电磁场与电磁波_第三章.ppt

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,第,3,章：,静态电磁场及其边值问题的解,3.1,静电场分析,静电场是静止电荷激发的，是电磁场的一种重要和特殊的形式,3.1.1.,静电场的基本方程和边界条件,1.,基本方程,积分形式：,微分形式：,以及：,2.,边界条件,在两种电介质的分界面上，电场强度满足以下关系式：,表明电强场度切向分量是连续的,电位移矢量满足的关系是：,表明，如果分界面上存在面电荷时，电位移矢量的法向分量是不连续的,若分界面上不存在面电荷，则,还可改写成：,可见，若，则电场强度法向分量不连续，这是因为分界面上存在束缚电荷,3.1.2,电位函数,1.,电位和电位差,静电场是无旋场，可知，电场强度可以表示成标量函数的梯度，即：,式中，为静电场电位函数，简称电位,对于点电荷的电场：,考虑到以下梯度运算结果：,则有：,所以：,应用叠加原理，点电荷系、线电荷、面电荷以及体电荷产生的电场的电位函数分别为：,通常用等位面形象地描述电位的空间分布，根据梯度的性质，电场线垂直于等位面，且总是指向电位下降最快的方向,在两端点乘，得：,对上式两端从,P,点到,Q,点沿任意路径进行积分，得：,可见，点,P,、,Q,之间电位差的物理意义是把一个单位正电荷从点,P,沿任意路径移动到点,Q,的过程中，电场力所做的功，根据静电场的无旋性，这个功是路径无关的。因而电位差是唯一的。,为了使电场中每一点电位具有确定的值，必须选定场中某一固定点作为电位参考点，即规定该固定点的电位为零。,例如，若选定,Q,点为零，则,若场源分布在有限区域，通常选定无限远处为电位参考点，此时：,2.,静电位微分方程,在均匀、线性和各向同性的电介质中，是一个常数，因此：,故得：,即静电位满足标量泊松方程。,若空间无电荷分布，则满足拉普拉斯方程：,在通过求解泊松方程或拉普拉斯方程求解电位时，需要应用边界条件来确定常数。下面介绍电位的边界条件。,电位的边界条件直接来于场量的边界条件,第一个式子的解释：电位差是电场的路径积分，若路径趋向于零，则积分值为零。,第二个式子从,D,的边界条件得来。但是它的应用，要先定义法向方向,n,是哪个方向。这里系从媒质,2,指向媒质,1,若分界面上不存在自由电荷，则,若第二种媒质为导体，因达到静电平衡时，导体内部电场为零，导体为等位体，故导体边界上边界条件为：,例,3.1.3,两块无限大接地导体平板分别置于,x=0,和,x=a,处，在两板之间的,x=b,处有一面密度为 的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场,解：在两块无限大接地导体平板之间，除了,x=b,处均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程,(,基于“无限大”的考虑，问题将与,y,和,z,无关,),方程的解为：,利用边界条件：,在,x=b,处，是两种媒质的分界面,(,实际是一种媒质,),，法向方向和,x,轴正方向重合，因而，实际上是从媒质,1,指向媒质,2,，因此，边界条件的表达式与前面的要注意区分，实际上相差负号，因为那里定义从媒质,2,指向媒质,1,得到四个等式：,由此解得：,可以得到电势为：,从而电场为：,3.1.3,导体系统的电容,电容是导体系统的一种基本属性，它是描述导体系统储存电荷能力的物理量。,定义,两导体系统的电容,为任一导体上的总电荷与两导体之间的电位差之比，即,电容单位是,F(,法拉,),，此比值为常数,1.,双导体的电容计算,在电子与电气工程中常用的传输线，例如平行板线、平行双线、同轴线都属于双导体系统。通常，这类传输线的纵向尺寸远大于横向尺寸。