理论力学9-拉格朗日方程.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第九章 拉格朗日方程,运用矢量力学分析约束动力系统，未知约束力多，方程数目多，求解烦琐。能否建立不含未知约束力的动力学方程？,将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立动力虚功方程，广义坐标化，能量化，化为拉氏第二类方程，实现用最少数目方程，描述动力系统。,9-1,动力学普遍方程,9-1-1,方程的建立,9-1-2,典型问题,1.,一般形式,n,个质点。对 有,9-1,动力学普遍方程,9-1-1,方程的建立,给,则有,而双面理想约束,故有,动力学普遍方程或达朗贝尔拉格朗日原理,(9-1),不论约束完整，定常与否均适用。,则有,2.,广义坐标形式,设完整约束系统有,k,个自由度，可取,为广义坐标。,9-1,动力学普遍方程,9-1-1,方程的建立,则,代入式,(9-1),交换,i,，,j,次序，得,广义主动力,广义惯性力,式中,因各 线性无关 故有,(9-2),等价形式,仅,(9-3),9-1-1,方程的建立,9-1,动力学普遍方程,式中包含了惯性力虚功,!,9-1-2,典型问题,1.,已知重量,轮转动惯量 ，求,加速度,?,加惯性力，受主动力如图。,给连杆 ，则,由 有,9-1,动力学普遍方程,1.,由动能定理求导，如何求解,?,2.,如何求约束力,?,2.,已知重量 轮纯滚,水平面光滑,求三棱,柱加速度。,9-1-2,典型问题,9-1,动力学普遍方程,加惯性力，受力如图。,选 广义坐标。,由,有,即,(a),又由 有,9-1,动力学普遍方程,9-1-2,典型问题,式,(a),代入,(b),可得,令 时，牵连惯性力 并不为零；,令 时，相对惯性力 并不为零，,两者相互独立。,(b,),即,9-1,动力学普遍方程,9-1-2,典型问题,3.,均质圆柱与,薄壁圆柱,1,、,2,用绳相连，并多圈缠绕圆筒,(,绳与滑轮,A,的重量不计,),。已知 试求运动过程中轮心,C,与轮心,O,的加速度大小。,图,(a),9-1,动力学普遍方程,9-1-2,典型问题,自由度,k,=2,的理想约束系统，取两轮转角 为广义坐标，其受力与运动分析，如图,(,b,),所示，,图,(b),令,，由,(a),有,(b),9-1,动力学普遍方程,9-1-2,典型问题,将式,(a),及,代入,(b),式，,得,(c),再令,由,有,联立,(c,),和,(d),式，可得,即,(d),图,(b),9-1-2,典型问题,9-1,动力学普遍方程,对于多自由度动力系统，加上主动力和惯性力后，各独立虚位移可任意给定，与受力状态无关。,1.,如何求绳的张力,?,圆柱纯滚的条件,?,2.,用动力学普遍定理如何求解,?,3.,计入滑轮,A,质量,结果有何变化,?,9-1-2,典型问题,9-1,动力学普遍方程,9-2,拉格朗日方程,对于完整约束系统，动力学普遍方程为,不便计算，拉格朗日方程利用两个经典微分关系。,9-2-1,两个经典微分关系,第九章 拉格朗日方程,将 能量化 导出拉氏方程。,9-2-2,拉氏方程基本形式,9-2-4,拉氏方程的应用,再对广义速度,求偏导数，得,式,(9-7),表明，,可对,的分子与分母,“,同时消点”。,因,对时间,t,求导数，,得,(9-6),(9-7),“同时消点”,证明,:,9-2-1,两个经典微分关系,9-2,拉格朗日方程,n,个质点，,s,个完整约束，,k,3,n,s,，,2)“,交换关系”,(,求导,),将式,(9-6),两边对广义坐标,证明,:,求偏导数，有,而,比较以上两式，可得,(9-8),式,(9-8),表明,可对求导,“,交换关系,”,。,9-2,拉格朗日方程,9-2-1,两个经典微分关系,9-2-2,拉氏方程基本形式,9-2,拉格朗日方程,为拉式第二类方程基本形式，以,t,为自变量，,为未知函数的二阶常微分方程组，,2,k,个积分常量，,需,2,k,个初始条件 。,故,关于 的计算,由,(,见下述例题中,),(,仅,q,i,0,时，计算所有主动力虚功,),9-2,拉格朗日方程,9-2-2,拉氏方程基本形式,9-2,拉格朗日方程,9-2-3,势力场中的拉氏方程,若有势主动力,引入拉格朗日函数 又称动势。,注意 ，有,:,此为势力场中第二类拉氏方程，是关于,k,个广义,坐标的二阶常微分方程组。