高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题三角函数之三角函数的综合问题3新人教A版.pdf

推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料（新课标）高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题三角函数之三角函数的综合问题 3 新人教 A版例 17.设ABC的内角,A B C所对的边为,a b c，且有2sincossincoscossinBAACAC（）求角A的大小；（II）若2b，1c，D为BC的中点，求AD的长。【答案】解：（）,(0,)ACB A B，sin()sin0ACB。2sincossincoscossinsin()sinBAACACACB。1cos=2A。3A。（II）2222cosabcbcA，2b，1c，3A，2222122 1 cosaA，解得3a。222bac。2B。在Rt ABD中，2222371()22ADABBD。【考点】三角函数的应用，余弦定理，勾股定理和逆定理。【解析】（）化简2sincossincoscossinBAACAC即可求出角A的大小。（II）应用余弦定理，求出3a，从而根据勾股定理逆定理得到2B，在在Rt ABD中应用勾股定理即可求出AD的长。例 18.已知函数()2cos()(0,)6f xxxR其中的最小正周期为10（1）求的值；（2）设56516,0,(5),(5)235617ff，求cos()的值。【答案】解：（1）由210Tppw=得15w=。（2）由（1）知1()2cos()56f xxp=+5156(5)2cos(5)2cos()2sin353625fppppaaaa+=+=+=-=-，推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料且0,2，3sin5a=，4cos5a=。51516(5)2cos(5)2cos656617fpppbbb-=-+=，0,2，8cos17b=，15sin17b=4831513cos()coscossinsin51751785。【考点】两角和与差的余弦函数，诱导公式，三角函数的函数的周期。【解析】（1）由题意，由于已经知道函数的周期，可直接利用公式2Tpw=解出参数的值。（2）由题设条件，可先对56(5)35f，与516(5)617f进行化简，求出与两角的函数值，再由余弦的和角公式求出cos()的值。例 19.在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c。已知4A，sin()sin()44bCcBa。（1）求证：2BC（2）若2a，求ABC的面积。【答案】解：（1）证明：由bsin4Ccsin4Ba，应用正弦定理，得sinBsin4CsinCsin4BsinA，sinB22sinC22cosCsinC22sinB22cosB22。整理得 sinBcosCcosBsinC1，即 sin(BC)1。0B，C34，BC2。（2）由（1）知BC2，又BCA34，B58，C8。由a2，A4，得basinBsinA2sin58，casinCsinA2sin8。ABC的面积S12bcsinA2sin58sin82cos8sin812。【考点】解三角形，三角形的面积，三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用。推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料【解析】（1）通过正弦定理以及三角和差公式化简已知表达式，推出BC的正弦函数值，由4A得出 0B，C34，从而求得BC2。（2）利用2a，通过正弦定理求出b，c，然后利用三角形的面积公式求ABC的面积。例 20.在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c。已知3cos1 6coscosB CBC。（1）求cosA；（2）若3a，ABC的面积为2，求,b c。【答案】解：（1）由3cos1 6coscosB CBC化简得：3(coscossinsin)16coscosBCBCBC，变形得：3 cos cossinsin1BCBC，即3cos()1BC，1cos()3BC。1cos=cos()3ABC。（2）A为三角形的内角，1cos3A，21co2 2sins=3AA。又=2 2ABCS，即1sin=222bcA，解得：=6bc。又3a，1cos3A，由余弦定理得2222291cos2123bcabcAbc，即22bc=13。联立解得：23bc或32bc。【考点】余弦定理、正弦定理、诱导公式的应用，两角和与差的余弦函数。【解析】（1）利用两角和与差的余弦函数公式化简已知等式左边的第一项，移项合并后再利用两角和与差的余弦函数公式得出cos()BC的值，将cosA用三角形的内角和定理及诱导公式变形后，将cos()BC的值代入即可求出cosA的值。（2）由cosA的值及A为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sin A的值，利用三角形的面积公式表示出ABC的面积，将已知的面积及sin A的值代入，得出=6bc，记作，再由a及cosA的值，利用余弦定理列出关于b与c的关系式，记作，联立即可求出b与c的值。例 21.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知2cos3A，sin5 cosBC（）求tanC的值；推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料（）若2a，求ABC的面积【答案】解：()cosA23 0，sinA251cos3A。又5 cosCsinBsin(AC)sinAcosCsinCcosA53cosC23sinC整理得：tanC5。（）由图辅助三角形知：sinC56，1cos6C，5sin6B。又由正弦定理知：sinsinacAC，解得3c。ABC的面积为：S1155sin232262acB。【考点】三角恒等变换，正弦定理，三角形面积求法。【解析】()由A为三角形的内角，及cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，再将已知等式的左边sinB中的角B利用三角形的内角和定理变形为（A+C），利用诱导公式得到sinB=sin（A+C），再利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用同角三角函数间的基本关系即可求出tanC的值。（）由tanC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC和 cosC的值，将 cosC的值代入sin5 cosBC中，即可求出sin B的值，由sinsinacAC求出 c 的值，最后由S1sin2acB即可求出三角形 ABC的面积。