因而可作为平行平面电场（二维场来研究），只需要计算传输线单位长度的电容。,其计算步骤如下：,1,、根据导体几何形状，选取合适的坐标系,2,、假定两导体上分别带电荷,+q,和,-q,；,3,、根据假定的电荷求出电场强度,4,、由电场强度的路径积分求电位差,5,、求出电容,例：平行双线传输线的结构如图所示，导线的半径为,a,，两导线轴线距离为,D,且,D,远大于,a,，设周围介质为空气，试求传输线单位长度的电容,解：设两导线单位长度带电量分别为和，由于，故可近似地认为电荷分别均匀分布在两导线的表面上。,应用高斯定理和叠加原理,故,两导线间电位差为：,故得平行双线单位长度电容为：,2.,部分电容,在工程应用中，经常遇到由三个或更多的导体组成的多导体系统。例如，计及大地作用的架空平行双线传输线。,在多导体系统中，任何两个导体间的电压都要受到其余导体上的电荷的影响。因此，研究多导体系统时，必须将电容的概念推广，引入部分电容的概念。,所谓部分电容，是指多导体系统中，一个导体在其余导体的影响下，与另一个导体构成的电容,（,1,）电位系数,如图示,N,个导体和大地构成多导体系统，各导体的位置、形状及周围介质均是固定的，取大地为电位参考点（零电位点）,当这个导体系统中的任何一个导体上充以电荷时，它将以一定方式使所有导体（包括充以电荷的导体本身）具有一定的电位。,由于电位与各导体所带电荷量之间成线性关系，所以各导体的电位为：,或者表示为：,式中，称为电位系数，下标相同的称为自电位系数，下标不同的称为互电位系数。,电位系数有以下特点：,在数值上等于第,j,个导体上的总电量为一个单位而其余导体上的总电量为零时，第,i,个导体上的电位，即，,只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质参数有关，而与各导体的电位和带电量无关,所有电位系数，且具有对称性，即,（,2,）电容系数,对电位系数的矩阵方程求逆，可得：,或表示为：,式中，称为电容系数或感应系数。下标相同的系数称为自电容系数或自感应系数，下标不同的系数称为互电容系数或互感应系数。,电容系数具有以下特点：,在数值上等于第,j,个导体的电位为一个单位而其余导体接地时，第,i,个导体上的电量，即,只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；,具有对称性，即，互电容系数，自电容系数,电容系数与电位系数的关系为：,式中，是电位系数矩阵的行列式值，是余子式,（,3,）部分电容,引入符号：,电容系数方程可改写为：,或表示为：,上式表明，多导体系统中的任何一个导体的电荷是由,N,部分电荷组成。例如，导体,1,的电荷的第一部分与导体,1,的电位（即导体,1,与地之间的电压）成正比，比值是导体,1,与地之间的部分电容；第二部分与导体,1,、,2,间的电压成正比，比值则为导体,1,、,2,间的部分电容；,.,在多导体系统中，每一导体与地之间以及与其它导体之间都存在部分电容。,是导体,i,与地之间的部分电容，称为导体,i,的自有部分电容。,是导体,i,与导体,j,之间的部分电容，称为导体,i,与导体,j,之间的互有部分电容。,部分电容的特点,在数值上等于全部导体的电位都为一个单位时，第,i,个导体上总电荷量的值,在数值上等于第,j,个导体上的电位为一个单位、其余导体都接地时，第,i,个导体上感应电荷的大小；,所有部分电容都大于零，即：,部分分电容具对称性，即,3.1.4,静电场的能量,静电场最基本的性质是对静止电荷有作用力，这表明静电场有能量。,电场能量来源于建立电荷系统的过程中外界提供的能量。例如，给导体充电时，外电源要对电荷做功，提高电荷的电位能，这就构成了电荷系统的能量。