资源描述
,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,1,第,2,章 信号,2.1,信号的类型,2.1.1,确知信号和随机信号,什么是确知信号,什么是随机信号,2.1.2,能量信号和功率信号,信号的功率,:,设,R,=1,则,P,=,V,2,/,R,=,I,2,R,=,V,2,=,I,2,信号的能量：设,S,代表,V,或,I,，若,S,随时间变化，则写为,s,(,t,),于是，信号的能量,E,=,s,2,(,t,)d,t,能量信号：满足,平均功率：，故能量信号的,P,=0,。,功率信号：,P,0,的信号，即持续时间无穷的信号。,能量信号的能量有限，但平均功率为,0,。,功率信号的平均功率有限，但能量为无穷大。,2,2.2,确知信号的性质,2.2.1,频域性质,功率信号的频谱：设,s,(,t,),为周期性功率信号，,T,0,为周期，则有,式中，,0,=2/,T,0,=2,f,0,C,(j,n,0,),是复数，,C,(j,n,0,)=|,C,n,|e,j,n,式中，,|,C,n,|,频率为,nf,0,的分量的振幅；,n,频率为,nf,0,的分量的相位。,信号,s,(,t,),的傅里叶级数表示法：,3,【,例,2.1】,试求周期性方波的频谱。,解：设一周期性方波的周期为,T,，宽度为,，幅度为,V,求频谱：,4,频谱图,5,【,例,2.2】,试求全波整流后的正弦波的频谱。,解：设此信号的表示式为,求频谱：,信号的傅里叶级数表示式：,1,f(t),t,6,能量信号的频谱密度,设一能量信号为,s,(,t,),，则其频谱密度为：,S,(,),的逆变换为原信号：,【,例,2.3】,试求一个矩形脉冲的频谱密度。,解：设此矩形脉冲的表示式为,则它的频谱密度就是它的傅里叶变换：,7,【,例,2.4】,试求抽样函数的波形和频谱密度。,解：抽样函数的定义是,而,Sa,(,t,),的频谱密度为：,和上例比较可知，,Sa,(,t,),的波形和上例中的,G,(,),曲线相同，而,Sa,(,t,),的频谱密度,Sa,(,),的曲线和上例中的,g,(,t,),波形相同。,【,例,2.5】,试求单位冲激函数及其频谱密度。,解：单位冲激函数常简称为,函数，其定义是：,(t),的频谱密度：,8,Sa(t),及其频谱密度的曲线：,函数的物理意义：,高度为无穷大，宽度为无穷小，面积为,1,的脉冲。,用抽样函数,Sa(t),表示,函数：,Sa(t),有如下性质,当,k,时，振幅 ，,波形的零点间隔,0,，,故有,t,t,t,f,(,f,),1,0,t,(,t,),0,9,函数的性质,对,f,(,t,),的抽样：,函数是偶函数：,函数是单位阶跃函数的导数：,能量信号的频谱密度,S(f),和周期性功率信号的频谱,C(jn,0,),的区别,:,S,(,f,),连续谱；,C,(j,n,0,),离散谱,S,(,f,),的单位：,V/Hz,；,C,(j,n,0,),的单位：,V,S,(,f,),在一频率点上的幅度无穷小。,u,(,t,)=,(,t,),t,1,0,图,2.2.6,单位阶跃函数,10,【,例,2.6】,试求无限长余弦波的频谱密度。,解：设一个余弦波的表示式为,f,(,t,)=cos,0,t,，则其频谱密度,F,(,),按式,(2.2-10),计算，可以写为,参照式,(2.2-19),，上式可以改写为,引入,(,t,),，就能将频谱密度概念推广到功率信号上。,t,0,0,0,(b),频谱密度,(a),波形,11,能量谱密度,设一个能量信号,s,(,t,),的能量为,E,，则其能量由下式决定：,若此信号的频谱密度，为,S,(,f,),，则由巴塞伐尔定理得知：,上式中,|,S,(,f,)|,2,称为能量谱密度，也可以看作是单位频带内的信号能量。上式可以改写为：,式中，,G,(,f,),|S(f)|,2,（,J/Hz,）,为能量谱密度。,G,(,f,),的性质：因,s,(,t,),是实函数，故,|,S,(,f,)|,2,是偶函数，,12,功率谱密度,令,s(t),的截短信号为,s,T,(,t,),，,-,T,/2,t,T,/2,，则有,定义功率谱密度为：,得到信号功率：,对于周期性信号：,13,2.2.2,时域性质,自相关函数,能量信号的自相关函数定义：,功率信号的自相关函数定义：,性质：,R,(,),只和,有关，和,t,无关,当,=0,时，能量信号的,R,(,),等于信号的能量；,功率信号的,R,(,),等于信号的平均功率。