,则有,9-2,拉格朗日方程,9-2-4,拉氏方程的应用,1.,图示两均质圆轮沿斜面纯滚，均质杆,AB,与两,轮心铰接。已知,微分方程及圆频率 。,试求系统微振动,应用拉格朗日方程求解受约束系统的动力问题，,首先需要判断约束是否完整，这是应用拉氏方程的,前提；其次看主动力是否有势，由此选择拉氏方程,形式。,9-2,拉格朗日方程,，,代入拉氏方程,中，有,即,为所求微分方程。,系统自由度为,1,。取轮心,B,沿斜面位移,x,为广义坐标。,平衡位置为零势能位置，则任意,x,位置时，,系统动势,9-2,拉格朗日方程,9-2-4,拉氏方程的应用,1.,此处势能,V,为什么与弹簧初始变形和重力无关,?,2.,试用动能定理求解例,1,，并比较两种方法的异同。,与简谐振动微分方程,对比可知,振动圆频率,9-2,拉格朗日方程,9-2-4,拉氏方程的应用,本系统为完整约束，,主动力非有势，采用基本,形式的拉氏方程求解。,2.,如图所示，铰盘半径为,R,，转动惯量为,J,，其,上作用力偶矩为,M,的力偶，重物质量分别为,不计摩擦与滑轮质量，求铰盘的角加速度,判断系统的自由度，,取广义坐标。,本题中，,，取,为广义坐标，,9-2,拉格朗日方程,9-2-4,拉氏方程的应用,计算系统的,T,与,则有,9-2,拉格朗日方程,9-2-4,拉氏方程的应用,代入拉氏方程，得系统的运动微分方程。,代入,中，得,(a),代入,中，得,(b),解方程，求加速度。,，得,9-2,拉格朗日方程,9-2-4,拉氏方程的应用,试用动力学普遍方程，动力学普遍定理，达朗贝尔原理求解例,2,，并比较各种方法的特点。,完整系统多自由度动力问题，采用拉氏方程，步骤规范，便于求解。拉氏方程与动力学普遍方程对于完整系统本质上一致，前者从能量，后者从受力入手考察系统的运动。,9-2,拉格朗日方程,题型特点,:,9-2-4,拉氏方程的应用,3.,如图所示，物,A,重为,，物,B,重为,刚度系数为,k,，其,O,端固定于物,A,上，另一端与物,B,相连。系统由静止开始运动，不计摩擦与弹簧质量，且,弹簧在初瞬时无变形，试求运动中物,A,的加速度。,弹簧,9-2-4,拉氏方程的应用,9-2,拉格朗日方程,(,弹簧的绝对伸长量,),为广义坐标。,取系统的初始位置为零势能位置。,在任意时刻,t,，有,系统处于势力场中，是保守系统，且自由度为,2,，取,A,的绝对位移,B,的相对位移,9-2,拉格朗日方程,9-2-4,拉氏方程的应用,将以上各项代入下列拉氏方程,得,(a),(b),9-2,拉格朗日方程,9-2-4,拉氏方程的应用,由式,(a),和式,(b),消去,，得,(c),其中,由式,(c),解得,由,时，,得,故,(d),9-2,拉格朗日方程,9-2-4,拉氏方程的应用,将式,(d),代入式,(c),，再将式,(c),和,(d),代入式,(b),得,顺便指出，由式,(c),和,(d),可知，物,B,相对于物,A,作在常力作用下的简谐振动，其振幅为,，固有频率为,多自由度完整约束保守系统问题，应用含,L,的拉氏,方程，不需求广义力，求解较为简便。,题型特点,:,9-2,拉格朗日方程,9-2-4,拉氏方程的应用,例题中,(a),试求,A,，,B,两物块所受光滑面的支承力。,若初瞬时弹簧有一初始伸长,结果有何变化,?,(b),试用质心运动定理和动能定理,求,解例,3,，并比,较各种方法特点。,9-2,拉格朗日方程,9-2-4,拉氏方程的应用,3.,两个相同单摆，用刚度为,k,的弹簧连接已知,m,k,l,a,系统静止时，弹簧无变形，不计杆重试求,系统振动微分方程及固有频率。,9-2,拉格朗日方程,9-2-4,拉氏方程的应用,自由度为,2,，选 为广义坐标，,选平衡位置势能为,0,，则,(,较小时，,),9-2-4,拉氏方程的应用,9-2,拉格朗日方程,而,9-2,拉格朗日方程,9-2-4,拉氏方程的应用,代入 和 中,有,即,9-2,拉格朗日方程,设,代入式,(a),，得,9-2-4,拉氏方程的应用,方程,(b),有非,0,解条件，即频率方程为,即,(c),为系统的主频率，将 分别代入式,(b),得,9-2,拉格朗日方程,9-2-4,拉氏方程的应用,即 ，为系统的第一主振型，,振动时弹簧不变形。,振动时弹簧中点不动。,将,代入,(b),得,第,二,主振型,，,两振型图如下,:,9-2,拉格朗日方程,9-2-4,拉氏方程的应用,4.,1,2,3,4,刚性杆长均为,a,，可不计质量。均质刚杆,AB,长 ，质量为,2,m,，,C,D,小球质量均为,m,，求微小运动微分方程及,3,4,杆相对运动。