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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,山西农业大学文理学院物理系,武秀荣 编,第二章 刚体的转动,第二章 刚体的转动,基本要求：,1,掌握角位移、角速度、角加速度等概念的物理意义及角量与线量关系；,2,掌握转动定律，理解转动惯量的物理意义；,3,掌握角动量，冲量矩的概念及角动量原理和角动量守恒定律；,4,理解力矩的功和转动动能的概念，会用转动动能定理（定轴）计算。,注：,研究对象由质点变为刚体，运动由平动,转动，学习时可用,类比法,。,特征：,质点组（系统）内任两质点间距离在运动中恒不变（刚体）,故可在质点力学（牛顿运动定律）的基础上推出刚体转动的规律。,一、基本概念,刚体：,物体运动时，形状大小不会改变的物体（受力、静止、运动时）,研究内容：,物体（刚体）的转动（略振动）,基本方法：,以质点力学为基础,将刚体看成由无数个细微部分（质点）构成的质点组（系统）,21,刚体的平动和转动（运动学）,显然刚体在平动时，在任意时间内，位移、速度、加速度对于,刚体上各点来说都是相等的，故刚体可简化为,质点。,1,定义：若连接刚体上任意两点的直线在运动中恒不改变向。,例：火车在直线轨道上行驶,升降机运动均为平动。,b,c,a,b,刚体的平动过程,一、刚体的平动,第二章 刚体的转动,如电机的转子，车轮、砂轮、门、窗的转动。轴上点不动，其它点绕周做圆周运动。,二、刚体绕定轴转动,1,定义：,刚体上各质点在运动中都绕同一（不动）直线作圆周运动，这种运动称刚体的,转动，这一直线称为刚体的,转轴,，如地球自转。,若转轴在所选参考系中位置、方向固定不变，称为,定轴转动,。,2,特征和描述方法,特征：,刚体是作为一整体转动的（除转轴外），其上每一点的半径在同一时间内转过同样大的角度，故在刚体上任取一点,P,，考虑,P,对转轴上对应点的运动（圆周运动）,即可代表刚体的转动规律。,描述：,在刚体上任取一质点,P,，过,P,点作一垂直于定轴的平面，称为,转动平面,，,O,为轴与平面交点，刚体转动时，,P,点在转动平面内绕,O,点作,圆周运动，,故用,角量描述方便。,t,内：,P,点具有,、,、,，其它各点都在各自转动平面内作圆周运动，且,、,、,与,P,点对应的,、,、,相等（整体运动）,x,P,转动平面,转轴,O,P,点,在,t,内的,、,、,即可代替刚体转动的,、,、,，这样刚体的转动就变成刚体上任一点,P,在其它的转动平面内绕轴的圆周运动了，有关公式可利用,（,从上,下俯视,）,z,注：,刚体上各质点的位移、速度，加速度不一定相等，（半径不同）。,3,角速度矢量,（为充分反映刚体转动情况，常用矢量表示角速度,）,o,例题,1,一飞轮转速,n,=1500r/min,，,受到制动后均匀地减速，经,t,=50s,后静止。,（,1,）求角加速度,和飞轮从制动开始到静止所转过的转数,N,；,（,2,）,求制动开始后,t,=25s,时飞轮的加速度,；,（,3,）设飞轮的半径,r,=1m,，求 在,t=25s,时边缘上一点的速度和加速度。,解,三、举例,0,O,（,1,）,设初角度,为,0,方向如图所示，量值为,0,=21500/60=50,rad/s,，,对于匀变速转动，可以应用以角量表示的运动方程，在,t,=50S,时刻,=0,，代入方程,=,0,+t,得,从开始制动到静止，飞轮的角位移,及转数,N,分别为,（,2,）,t,=25s,时飞轮的角速度为,的方向与,0,相同；,（,3,）,t,=25s,时飞轮边缘上一点,P,的速度。,的方向垂直于,和 构成的平面，如图所示相应的切向加速度和向心加速度分别为,由,边缘上该点的加速度,其中,的方向与 的方向相反，,的方向指向轴心，的大小为,的方向几乎和,相同,。,0,O,P,例题,2,一飞轮在时间,t,内转过角度,at+bt,3,-ct,4,式中,a,、,b,、,c,都是常量。求它的,角速度、,角加速度。,解：,飞轮上某点角位置可用,表示为 ,at+bt,3,-ct,4,将此式对,t,求导数，即得飞轮角速度的表达式为,角加速度是角速度,对,t,的导数，因此得,由此可见飞轮作的是,变加速转动,。,开门窗的常识告诉我们，使刚体转动，产生角加速度的大小，不仅与力有关，且与力的作用点有关，于是引入力矩概念。,二、定轴转动动力学,一、,刚体平动动力学,（相当于一质点，质点质量为刚体的质量）。,2,2,刚 体 动 力学,O,作用点矢径为,。,力矩单位：牛顿,米（,Nm,）。,，,且,在转动平面内,刚体受外力,1.,力矩,(,对转轴,),O,r,P,*,讨论：,（,1,）,外力不在转动平面内时，可将,分解为,、,，,使物体转动，,理解为在作用点转动平面内的分力,（,2,）在定轴转动中，当规定了转动正方向时，就可用正、负表示力矩的方向，（沿轴线一维）。