,14,互相关函数,能量信号的互相关函数定义：,功率信号的互相关函数定义：,性质：,1,.R,12,(,),只和,有关，和,t,无关；,2.,证：,令,x,=,t,+,，,则,15,2.3,随机信号的性质,2.3.1,随机变量的概率分布,随机变量的概念：若某种试验,A,的随机结果用,X,表示，则称此,X,为一个随机变量，并设它的取值为,x,。,例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。,随机变量的分布函数：,定义：,F,X,(,x,)=,P,(,X,x,),性质：,P,(,a,X,b,)+,P,(,X,a,)=,P,(,X,b,),P,(,a,X,b,)=,P,(,X,b,),P,(,X,a,),，,P,(,a,X,b,)=,F,X,(,b,),F,X,(,a,),16,离散随机变量的分布函数：,设,X,的取值为：,x,1,x,2,x,i,x,n,，其取值的概率分别为,p,1,p,2,p,i,p,n,，则有,P,(,X,x,1,)=0,P,(,X,x,n,)=1,P,(,X,x,i,)=,P,(,X,=,x,1,)+,P,(,X,=,x,2,)+,+,P,(,X,=,x,i,),性质：,F,X,(-)=0,F,X,(+)=1,若,x,1,x,2,，则有,:,F,X,(,x,1,),F,X,(,x,2,),，,为单调增函数。,17,连续随机变量的分布函数：,当,x,连续时，由定义分布函数定义,F,X,(,x,)=,P,(,X,x,),可知，,F,X,(,x,),为一连续单调递增函数：,18,2.3.2,随机变量的概率密度,连续随机变量的概率密度,p,X,(,x,),p,X,(,x,),的定义：,p,X,(,x,),的意义：,p,X,(,x,),是,F,X,(,x,),的导数，是,F,X,(,x,),曲线的斜率,能够从,p,X,(,x,),求出,P,(,a,0,a,=,常数,概率密度曲线：,21,均匀分布随机变量,定义：概率密度,式中，,a,，,b,为常数,概率密度曲线：,b,a,x,0,p,A,(,x,),22,瑞利,(Rayleigh),分布,随机变量,定义：概率密度为,式中，,a,0,，为常数。,概率密度曲线：,23,2.5,随机变量的数字特征,2.5.1,数学期望,定义：对于连续随机变量,性质：,若,X,和,Y,互相独立，且,E,(,X,),和,E,(,Y,),存在。,24,2.5.2,方差,定义：,式中，,方差的改写：,证：,对于离散随机变量，,对于连续随机变量，,性质：,D,(,C,)=0,D,(,X,+,C,)=,D,(,X,),，,D,(,CX,)=,C,2,D,(,X,),D,(,X,+,Y,)=,D,(,X,)+,D,(,Y,),D,(,X,1,+,X,2,+,+,X,n,)=,D,(,X,1,)+,D,(,X,2,)+,+,D,(,X,n,),25,2.5.3,矩,定义：随机变量,X,的,k,阶矩为,k,阶原点矩：,a,=0,时的矩：,k,阶中心矩：时的矩：,性质：,一阶原点矩为数学期望：,二阶中心矩为方差：,26,2.6,随机过程,2.6.1,随机过程的基本概念,X,(,A,t,),事件,A,的全部可能,“,实现,”,的总体；,X,(,A,i,t),事件,A,的一个实现，为确定的时间函数；,X,(,A,t,k,),在给定时刻,t,k,上的函数值。,简记：,X,(,A,t,),X,(,t,),X,(,A,i,t,),X,i,(,t,),例：接收机噪声,随机过程的数字特征：,统计平均值：,方差：,自相关函数：,27,2.6.2,平稳,随机过程,平稳随机过程的定义：,统计特性与时间起点无关的随机过程。,（又称严格平稳随机过程）,广义平稳随机过程的定义：,平均值、方差和自相关函数等与时间起点无关的随机过程。,广义平稳随机过程的性质：,严格平稳随机过程一定也是广义平稳随机过程。但是，广义平稳随机过程就不一定是严格平稳随机过程。