,本节讨论静电荷的能量，故假设导体与介质都是固定的，且介质是线性和各向同性,1.,静电场的能量,要讨论的是系统被充电并达到稳定后的电场能量，故应与充电过程无关。,假设系统从零开始充电，充电完成后的最终电荷分布为，电位函数为。,如果在充电过程中使各点的电荷密度按最终值的同一比例因子增加，则各点的电位也将按同一比例因子增加。即：充电过程中某一时刻的电荷分布为，其电位分布就为。,令从,0,到,1,把充电过程用无数次增加微分电位的过程的叠加来表示，则当时，对于某体积元，其电位为，欲送入微分电荷，外电源需要做的功是。因此，对于整个空间，外电源所做的总功为：,根据能量守恒定律，外电源所做的功转换为电场的能量，因此整个空间增加的能量：,充电过程完成后，系统的总能量为：,如果电荷是以面密度分布在曲面,S,上，则上式变为：,对于多导体组成的带电系统，因为每个导体电位是常数，则：,2.,能量密度,将代入静电场能量表达式,上式对整个空间积分，但只有那些存在电荷的空间才对积分有贡献，故把积分区域无限扩大并不会影响积分的结果。只要电荷分布在有限区域内，当闭合面无限扩大时，有限区域电荷就可近似为一个点电荷，这样：,故,而第一项面积分的面积与,r,的平方成正比，故整个面积分必为零，所以：,对于线性和各向同性介质，,能量密度为：,3.2,导电媒质中的恒定电场分析,若电流密度矢量 不随时间变化，它仅是空间坐标的函数，则构成一个恒定电流场。,要在导电媒质中维持恒定电流，必须存在一个恒定电场。,本节将讨论恒定电场的基本性质，并将它与静电场比较,3.2.1,恒定电场的基本方程和边界条件,1.,基本方程,电流密度 和电场强度 是恒定电场的基本场矢量。,我们要讨论的是恒定电流，要维持电流不随时间变化，则空间的电场必须是恒定不变的，这就要求电荷的空间分布也不随时间变化，所以有,根据电流连续性方程：,根据电流连续性方程：,得：,上式表明，从闭合面,S,穿出的电流恒为零，因而闭合面包围的体积内的电量也不随时间改变。,恒定电场显然也是保守场，,微分形式为：,因而，,恒定电场也可用标量势梯度来表示：,导电媒质中标量势的拉普拉斯方程：,2.,边界条件,将,(3.2.1),与,(3.2.2),的基本方程变换成边界条件，得：,电位函数,边界条件为：,导体内电场并不为零，导体表面既有法向分量，又有切向分量，导体不是等势体,3.2.2,恒定电场与静电场的比拟,均匀导电媒质中的恒定电场,(,电源外部,),和均匀电介质中的静电场,(,电荷密度为零的区域,),有很多相似之处。,均匀导电媒质,(,电源外部,),均匀电介质,(,无自由电荷,),基本方程,本构关系,位函数方程,对比可见，只要将物理量替换，两种情况就类似。,对于欲求解的恒定电场问题，如果对应的具有相同边界形状的静电场问题的解为已知，则恒定电场的解便可利用上面的对偶关系直接写出，无需重新求解，这个方法也称为,静电比拟法,在静电场中，两导体间充满介电常数为 的均匀电介质时的电容为：,其中，,q,为带正电荷的导体,1,上的电量，,U,是两导体间的电压,在恒定电场中两个电极间充满电导率为 的均匀导电媒质时的电导为：,式中，电流,I,是从电极,1,表面流出的电流。,电极是由良导体构成，电极内电场可视为零，电极表面可视为等位面。,如果在静电场中两导体的电容为已知，则用同样的两个导体作电极时，填充均匀导电媒质的电导就可直接从电容的表达式中将介电常数换成电导率即可得到,例,1,：同轴线的内导体半径为,a,，外导体的内半径为,b,，内外导体之间填充一种非理想介质，试计算同轴线单位长度的绝缘电阻,解：,方法一：用恒定电场的基本关系式求解,假设同轴线的内外导体间加恒定电压,U,0,，由于填充介质的电导率不为零，介质中的漏电流沿径向从内导体流到外导体。,内外导体中有轴向电流，因而存在很小的轴向电场,(,因为电导率很大,),根据切向电场连续的关系，介质中实际上也有切向电场，从而也有轴向电流。