,（,3,）有几个外力同时作用在刚体上时，产生的力矩可等效为一个力矩，这个力矩称为合力矩。,即，,（平行四边形法则）,在定轴转动中，规定正方向后，方向可用正、负表示。故,合力矩等于各个力矩的代数和。,O,F,r,F,1,F,2,p,2.,刚体定轴转动定律,应用牛顿第二定律，可得：,对,刚体中任一质量元,-,外力,-,内力,O,O,采用自然坐标系，上式切向分量式为,：,P,o,用 乘以上式左右两端：,设刚体由,N,个点构成，对每个质点可写出上述类似方程，将,N,个方程左右相加，得：,故,由于,上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以,M,表示；右端求和括号内的量与转动状态无关，称为刚体转动惯量，以,J,表示。于是,刚体定轴转动定律,与牛顿第二定律相比，,J,与,m,相当，,是描写物体转动惯性大小的物理量（对给定轴），称做,转动惯量,J,，,其大小与刚体的质量、质量分布、转轴位置有关（见例题）。其计算,表达式,为,为,到转轴的距离，质量连续分布时,V,质量分布的区域，,dV,体积元，,dV,处的密度。,单位：,千克,米,2,（,kg,m,2,）。,（质量不连续分布）,讨论,:,都是对同一固定轴而言，单位采用,SI,单位制,.,M,（合外力矩 ）一定，,(2,）力矩的瞬时作用规律，,M,、,同时存在,同时消失，,M,是使刚体转动状态变化的根源。,（,3,）,解题步骤：,（与质点动力学类同）,a.,确定对象选坐标；,b.,分析受力和力矩；（正负、方向）,c.,运用定律列方程；（牛二律、转动定律、,角量与线量的关系,）,d.,求解方程得结果。（单位统一）,注意：质点平动和转动关系。,转动定律：,刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度和它所受的合外力矩成正比，和它的转动惯量成反比。,质元的质量,质元到转轴的距离,质量连续分布时,3.,转动惯量的计算,例题,1,求质量为,m,、,长,为,l,的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量：,（,1,）转轴通过棒的中心并和棒垂直；,（,2,）转轴通过棒的一端并和棒垂直,；,（,3,）,转轴通过棒上距中心为,h,的一点并和棒垂直。,O,x,d,x,l,A,B,x,d,x,l,x,x,O,解,（,1,）,如图示，选坐标,ox,在棒上离轴,x,处，取一质元,d,m,=,d,x,；,d,J,=,x,2,d,x,；,（,=,m/l,）,（线分布）,（面分布）,（体分布）,选坐标取质元,;,分析质元写,d,J,;,积分,d,J,算结果。,（,2,）转轴通过棒的一端,A,和棒垂直时，,A,（,3,）转轴过棒上距中心为,h,的点和棒垂直时，,平行轴定理,O,d,x,h,l,x,x,O,上述例题表明，,同一刚体转动惯量与转轴的位置有关。,例题,2,求质量为,m,，密度均匀,半径为,R,的细圆环和圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量。,(2),设圆盘的质量面密度为,，在圆盘上取,一,半径为,r,、宽度为,dr,的环带（如图），环的,面积,dS,=2,rdr,，,环的质量,d,m,=,2,rdr,。,可得,R,O,R,O,解,(1),细圆环上任意处到中心转的距离,都等于,R,所以,r,d,r,R,O,r,表明，,转动惯量与质量分布有关。,例题,3,一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为,m,1,和,m,2,的物体,1,和,2,，,m,1,m,2,如图所示。设滑轮的质量为,m,，,半径为,r,，,所受的摩擦阻力矩为,M,r,。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。,m,1,m,2,a,b,a,T,2,T,1,T,1,T,2,G,2,G,1,a,m,1,m,2,b,r,Mr,列出方程,解,:,滑轮具有一定的转动惯量。在转动中受到阻力矩的作用，两边的张力不再相等。研究对象：滑轮、,m,1,、,m,2,；,隔离物体,分析受力、力矩；,Mr,的指向如图所示。,可解得,式中,当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令,m,=0,、,M,=0,时，有,上,题,中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量重力加速度,g,的简单装置。因为在已知,m,1,、,m,2,、,r,和,J,的情况下，能通过实验测出物体,1,和,2,的加速度,a,，,再通过加速度把,g,算出来。在实验中可使两物体的,m,1,和,m,2,相近，从而使它们的加速度,a,和,速度,v,都较小，这样就能角精确地测出,a,来。,