第四节(解析函数).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,1.4,解 析 函 数,上一节我们学习了复数的导数,导出柯西,-,黎曼方程,本节我们,学习,解析函数,的概念,解析函数的概念,试证 在复平面上解析，且求,练习：,解析函数的性质,(1),若函数,f(z,)=,u+iv,在趋于,B,上解析,则,u(x,y,)=C,1,v(x,y,)=C,2,(C,1,C,2,为常数,),是,B,上的两组正交曲线族,两边分别相乘,得,即,梯度,正交,分别是曲线,u=,常数和,v=,常数的法向矢量,因此,U=,常数和,v=,常数是互相正交的两曲线族,(2),若函数,f(z,)=,u+iv,在区域,B,上解析,则,u,v,均为,B,上的,调和函数,调和函数指如果某函数,H(x,y,),在区域,B,上有二阶连续,偏导数且满足拉普拉斯方程 则称,H(x,y,),为,区域,B,上的调和函数,.,后边我们将证明,二阶偏导数,存在且连续,对柯西,-,黎曼方程,前一式子对,x,求导,后一式子对,y,求导,相加可以消除,v,得到,同理可得,以上说明,u(x,y,),和,v(x,y,),都满足二维的拉普拉斯方程,即都是,调和函数,又由于是同一个复变函数的实部和虚部,所以又特别,称之为,共轭调和函数,若给定一个二元的调和函数,可以看做某个解析函数的实部,(,虚部,),利用柯西,-,黎曼条件求出相应的虚部,(,实部,),也就确定了,这个解析函数,.,给定的二元函数,u(x,y,),是解析函数的实部,求相应的虚部,v(x,y,),二元函数,v(x,y,),的微分式是,由柯西,-,黎曼条件可得,是全微分,满足拉普拉斯方程,可以用下列方法计算出,(1),曲线积分法,全微分的积分与路径无关,可选取特殊积分路径,使积分路径容易算出,.,(2),凑全微分法,微分的右端凑成全微分显式,v(x,y,),自然求出,(3),不定积分法,以上方法同样适用于从虚部,v,求实部,u,的情况,例,1,已知解析函数,f(z,),的实部,u(x,y,)=x,2,-y,2,求虚部和解析函数,解,:,验证,u,是调和函数,满足拉普拉斯方程,确实是某解析函数,的实部,.,根据柯西,-,黎曼条件有,(1),曲线积分法,先计算,u,的偏导数,由此可得,dv,=2ydx+2xdy,右边是全微分,积分值,与路径无关,为便于计算,取如图路径,:,(x,0),(,x,y,),o,x,y,C,为积分常数,(2),凑全微分法,由上已知,dv,=2ydx+2xdy,很容易凑成全微分形式,d(2xy),则,dv,=d(2xy),此时显然有,v=2xy+C,实质上也是曲线积分法,在容易凑微分的时候很方便,.,(3),不定积分法 上边算出,第一式对,y,积分,x,看做参数,可得,其中 为,x,的任意函数,再,对,x,求导,由柯西,-,黎曼条件知道,从而有,可得,v=2xy+C,解析函数为,例,2,已知解析函数,f(z,),的虚部,求实部,u(x,y,),和解析函数,f(z,),解,直角坐标系下，的计算比较烦琐，改用极坐标系,求,u(x,y,),的方法和例,1,一样，可以用三种方法，这里只介绍全微,分显式法，先计算,v,的偏导数,由柯西黎曼方程可得,则可得,因此可得,例,解,例,解,例,3,证,