,28,2.6.3,各态历经性,“,各态历经,”,的含义：,平稳随机过程的一个实现能够经历此过程的所有状态。,各态历经过程的特点：可用时间平均值代替统计平均值，例,各态历经过程的统计平均值,m,X,：,各态历经过程的自相关函数,R,X,(,):,一个随机过程若具有各态历经性，则它必定是严格平稳随机过程。但是，严格平稳随机过程就不一定具有各态历经性。,29,稳态通信系统的各态历经性：,假设信号和噪声都是各态历经的。,一阶原点矩,m,X,=,E,X,(,t,),是信号的直流分量；,一,阶原点矩的平方,m,X,2,是信号直流分量的归一化功率；,二阶原点矩,E,X,2,(,t,),是信号归一化平均功率；,二阶原点矩的平方根,E,X,2,(,t,),1/2,是信号电流或电压的均方根值（有效值）；,二阶中心矩,X,2,是信号交流分量的归一化平均功率,;,若,m,X,=,m,X,2,=0,，则,X,2,=,E,X,2,(,t,),；,标准偏差,X,是信号交流分量的均方根值；,若,m,X,=0,，则,X,就是信号的均方根值,。,30,2.6.4,平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度,自相关函数的性质,功率频谱密度的性质,复习：确知信号的功率谱密度：,类似地，平稳随机过程的功率谱密度为：,平均功率：,31,自相关函数和功率谱密度的关系,由,式中，,令,=,t,t,，,k,=,t,+,t,，则上式可以化简成,于是有,32,上式表明，,P,X,(,f,),和,R,(,),是一对傅里叶变换：,P,X,(,f,),的性质：,P,X,(,f,),0,并且,P,X,(,f,),是实函数。,P,X,(,f,),P,X,(-,f,),，即,P,X,(,f,),是偶函数。,【,例,2.7】,设有一个二进制数字信号,x,(,t,),，,如图所示，其振幅为,+,a,或,-,a,；在时间,T,内其符号改变的次数,k,服从泊松分布,式中，,是单位时间内振幅的,符号改变的平均次数。,试求其相关函数,R,(,),和功率谱密度,P,(,f,),。,+,a,-,a,x,(,t,),t,t,0,t,-,33,解：,由图可以看出，乘积,x,(,t,),x,(,t-,),只有两种可能取值：,a,2,或,-,a,2,。因此，式,可以化简为：,R,(,)=,a,2,a,2,出现的概率,+(-,a,2,),(-,a,2,),出现的概率,式中，“出现的概率”可以按上述泊松分布,P,(,k,),计算。,若在,秒内,x,(,t,),的符号有偶数次变化，则出现,+,a,2,;,若在,秒内,x,(,t,),的符号有奇数次变化，则出现,-,a,2,。,因此，,用,代替泊松分布式中的,T,，得到,34,由于在泊松分布中,是时间间隔，所以它应该是非负数。所以，在上式中当,取负值时，上式应当改写成,将上两式合并，最后得到：,其功率谱密度,P,(,f,),可以由其自相关函数,R,(,),的傅里叶变换求出：,P,(,f,),和,R,(,),的曲线：,35,【,例,2.8】,设一随机过程的功率谱密度,P,(,f,),如图所示。试求其自相关函数,R,(,),。,解：,功率谱密度,P,(,f,),已知，,式中，,自相关函数曲线：,36,【,例,2.9】,试求白噪声的自相关函数和功率谱密度。,解：,白噪声是指具有均匀功率谱,密度,P,n,(,f,),的噪声，即,P,n,(,f,),n,0,/2,式中，,n,0,为单边功率谱密度（,W/Hz,）,白噪声的自相关函数可以从它的功率谱密度求得,:,由上式看出，白噪声的任何两个相邻时间（即,0,时）的抽样值都是不相关的。,白噪声的平均功率,:,上式表明，白噪声的平均功率为无穷大。