但是这个电流很小，这里忽略。,介质中任一点处的漏电流密度为：,式中的 为通过半径为 的单位长度同轴园柱面的漏电流。,电场强度为：,内外导体间的电压为：,可得同轴线单位长度的绝缘电阻为：,方法之二：,已经知道同轴线单位长度的电容为：,因此，同轴线单位长度的漏电导为：,例二：计算半球形接地器的接地电阻,解：通常要求电子、电气设备与大地有良好的连接，将金属物体埋入地内，并将需接地的设备与该物体连接就构成接地器。,当接地器埋藏不深时可近似用半球形接地器代替。,接地电阻是指电流由接地器流入大地再向无限远处扩散所遇到的电阻，主要是接地器附近的大地电阻,设大地的电导率为 ，流过接地器的电流为 ，则大地中的电流密度为：,故,接地电阻为：,3.3,恒定磁场分析,恒定磁场是由恒定电流激发的，是电磁场的另一种重要的和特殊的形式,3.3.1,恒定磁场的基本方程和边界条件,1.,基本方程,积分形式：,微分形式：,辅助方程：,方程表明恒定磁场是无源（无通量源）有旋场,2.,边界条件,在不同磁介质的分界面上一般都存在着磁化面电流，引起场量不连续。,在分界面上磁感应强度满足：,说明分界面上,B,的法向分量是连续的,在分界面上,H,满足的关系式为：,若分界面上不存在自由面电流，则：,说明此时磁场分量的切线分量是连续的,3.3.2,矢量磁位和标量磁位,根据恒定磁场的特征，也可以引入位函数,1.,矢量磁位,利用磁场的无散度特征，用一矢量旋度来计算磁感应强度，由，可以令：,式中为矢量磁位，或称磁矢位,根据亥姆霍兹定理，要惟一地确定一个矢量必须同时给出它的旋度和散度，因此，一定要对,A,的散度作一规定,规定：,并称这种规定为库仑规范。在这种情况下，磁矢位,A,就被惟一确定,在均匀、线性和各向同性的磁介质中，将,代入基本方程：,利用矢量恒等式,以及库仑规范，得：,上式称为磁矢位的泊松方程，在无源区域无自由电流，得,上式称为磁矢位的拉普拉斯方程,在直角坐标系中，泊松方程分解为三个分量的方程：,其解为：,合写为一个式子：,对于面电流和线电流，类似可写为：,可见，电流元产生的磁矢位是与电流元矢量平行的矢量，这是引入磁矢位的优点之一,磁矢位的边界条件,根据边界条件可得：,例,3.3.2,求无限长直线电流的矢量磁位,解：,先计算如图所示的长度为的直线电流的矢量磁位。,电流元产生的矢量磁位,对直线积分，得,当时，讨论 的极限。,当时，,可见，无限长直线电流的矢量磁位为无限大,为解决这一困难，我们将的点（即矢量磁位的参考点）选取在处，即令：,故有：,因此，任意点的磁位为：,相应的磁感应强度为：,2.,标量磁位,若所研究的空间不存在自由电流，则此空间内有,因此，也可以用一个标量场梯度来表示它,式中的称为标量磁位，或磁标位,在均匀、线性和各向同性的媒质中，,此即标量势所满足的拉普拉斯方程,标量磁位的边界条件为：,3.3.3,电感,在线性和各向同性的媒质中，电流回路在空间产生的磁场与回路中的电流成正比。因此，穿过回路的磁通量（或磁链）也与回路中的电流成正比。,在恒定磁场中，把穿过回路的磁通量（或磁链）与回路中的电流的比值称为电感系数，简称电感。,电感只与导体系统的几何参数和周围媒质有关，与电流、磁通量无关,1.,自感,设回路中的电流为,它所产生的磁场与回路交链的自感磁链为，则磁链与回路中的电流成正比关系，其比值,称为回路的自感系数，简称自感。自感的单位为,H(,亨利,),在计算粗导体回路的自感时，通常将自感表示为内自感与外自感之和。,导体内部的磁场仅与部分电流相交链，相应的磁链称为内磁链，用表示，则内自感为：,全部在导体外部的闭合的磁链称为外磁链，用表示，则外自感为：,回路总自感为：,例,3.3.3.,计算同轴线单位长度的电感,解：设同轴线的内导体半径为,a,，外导体半径为,b,，外导体的厚度可忽略不计。