例 22.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=3aco sB。（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值.【答案】解：（1）bsinA=3aco Sb，由正弦定理得sinsin3sincosBAAB，即tan3B。B是ABC的内角，3B。（2）sinC=2sinA，由正弦定理得2ca。由余弦定理2222cosbacacB得229422 cos3aaaa，解得3a。22 3ca。推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料【考点】正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理。【解析】（1）将已知的等式利用正弦定理化简，根据sinA不为 0，等式两边同时除以sinA，再利用同角三角函数间的基本关系求出tan B的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数。（2）由正弦定理化简sinC=2sinA，得到关于a与c的关系，再由b及 cosB的值，利用余弦定理列出关于a的一个方程，解出即可求出a与c的值。例 23.设函数f(x)sin2x23sin xcosxcos2x(xR)的图象关于直线x 对称，其中，为常数，且12，1.（）求函数f(x)的最小正周期；（）若yf(x)的图象经过点4，0，求函数f(x)的值域【答案】解：（）f(x)sin2xcos2x23sin xcosx cos2 x3sin2 x2sin2x6.，且直线x 是yf(x)图象的一条对称轴，sin2x61。26k2(kR)，即 k213(kR)。又 12，1，kR，k1。56。f(x)的最小正周期是65。（）由yf(x)的图象过点4，0，得f4 0，即 2sin5626 2sin42。f(x)2sin53x62，函数f(x)的值域为 22，22【考点】三角函数的恒等变化，正弦函数的定义域和值域。【解析】（）先利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f(x)化为y=Asin（x+）+k型函数，再利用函数的对称性和 的范围，计算 的值，最后利用周期计算公式得函数的最小正周期。（）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得 的值，再利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f(x)的值域。例 24.设4cos()sincos(2)6fxxxxx，其中.0推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料（）求函数)(xfy的值域；（8 分）（）若)(xfy在区间2,23x上为增函数，求的最大值.（5 分）【答案】解：（）()4(coscossinsin)sincos266f xxxxx22314(cossin)sincos2222 3cossin2sin12sin3sin21xxxxxxxxx1sin21x，()3sin2113,13f xx。即函数)(xfy的值域为13,13。（）由)(22222Zkkxk得()44kkxkZ。()f x在,44kk上为增函数。3,22x时，()f x为增函数，3,2244kk对某个整数k成立，易知必有k=0。3,2244。34242，解得16。的最大值为16。【考点】二倍角的余弦和正弦，两角和与差的正弦函数，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性。【分析】（I）由题意，可由三角函数的恒等变换公式对函数的解析式进行化简得到()3sin 21f xx，由此易求得函数的值域。（II）()f x在区间3,22上为增函数，此区间必为函数某一个单调区间的子集，由此可根据复合三角函数的单调性求出用参数表示的三角函数的单调递增区间，由集合的包含关系比较两个区间的端点即可得到参数所满足的不等式，由此不等式解出它的取值范围，即可得到它的最大值。例 25.设函数()sin()f xAx（其中0,0,A）在6x处取得最大值2，其图象推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料与轴的相邻两个交点的距离为2。（I）求()f x的解析式（5 分）；（II）求函数426cossin1()()6xxg xf x的值域（7 分）。【答案】解：（）函数()f x图象与轴的相邻两个交点的距离为2，()f x的周期为T，即2，解得2。()f x在6x处取得最大值2，A=2。2sin(2)26，即sin()13。+232kkZ，。又，6。()f x的解析式为()2sin(2)6fxx。（）函数4242426cossin16cossin16cos+cos2()=2cos2()2sin(2)62xxxxxxg xxf xx222222cos1 3cos+231=cos+1cos222 2cos1xxxxx，又2cos0,1x，且21cos2x，()g x的值域为77 51,)(,44 2。【考点】三角函数中的恒等变换应用，由()sin()fxAx的部分图象确定其解析式。【分析】（）通过函数的周期求出，求出A，利用函数经过的特殊点求出，推出()fx的解析式。（）利用（）推出函数426cossin1()()6xxg xf x的表达式，应用同角函数关系式、倍角函数关系式得到2231()=cos+1cos22g xxx。通过2cos0,1x，且21cos2x，求出()g x的值域。推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料例 26.函数()sin()16f xAx（0,0A）的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2，（1）求函数()f x的解析式；（2）设(0,)2，则()22f，求的值.【答案】解：（1）函数()f x的最大值为3，13,A即2A。函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2，最小正周期为T。2。函数()f x的解析式为sin(2)16yx。（2）()2sin()1226f，即1sin()62。02，663。66，即3。【考点】三角函数的图像性质，三角函数的求值。【解析】（1）通过函数的最大值求出A，通过对称轴求出周期，求出，得到函数的解析式。（2）通过()2sin()1226f，求出1sin()62，通过 的范围，求出 的值。