,P,n,(,f,),n,0,/,2,0,f,R,n,(,),n,0,/2,0,37,带限白噪声的功率谱密度和自相关函数,带限白噪声：带宽受到限制的白噪声,带限白噪声的功率谱密度：,设白噪声的频带限制在,(-,f,H,f,H,),之间，则有,P,n,(,f,)=,n,0,/2,-,f,H,f,f,H,=0,其他处,其自相关函数为：,曲线：,n,0,/2,P,n,(,f,),0,f,-,f,H,f,H,R,n,(,),0,1/2,f,H,-1/2,f,H,38,2.7,高斯过程（正态随机过程）,定义：,一维高斯过程的概率密度：,式中，,a,=,E,X,(,t,),为均值,2,=,E,X,(,t,),-,a,2,为方差,为标准偏差,高斯过程是平稳过程，故,其概率密度,p,X,(,x,t,1,),与,t,1,无关，,即，,p,X,(,x,t,1,),p,X,(,x,),p,X,(,x,),的曲线：,39,高斯过程的严格定义：任意,n,维联合概率密度满足：,式中，,a,k,为,x,k,的数学期望（统计平均值）；,k,为,x,k,的标准偏差；,|,B,|,为归一化协方差矩阵的行列式，即,|,B,|,jk,为行列式,|,B,|,中元素,b,jk,的代数余因子；,b,jk,为归一化协方差函数，即,40,n,维高斯过程的性质,p,X,(,x,1,x,2,x,n,;,t,1,t,2,t,n,),仅由各个随机变量的数学期望,a,i,、标准偏差,i,和归一化协方差,b,jk,决定，因此它是一个广义平稳随机过程,。,若,x,1,x,2,x,n,等两两之间互不相关，则有当,j,k,时，,b,jk,=0,。这时，,即，此,n,维联合概率密度等于各个一维概率密度的乘积。,若两个随机变量的互相关函数等于零，则称为两者,互不相关,；若两个随机变量的二维联合概率密度等于其一维概率密度之积，则称为两者,互相独立,。互不相关的两个随机变量不一定互相独立。互相独立的两个随机变量则一定互不相关。,高斯过程的随机变量之间既互不相关，又互相独立。,41,正态概率密度的性质,p,(,x,),对称于直线,x,=,a,，即有：,p,(,x,),在区间,(-,a,),内单调上升，在区间,(,a,),内单调下降，并且在点,a,处达到其极大值,当,x,-,或,x,+,时，,p,(,x,),0,。,若,a,=0,=1,，则称这种分布为标准化正态分布：,42,正态分布函数,将正态概率密度函数的积分定义为正态分布函数,：,式中，,(,x,),称为概率积分函数,：,此积分不易计算，通常用查表方法计算。,43,用误差函数表示正态分布,误差函数定义：,补误差函数定义：,正态分布表示法：,44,频率近似为,f,c,2.8,窄带随机过程,2.8.1,窄带随机过程的基本概念,何谓窄带？,设,随机过程的频带宽度为,f,，中心频率为,f,c,。若,f,f,c,，则称此随机过程为窄带随机过程。,窄带随机过程的波形和表示式,波形和频谱：,45,表示式,式中，,a,X,(,t,),窄带随机过程的随机包络；,X,(,t,),窄带随机过程的随机相位；,0,正弦波的角频率。,上式可以改写为：,式中，,X,(,t,),的同相分量,X,(,t,),的正交分量,46,2.8.2,窄带随机过程的性质,X,c,(,t,),和,X,s,(,t,),的统计特性：,设,X,(,t,),是一个均值为,0,的平稳窄带高斯过程，则,X,c,(,t,),和,X,s,(,t,),也是高斯过程；,X,c,(,t,),和,X,s,(,t,),的方差相同，且等于,X,(,t,),的方差,；,在同一时刻上得到的,X,c,和,X,s,是不相关的和统计独立的。,a,X,(,t,),和,X,(,t,),的统计特性：,窄带平稳随机过程包络,a,X,(,t,),的概率密度等于：,窄带平稳随机过程相位,X,(,t,),的概率密度等于：,47,2.9,正弦波加窄带高斯过程,通信系统中的正弦波加窄带高斯过程：,正弦波加噪声的表示式：,式中，,A,正弦波的确知振幅；,0,正弦波的角频率；,正弦波的随机相位；,n,(,t,),窄带高斯噪声。,r,(,t,),的包络的概率密度,：,式中，,2,n,(,t,),的方差；,I,0,(,),零阶修正贝塞尔函数。,p,r,(,x,),称为广义瑞利分布，或称莱斯,(Rice),分布。,当,A,=0,时，,p,r,(,x,),变成瑞利概率密度。