内外导体之间是空气，或聚乙烯等电介质，磁导率为，内、外导体材料一般是金属铜，磁导率也是，同轴线的横截面如图所示,设同轴线中电流为，根据安培环路定律求得内导体中任意一点的磁感应强度为：,穿过由轴向为单位长度、宽为构成的矩形面积元的磁通为：,这个磁通是由导体上所有的电流贡献的。,计算电感的时候应该是根据磁通的增量与电流增量的比值来定，本例中，导体只占全部同轴线的一部分，计算电感的磁链只有一部分,内导体中单位长度的自感磁链总量为：,由此得到单位长度的内自感为：,在内、外导体之间，由安培环路定律可得任意一点磁感应强度为：,故，,故得到单位长度的外自感为：,同轴线单位长度的自感为：,例,3.3.4,计算平行双线传输线单位长度的电感,解：,设导线的半径为,a,，两导线的轴线距离为,D,且。导线及其周围媒质的磁导率皆为，两导线中通过的电流为，如图示。,由于，故在计算导线外部的磁场时，可近似地认为电流集中于导线的几何轴线上。根据安培环路定理和叠加原理，可求得双导线之间的平面上任意一点,P,的磁感应强度为：,穿过两导线之间轴线方程为单位长度的面积的外磁链为：,由此得到平行双线传输线单位长度的外自感为：,而两根导线单位长度的内自感为：,故：,2.,互感,如图示的两个彼此靠近的导线回路和回路中的电流所产生的磁场除了与回路本身交链外，还与回路相交链。,由回路的电流所产生的磁场与回路相交链的磁链，称为回路与回路间的互感磁链，用表示。,比值：,称为回路对回路间的互感系数，简称互感。,同理，回路对回路间的互感为：,利用矢量磁位可导出计算互感的一般公式,回路中的电流在回路上的任意一点产生的矢量磁位为：,则由电流产生的磁场与回路相交链的磁链为,故,同理：,这两个式子称为纽曼公式，这是计算互感的一般公式。,比较两式可以看出：,3.3.4,恒定磁场的能量,1.,磁场能量,电流回路在恒定磁场中要受到磁场力的作用而发生运动，表明恒定磁场储存着能量。,磁场能量就是在建立电流过程中由电源供给的。因为当电流从零开始增加时，回路中感应电动势要阻止电流的增加，因而必须有外加电压克服回路中的感应电动势。,假定所有的电流回路都固定不动，即没有机械功，同时假定导线中渡过电流时产生的焦耳损耗可以忽略。,外电源所做的功将全部转换为系统的磁场能量。类似于电场能量的推导，得磁场能量密度为：,3.4,静态场的边值问题及解的惟一性定理,静态场问题通常分为两大类：分布型问题和边值型问题。,由已知场源,(,电荷、电流分布,),，直接从场的积分公式求空间各点的场分布，称为分布型问题；如果已知场量在场域边界上的值，求场域内的场分布，则属于边值型问题。,本章介绍一些静态场边值问题的解法,3.4.1,边值问题的类型,在静态场情况下，电场可用一个标量电位来描述，磁场可用一个矢量磁位来描述。在无源区,(),，磁场也可用一个标量磁位描述。,在均匀媒质中，位函数满足泊松方程或拉普拉斯方程。同时在场域的边界面上位函数还应满足一定的边界条件。,位函数方程和位函数的边界条件一起构成位函数的边值问题,在场域,V,的边界面,S,上给定的边界条件有以下三种类型，相应地把边值问题分为三类：,第一类边界条件是已知位函数在场域边界面,S,上各点的值，即给定：,此类问题称为第一类边值问题或狄里赫利问题,第二类边界条件是已知位函数在场域边界面,S,上各点的法向层数值，即给定：,此类问题称为第二类边值问题或纽曼问题,第三类边界条件是已知一部分边界面 上位函数的值，而在另一部分边界面 上已知位函数的法向导数值，即给定：,此类问题称为第三类边值问题或混合边值问题,如果场域延伸到无限远处，还必须给出无限远处的边界条件。,对于源分布在有限区域的情况，在无限远处的位函数应为有限值，即给出：,称为自然边界条件。