函数的升降凸性与极值.ppt

*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、函数的单调性,o,o,a,b,a,b,从导数的几何意义考察函数的单调性：,3.,函数的升降、凸性与极值,Th.,1,（,导数的正负与函数升降的关系,）,证明：由极限保号性、中值定理可证,.,Corollary,（,严格单调的充分条件,）若,f,(,x,),在,a,b,连,续，在,(,a,b,),可导，且 不变号，则,注,1.,Th,.1,表明，讨论可导函数的单调性，只须判别,其导数的符号即可，其步骤是,:,确定 的定义域；,求 ，令 求出分界点；,用分界点将定义域分成若干个开区间；,判别 在每个开区间内的符号，即可,确定 的严格单调性（严格单调区间）,.,例,1.,讨论 的上升、下降情况,.,解：,该函数的定义域是,R.,由,它们将,R,分成三个区间：,x,y,+,+,y,例,2.,解：定义域是,R,.,由,现列表讨论如下：,x,y,+,+,+,y,Th,.2,（,不等式定理,）若,f,(,x,),与,g,(,x,),满足条件：,(1),在,a,b,上可导,;,注,2.,利用函数的升降性及其导数之间的关系来证明不等式,y,x,M,o,a,x,b,Th,.2,若,F,(,x,),满足,证明：,例,3.,证明,证明：,从而得证,.,例,4.,证明：,例,5.,证明方程,证明：,二、函数的极大值与极小值,1.,Def,（,局部极值,）,o,a,b,x,y,注,3.,函数的极值的局部性,.,定义中可以有,结论,o,x,y,y=,2,x,y=x,Th.3,（极值的必要条件）,由此求出可能使,f,(,x,),取极值的点之后，如何判定,它是取极大值还是极小值呢？,图示可见,由导数符号,可判定极大极小值点,.,x,y,o,y,x,o,Th.,4,（极值判别法之一）,x,取局部极小值,取局部极大值,不取局部极值,不取局部极值,证明：,由函数的升降性及极值定义得到,.,列表如下,：,注,4.,Th,.5,（极值判别法之二）,证明：,由二阶导数定义及极限保号性、,Th,4,得证,.,Th.5,(1),(2),定理,5,是定理,5,的特殊情形,.,证明：,根据,Taylor,公式,有,例,6.,解：,现列表讨论如下：,x,0,y,+,不存在,0,+,y,例,7.,解：,例,8.,解：,三、函数的最大值和最小值,如何求出函数在某区间上的最大值和最小值？,y,x,a,O,b,注,1,：,函数在某一区间上的最大值和最小值,也叫全局极值,.,可导函数在,a,b,上的最大、最小值的求解步骤：,注,2,：,例,9.,解：,所以函数的最大值是,0,最小值是,2.,例,10.,某生产队要建造一个体积为,50,立方米的有盖圆柱形氨水池,.,问这个氨水池的高和底半径取多大时，用料最省？,解：,用料最省就是要求氨水池的表面积最小,.,设氨水池的底半径是,r,高是,h,它,的表面积,h,r,O,用,V,50,立方米代入，得到,答：当圆柱形氨水池的高和直径相等时，用料最省。,四、函数的凸性,是描述函数性状的一个更深入的概念,.,例如：,y,x,o,上凸,下凸,几何角度：,x,y,o,x,y,o,1.,Def,（函数的凸性）,注：,函数的凹凸性，下凸即是上凹,.,2.,函数的凸性与其导数的关系,Th,.6,证明,：,由,Lagrange,公式，得：,In fact,其中，,由得 上凸，故 下凸,.,Def,:,若曲线 在其上一点 的,一侧为上凸，另一侧为下凸，则称此点为曲线,的,拐点,.,x,y,o,y,=,f,(,x,),注：,y,x,o,求 ；,令 ，求解，并划分,f,(,x,),的定义域为若干,个开区间,.,判别 在每个开区间的符号,.,设,列表讨论如下：,3.,讨论,f,(,x,),的凸性及拐点的步骤,x,（上凸）,0,（下凸）,是拐点,（下凸）,0,（上凸）,是拐点,（下凸）,0,（下凸）,不 