就是欧氏几何学研究的范围；涉及直线的平行，线段的比，线段的中点等就是仿射几何学研究的内容；而仅与点，线，面之结合有关的就属于射影几何学研究的内容对象了,。,例子,，下列内容属于何种几何学的研究范围？,1.,梯形，仿射几何。,2.,正方形，欧氏几何。,3.,离心率，欧氏几何。,4.,重心，仿射几何。,5.,垂心，欧氏几何。,6.,平行四边形对角线互相平分，仿射几何,7.,如果直线,AB,与,CD,相交，则,AC,与,BD,也相交，射影几何。,8.,二次曲线的中心，仿射几何。,9.,德萨格定理，射影几何。,例,1,下列图形在仿射变换下的对应图形是什么？,平行四边形；梯形；等腰三角形；二全等的矩形,例,2,下列几何量和性质是哪种,(,最大的,),几何学讨论的对象？,线段的长度；两直线所成的角；离心率；平行线段之比；三角形面积；平行；垂直；平行四边形对角线互相平分,例,3,仿射变换下，正方形有哪些性质不变？其仿射象是什么图形？,例,4,“,三角形重心,”,与,“,二互相垂直直线,”,的仿射象各是什么？（仿射像是另一三角形重心和两相交直线）。,5,几何学与变换群的关系,