此外，若在整个场域内同时存在几种不同的均匀介质，则位函数还应满足不同介质分界面上的边界条件,3.4.2,惟一性定理,惟一性定理是边值问题的一个重要定理，表达为：,在场域,V,的边界面,S,上给定 或 值，,则泊松方程或拉普拉斯方程在场域,V,内具有惟一解,3.5,镜像法,镜像法基本思想：,在所研究的场域以外的某些适当位置上，用一些虚设的电荷（称为镜像电荷）等效替代导体表面的感应电荷或介质分界面上的极化电荷。,只要虚设电荷与场域内原有的实际电荷一起所产生的电场满足原问题所给定的边界条件，所得结果就是原问题的解,原则：,所有镜像电荷必须位于所求的场域以外的空间中；,镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足场域边界面上的边界条件来确定,3.5.1,接地导体平面的镜像,1.,点电荷对无限大接地导体平面的镜像,在 上半空间，总电场是由原电荷,q,和导体平面上的感应电荷共同产生的。除点电荷所在位置 外，电位函数满足拉普拉斯方程 。又由于导体接地，因此在 处，,设想将导体平面抽去，使整个空间变为充满介电常数为 的均匀电介质，在对称点,放置镜像电荷 ，则对于上半空间的问题，边界条件是电势为零，因而两个问题具有惟一的、相同的解,这样，在上半空间电势的解为：,我们对导体平面上感应电荷密度感趣，为此要先求出电场，然后再求电位移矢量与法向方向的点乘，就等于电荷密度。显然，只关心法向分量，即,z,分量电场,电场,Z,分量解为：,当,z=0,时，,电荷面密度为：,整个平面上的电荷为：,根据对称性，易得：,2.,线电荷对无限大接地导体平面的镜像,首先求无限长、密度为 的线电荷周围的电场。应用高斯定理,如果要求这个问题中的电位，这里可以倒推。,显然，电位为对数函数的形式，但设无限远处的电势为零？不妥，因为，无限远处有电荷。假设距离导线半径为 处的电势为零，即设：,这样，电势函数为：,设两个方向分别为：,电场强度为：,3.,点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像,镜像如下：,如果，,那么，和 对,A,面电势为零，和 同样对,A,面电势为零。,同理，对于,B,面也有类似结果。,3.5.2,导体球面的镜像,1.,点电荷对接地导体球面的镜像,镜像电荷放在哪里？显然应该放在电荷与球心的连线上。假设放置镜像电荷的位置与,O,点的距离为 ，设电荷量为 ，边界条件是使球面电势为,0,，空间电位为：,对于接地导体球，时，电势为零，故,由此得：,因为这个式子对任何 都成立，所以：,由此得：,根据惟一性定理，得到球外的电位函数为：,球面上的感应电荷密度为：,因为密度和 有关，可见，靠近点电荷一侧密度大些。感应电荷的分布并不均匀,可以验证，球面上的总感应电荷等于镜像电荷的电荷量，即,换一种情况：点电荷放置在接地导体球壳内部。这时，镜像电荷要放在球外，可用镜像法类似求得球壳内部的电场。,2.,点电荷对不接地导体球面的镜像,设点电荷位于一个不接地导体球外，此时只要注意到：,导体球面是一个电位不为零的等位面；,由于导体球未接地，在点电荷作用下，球上总感应电荷为零,就可用镜像法计算球外的电位函数,先设想导体球是接地的，此时导体球面上只有总电量为 的感应电荷分布,再断开接地，并将电荷 加于导体球上，从而保证了球面上总感应电荷为零。为使导体面为等位面，所加电荷应该均匀分布在导体球面上，这样可用一个位于球心的镜像电荷 来替代。,这样，球外一点的电位函数就是：,式中：,3.5.3,导体园柱面的镜像,1.,线电荷对导体园柱面的镜像,一根电荷线密度为 的无限长线电荷位于半径为,a,的无限长接地导体园柱面外，且与园柱的轴线平行，线电荷到轴线的距离为,d,，,镜像电荷应该是位于园柱体内且与导体外的线电荷平行的密度为 的线电荷。