是,（上凸）,0,（上凸）,拐 点,注：对 不存在的点亦可类似讨论,.,例,1.,讨论,的凸性及拐点,.,解：,x,y,o,1,x,0,0,不存在,y,上凸,拐点,下凸,非拐点,下凸,例,2.,解：,其定义域是,R,.,由,x,y,o,1,1,-1,-1,x,1,0,0,y,极小值,1,极大值,1,又,列表如下：,x,0,0,0,0,上凸,拐点,下凸,拐点,上凸,拐点,下凸,x,0,1,0,0,0,0,0,上凸,拐点,下凸,极小,下凸,拐点,上凸,极大,上凸,拐点,下凸,统一列表如下,:,4.,曲线的渐近线,x,y,o,双曲线,的渐近线,如何求之？,曲线的渐近线有两种：,垂直渐近线；,斜渐近线,（包括水平渐近线）,y,x,o,P,K,M,Def,:,当曲线,C,上动点,M,沿着曲线,C,无限远移时，若动点,M,到,某直线,l,的距离无限趋于零，则称直线,l,是曲线,C,的渐近线,.,(1),垂直渐近线,例如：,斜渐近线,如何求出渐近线 呢？,因 是常数，故,Prop,:,直线 是曲线 的斜渐近线,a,与,b,由与式分别确定,.,因此得,从而,由得,特别，当,a=0,时，就是,水平渐近线,.,即：,直线 是水平渐近线,例,3.,解：,由于,故,x,=1,为,f,(,x,),的垂直渐近线,.,又,故,故 是渐近线,.,例,4.,求双曲线 的渐近线,.,解：,因函数在,例,5.,利用函数特性描绘函数图形,一般步骤：,5.,函数的图形,(1),确定函数 的定义域,讨论函数的奇偶性、,对称性、周期性等性态,;,(2),求出使 不存在的点,把函数的定义域划分成几个部分区间,;,(3),根据 的符号,确定函数的上升或下降区间,图形的上凸或下凸区间,以及极值和拐点,;,可,列表讨论,;,(4),确定函数图形的水平、垂直渐近线、斜渐近线,;,(5),描点作图,.,描出极值点、拐点,曲线与坐标轴的交点,.,例,12.,解：,(3),列表讨论如下：,表,1.,函数的上升、下降和极值,.,表,2.,函数的上凸、下凸和拐点,.,x,0,(0,1),1,y,不存在,0,y,无定义,极小值,0,x,0,y,不存在,0,y,下凸,无定义,下凸,拐点,上凸,表,3.,统一列表,x,0,1,y,不存在,0,不存在,0,y,下凸,无定义,下凸,极小值,0,下凸,拐点,上凸,(5),曲线与坐标轴的交点为,(1,0),.,作图如下：,y,x,0.5,1,1.5,2,1,A,C,B,y,=1,渐近线,O,Matlab,程序,例,13.,解：,（,3,）,列表讨论如下：,2,1,0,0,不存在,0,不存在,极大值 ,4,极小值,0,上 凸,下 凸,无,定,义,又因为,(5),曲线与坐标轴交于原点,作图如下：,y,x,-2,-1,O,-1,-2,-3,-4,Matlab,程序,注意最值与极值的区别,.,最值是整体概念而极值是局部概念,.,实际问题求最值的步骤,.,五、小结,函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察,.,最大值,最小值,极大值,极小值,拐点,凹的,凸的,单增,单减,单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用,.,定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立,.,应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式,.,注意最值与极值的区别,.,最值是整体概念而极值是局部概念,.,实际问题求最值的步骤,.,极值是函数的局部性概念,:,极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值,.,驻点和不可导点统称为,临界点,.,函数的极值必在,临界点,取得,.,判别法,第一充分条件,;,第二充分条件,;,(,注意使用条件,),