,48,r,(,t,),的相位的条件概率密度,：,式中，,r,(,t,),的相位，包括正弦波的相位,和噪声的相位,p,r,(,/,),给定,的条件下，,r,(,t,),的相位的条件概率密度,r,(,t,),的相位的概率密度,:,当,=0,时，,式中，,49,瑞利分布,r,概率密度,包络,r,(a),莱斯分布包络的概率密度,均匀相位,相 位,概率密度,(b),莱斯分布相位的概率密度,莱斯分布的曲线,当,A,/,=0,时，,包络瑞利分布,相位均匀分布,当,A,/,很大时，,包络正态分布,相位冲激函数,50,2.10,信号通过线性系统,2.10.1,线性系统的基本概念,线性系统的特性,有一对输入端和一对输出端,无源,无记忆,非时变,有因果关系：当前输出只决定于当前和过去的输入,有线性关系：满足叠加原理,若当输入,为,x,i,(,t,),时，输出为,y,i,(,t,),，则当输入,为,时，输出为：,式中，,a,1,和,a,2,均为任意常数。,51,线性系统的示意图,2.10.2,确知信号通过线性系统,时域分析法,设,h,(,t,),系统的冲激响应,x,(,t,),输入信号波形,y,(,t,),输出信号波形,则有：,线性系统,输入,输出,x,(,t,),y,(,t,),X,(,f,),Y,(,f,),h,(,t,),H,(,f,),图,2.10.1,线性系统示意图,t,(,t,),h,(,t,),t,0,0,对于物理可实现系统：,52,频域分析法,设：输入为能量信号，令,x,(,t,),输入能量信号,H,(,f,),h,(,t,),的,傅里叶变换,X,(,f,),x,(,t,),的,傅里叶变换,y,(,t,),输出信号,则此系统的输出信号,y,(,t,),的频谱密度,Y,(,f,),为：,由,Y,(,f,),的逆傅里叶变换可以求出,y,(,t,),：,53,设：输入,x,(,t,),为周期性功率信号，则有,式中，,输出为：,设：输入,x,(,t,),为非周期性功率信号，则当作随机信号处理,0,=2,/,T,0,T,0,信号的周期,f,0,=,0,/2,是信号的基频,54,【,例,2.10】,若有一个,RC,低通滤波器，如图,2.10.4,所示。试求出其冲激响应，以及当有按指数衰减的输入时其输出信号表示式。,解,:,设,x(t,),输入能量信号,y,(,t,),输出能量信号,X,(,f,),x(t,),的频谱密度,Y,(,f,),y,(,t,),的频谱密度,则,此电路的传输函数为：,此滤波器的冲激响应,h,(,t,),：,图,2.10.4 RC,滤波器,R,C,x,(,t,),y,(,t,),55,滤波器输出和输入之间的关系：,假设,输入,x,(,t,),等于：,则此滤波器的输出为：,56,无失真传输条件,设：系统是无失真的线性传输系统，输入为一能量信号,x,(,t,),，,则其无失真输出信号,y,(,t,),为：,式中，,k,衰减常数，,t,d,延迟时间。,求系统的传输函数：,对上式作傅里叶变换：,式中，,无失真传输条件：,振幅特性与频率无关；,相位特性是通过原点的直线。,（实际中，,难测量，常用测量,t,d,代替。）,|,H,(,f,)|,k,0,f,f,0,57,2.10.3,随机信号通过线性系统,物理可实现线性系统，若输入为确知信号，则有,若输入为平稳随机信号,X,(,t,),，则输出,Y,(,t,),为,输出,Y,(,t,),的数学期望,E,Y,(,t,),由于已假设输入是平稳随机过程，故,输出的数学期望：,E,X,(,t,-,)=,E,X,(,t,)=,k,，,k,=,常数。,58,输出,Y,(,t,),的自相关函数,由自相关函数定义，有,由,X,(,t,),的平稳性知，上式中的数学期望与,t,1,无关，故有,由于,Y,(,t,),的数学期望和自相关函数都和,t,1,无关，故,Y,(,t,),是广义平稳随机过程。,59,输出,Y,(,t,),的功率谱密度,P,Y,(,f,),：,由于功率谱密度是自相关函数的傅里叶变换，故有,令,=+u-v,代入上式，得到,输出信号的功率谱密度等于输入信号的功率谱密度,乘以,|H(f)|,2,。,60,【,例,2.11,】,已知一个白噪声的双边功率谱密度为,n,0,/2,。试求它通过一个理想低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声功率。,解：,因为理想低通滤波器的传输特性可以表示成：,所以有,输出信号的功率谱密度为,输出信号的自相关函数,输出噪声功率：,P,Y,R,Y,(0)=,k,2,n,0,f,H,61,2.11,小结,
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