设镜像电荷线距园柱园心的距离为 。,空间任一点电位函数应该为这两个线电荷产生电位之和：,这里要注意的是，电势公式是以线处为原点，因而电势为零点的参考点是针对不同线电荷,当 时，电位为零。,这个式子对任意的 都成立，因此可以对角度求导,(,式子两边对 求导，因为函数增量为零，故导数为零,),求导后化简：,可以得到两组解，分别为：,所以有：,这样，导体外的电势为：,显然，后一组解是无意义的，舍去,和：,在这特定的情况下，,代入得：,这种情况在电力传输及通信工程中有着广泛的应用,前面所述线电荷对接地导体园柱面的镜像法，可以用来分析两半径相同、带有等量异号电荷的平行无限长直导体园柱周围的电场问题。,2.,两平行园柱导体的电轴,由于两园柱带电导体的电场互相影响，使导体表面上的电荷分布不均匀，相对的一侧电荷密度较大，而相背的一侧电荷密度较小。,如图所示半径都为,a,的两个平行导体园柱的横截面，它们轴线相距为,2h,，单位长度分别带电荷 和 ，,镜像法设想将两园柱撤除，其表面上的电荷分布用线密度分别为 和 ，且相距 的两根无限长带电细线来等效替代。,带电细导线所在的位置称为带电园柱导体的电轴，因而这种方法又称为电轴法,实际上将 和 互为镜像,电轴的位置由前面的结果给出。在此：,故有：,这样，导体园柱外空间任意一点的电位函数就等于线电荷密度分别为 和 的两平行双线产生的电位的叠加，即：,其中，和 分别为两个线电荷为坐标中心时，零电势点离线的距离。化简一下：,例,3.5.3,(2),若导线与地面间的电压为 ，证明：地面对单位长度导线的作用力为：,一根与地面平行架设的园柱导体，半径为 ，悬挂高度为 ，如图示，,(1),证明：单位长度上园柱导线与地面间的电容为,设地面为理想导体，地面的影响可用一个镜像园柱来等效。,解,:(1),设园柱导线单位长度带电荷为 ，则镜像园柱单位长度带电荷为 。,根据电轴法，电荷 和 可用位于电轴上的线电荷来等效代替。设电轴间距离为 ，,(,即电轴离镜面的垂直距离为,),，则：,此处，,园柱导线,(,非电轴处,),在导体园柱表面电势为：,因为对数函数中的宗量小于,1,，所以，此处的电势比参考电势还要低。但是，求电容时，可以反过来，并不影响结果。于是：,于是：,故：,因为，时，有公式,单位长度电容为：,3.5.4,介质平面的镜像,1.,点电荷对电介质分界平面的镜像,含有无限大介质分界平面的问题，也可采用镜像法求解,如图示，介电常数分别为 和 的两种不同介质，各均匀充满上、下无限大空间，其分界面是无限大平面；在电介质,1,中有一个点电荷 ，与分界平面距离为 。,在点电荷,q,的作用下，电介质被极化，在介质分界面上形成极化电荷分布。此时，空间中任一点的电场由点电荷,q,与极化电荷所产生,在计算介质,2,中的电位时，用置于介质,1,中的镜像电荷 来代替分界面上的极化电荷，整个空间看成是介质,2,根据镜像法思想，在计算介质,1,中的电场时，用置于介质,2,中的镜像电荷 来代替表面极化电荷，并把整个空间看成是均匀介质,1,。,介质,1,中任意点,P,的电势为：,介质,2,中任意点,P,的电势为：,所设置的镜像电荷 和 的值，由介质分界面的边界条件给定,在介质分界平面 处，电位应该满足：,将电势的表达式代入，得：,由此解得镜像电荷为：,电势及电场的解，可以依电荷量而写出。,2.,线电流对磁介质分界平面的镜像,与静电问题类似，当线电流位于两种不同磁介质分界平面附近时，也可用镜像法求解磁场分布问题,如图所示，磁导率分别为 和 的两种均匀磁介质的分界面是无限大平面，在介质,1,中有一根无限长直线电流 平行于分界平面，且与分界平面相距 。