,系统为定常理想完整保守系统。,选,为广义坐标。,9-2,拉格朗日方程,9-2-4,拉氏方程的应用,而,代入,得,9-2,拉格朗日方程,9-2-4,拉氏方程的应用,(a),并设 得,同理可得,故,为简谐运动。,9-2,拉格朗日方程,9-2-4,拉氏方程的应用,9-3-1,广义动量积分,(,守恒,),完整、理想约束、保守系统，若,L,中不含,q,r,，则,q,r,叫循环坐标,，且有,即 常数,循环积分，广义动量守恒。,代入,中，得,即,如在重力场中质点质量为,m,，取,x,、,y,、,z,为广义坐标，,可见,x,、,y,为循环坐标，则有,常量，,常量,第九章 拉格朗日方程,如图所示，质量为 的某行星,A,受太阳的引力,，为太阳质量，,G,为万有引力常数，,r,为,极坐标的极轴，为其单位矢。,试写出行星作平面曲,线运动的循环积分。,该系统有二个自由度。,选 为广义坐标，,质点受重力沿 方向，在,x,和,y,方向均为动量守恒,。,9-3-1,广义动量积分,(,守恒,),第九章 拉格朗日方程,可见,L,中不显含 ，即 是循环坐标，,则有,循环积分,。,常数,该广义动量积分表明，行星,A,对点,O,的动量矩守恒。,若选,x,、,y,为广义坐标，,有无循环积分？,问,:,9-3-1,广义动量积分,(,守恒,),第九章 拉格朗日方程,9-3-2,广义能量积分,(,机械能守量,),定常、完整、理想约束保守系统，,(,n,个质点,),，,k,个,自由度有,:,则有,故,第九章 拉格朗日方程,(1),而,的二次齐次函数。,T,为,将,代入上式，得,则,由,Euler,公式，若,为 的,m,次齐次函数,9-3-2,广义能量积分,(,机械能守量,),第九章 拉格朗日方程,故,=2,T,（,T,为 的二次齐次函数,）,将式,(2),代入式,(1),，,得,故 常数,此即,拉氏方程能量积分,，表明上述系统机械能守恒,。,即,9-3-2,广义能量积分,(,机械能守量,),第九章 拉格朗日方程,均质轮与均质杆质量均为,m,，轮半径为,r,，,杆长 。轮纯滚。若杆由水平静止释放，求,时,及,。,1.,选,x,和,为广义坐标。,9-3-2,广义能量积分,(,机械能守量,),第九章 拉格朗日方程,故有循环积分，常数,(,初始,为,0,),又,约束定常，且完整理想。,即,(b),x,方向广义动量守恒，并非系统,x,方向动量。,故,常数,9-3-2,广义能量积分,(,机械能守量,),第九章 拉格朗日方程,时,，,(a),，,(b),两式为,解之得,1.,若接触平面光滑,(,f,=0),，结果如何,?,2.,若左边连接一水平弹簧,(,k,),，结果又如何,?,9-3-2,广义能量积分,(,机械能守量,),第九章 拉格朗日方程,如图所示，质量为,m,，半径为,r,的匀质轮在质量,为 、半径为,R,的薄壁筒内无滑动地滚动，设起始,时系统静止，且,OC,与重力方向夹角 。试求运动中圆筒,转角 与 的关系。,2.,9-3-2,广义能量积分,(,机械能守量,),第九章 拉格朗日方程,系统保守且约束完整、定常，自由度为,2,，取,与 为广义坐标。设圆轮角速度为 ，则从轮,C,的速度,分析,，有 。,因,L,不含,(,其中 为循环坐标,),，,故相应的广义动量守恒，,并考虑到 时，,设,O,为零势能位置，系统动势为,9-3-2,广义能量积分,(,机械能守量,),第九章 拉格朗日方程,此处利用拉氏方程的循环,积分，使问题求解大为简化。,即,对,t,积分，并注意到 时，,得,故,9-3-2,广义能量积分,(,机械能守量,),第九章 拉格朗日方程,解出 和 ，再积分，,可得 和 的变化规律。,该约束定常，故有,T,+,V,=,常数，即,将此式与例,2,中,(a),式联立，,如何求上述 和 的变化规律,9-3-2,广义能量积分,(,机械能守量,),第九章 拉格朗日方程,3.,两等长均质杆水平悬挂，已知,m,、,l,，,AC,=,OB,，,求,BD,绳断瞬间，,O,处约束力。,绳断瞬时，加速度如图，先研究,CD,杆。,9-3-2,广义能量积分,(,机械能守量,),第九章 拉格朗日方程,如何求,CD,杆内力,?,由,由,由,从,D,端任取,x,段，加惯性力，复力如图。,9-3-2,广义能量积分,(,机械能守量,),第九章 拉格朗日方程,初瞬时间，,可直接加惯性力求解,类似,题型特点,:,9-3-2,广义能量积分,(,机械能守量,),第九章 拉格朗日方程,