,磁介质被磁化，在不同磁介质的分界面上有磁化电流分布，这样空间中的磁场由线电流 和磁化电流共同产生,依据镜像法的基本思想，在计算磁介质,1,中的磁场时，用置于介质,2,中的镜像线电流 来代替分界面上的磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率为 的均匀介质；在计算磁介质,2,中的磁场时，用置于介质,1,中的镜像线电流 来代替分界面上的磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率为 的均匀介质,因为假定电流沿,y,轴流动，所以矢量磁位只有,y,分量，即,则磁介质,1,和磁介质,2,中任意一点 的矢量磁位分别为：,关于上式几个参考电位点的选取，鉴于本问题的特殊性，可以选取为同一个值，比如 ，例如，,z=0,就是一个选取，它离两个源的距离相等,在磁介质分界平面 处，矢量磁位应满足边界条件：,因为,A,只有,y,分量，并且与,y,无关，则：,关于第二个边界条件：,再回到问题中来：代入边界条件,法向分量在,z,方向上，则只有,A,旋度的,x,分量才有作用,(,点乘,),镜像电流给出后，相关表达式可以由此解出。,由此解得镜像电流为：,例：空气中有一根通有电流 的直导线平行于铁板平面，与铁表面距离为 ，如图示，求空气中任意一点的磁场,根据镜像法的基本思想，原场问题可以用直线电流 和它的镜像电流 来求得。并且根据公式，,说明磁感应线垂直于铁板平面。,解：设铁板的磁导率 ，则铁板内磁场 。由边界条件,需要注意的是，平面并不是等矢位面,其中：,3.6,分离变量法,分离变量法是求解边值问题的一种经典的方法，其基本思想是：把待求的位函数表示为几个未知函数的乘积，其中每一个未知函数仅是一个坐标变量的函数，代入偏微分方程进行变量分离，将原偏微分方程分离为几个常微分方程，然后分别求解这些常微分方程并利用边界条件确定其中的待定常数，从而得到位函数的解。,惟一性定理保证了这种方法求出解是惟一的,3.6.1,直角坐标系中的分离变量法,将 表示为两个一维函数 和 的乘积，即：,设位函数 只是 的函数，而沿 坐标方向没有变化，则拉普拉斯方程为：,1.,将 除上式各项，得：,将其代入拉普拉斯方程：,由此得：,上式中，左端仅为,x,的函数，而右端仅为,y,的函数，而对,x,、,y,之任意值，它们是恒等的。所以，式中每一项要为常数。将此常数写为 ，即：,k,被称为分离常数。当 时，解为：,当,k,不为零时，其解为：,于是：,当求解边值问题时，为了满足给定的边界条件，分离常数,k,通常取一系列特定的值,对于线性方程，通解为：,若将常数 换成 ，则得到另一形式的通解：,通解中分离常数的选取以及待定常数均由给定的边界条件确定,例,3.6.1,横截面为矩形的无限长接地金属导体槽，上部有电位为 的金属盖板；导体槽的侧壁与盖板间有非常小的间隙以保证相互绝缘，如图示。试求此导体槽内的电位分布,解：因槽在,z,方向为无限长，所以槽内电位函数满足直角坐标系中的二维拉普拉斯方程，电位函数必然满足的边界条件是：,因为在 和 处电势为零，故应该选择,x,方向为正弦函数的形式的解。,由 得：,为使此式在区间所有的点都满足，则需要：,由 ，,因此表达变为：,但 不能为零，否则解为平凡解，故：,由 ，,为此，需要：,利用条件,由 ，,解成为：,因此，,由 ，,补充一下双曲函数,马上可以知道，,将最后一个条件 代入,至此，解变为：,观察可知，此式颇似傅里叶级数,式中的 按下式计算：,将 在区间 上展开为傅里叶级数，,因此，最终解为,:,比较可得：,1.,例,3.6.1,式中的 按下式计算：,因此，最终解为,:,比较可得：,观察可知，此式颇似傅里叶级数,作业：,pp 32 1.23,1.25,pp 84 2.12,2.16,pp 167 3.13,pp 4.11,pp 226 5.22,pp 255 6.6,pp 307 7.5,