第一章 复数及复平面.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第一章,复数及复平面,本章给出复数的定义,运算及其运算性质,.,也讨论复平面的有关拓扑的概念,.,第一节,复数及其几何表示,1.,复数域,定义,:,形如,x+,i,y,的数称为,复数,其中,x,y,R,i,为虚数单位,合于,i,2,=-1;x,y,分别称为,实部,和,虚部,分别记为,x=Re z,y=,Im,z,这里,z=,x+,i,y,.,两个复数,z,1,z,2,相等,当且仅当,Re z,1,=Re z,2,Im,z,1,=,Im,z,2,.,记作,z,1,=z,2,.,若,Im,z=0,则,z,为,实数,.,若,Im,z,0,则称,z,为,虚数,.,若,Im,z,0,Re z=0,则称,z,为,纯虚数,.,全体复数所成的集合称为,复数集,记做,C,.,而,R,是,C,的一个子集,.,对复数引进加,减,乘,除运算,这样在,C,上引进了,代数结构,则复数集成为,复数域,仍记之为,C,.,运算定义如下,:,设,a,1,a,2,;b,1,b,2,R,则定义,:,加法,(a,1,+,i,b,1,)+(a,2,+,i,b,2,)=(a,1,+a,2,)+,i,(b,1,+b,2,),减法,(a,1,+,i,b,1,)-(a,2,+,i,b,2,)=(a,1,-a,2,)+,i,(b,1,-b,2,),乘法,(a,1,+,i,b,1,),(a,2,+,i,b,2,),=(a,1,a,2,-b,1,b,2,)+,i,(a,1,b,2,+a,2,b,1,),除法,(a,2,+,i,b,2,0,),2.,复平面,复数,z=,x+,i,y,平面上点,(,x,y,),平面上以,0,为始点,(,x,y,),为终点的向量,.,R,2,上的点看作复数后称平面为,复平面,此时,横坐标轴及纵坐标轴分别称为,实轴,和,虚轴,.,当复数,z=,x+,i,y,与平面上以原点为始点,(,x,y,),为终点的向量相对应时,(,一一对应,),复数的加,减运算与平面上向量的加,减法法则一致,.,在一般情况下,不再区分复数与其对应的点和向量,.,7,在复平面上,复数,z,还与从原点指向点,z,=,x,+,iy,的平面向量一一对应,因此复数,z,也能用向量,OP,来表示,.,向量的长度称为复数,z,的,模，,记作,O,x,y,x,y,q,P,z,=,x,+,iy,|,z,|=,r,8,显然,对于模有下列各式成立：,O,x,y,x,y,q,P,z,=,x,+,iy,|,z,|=,r,9,在,z,0,的情况，即,P,点不是原点,，,以正实轴为始边,表示,z,的向量,OP,为终边的角的弧度,q,称为,z,的,幅角,记作,Arg,z,=,q,。,幅角的方向规定为：逆时针方向为正，顺时针方向为负。,这时,有,O,x,y,x,y,q,P,z,=,x,+,iy,|,z,|=,r,10,任何一个复数,z,0,有无穷多个幅角,如果,q,1,是其中的一个,则,Arg,z,=,q,1,+2,k,p,(,k,为任意整数,)(1.3),给出了,z,的全部幅角,在,z,(0),的幅角中,将满足,-,p,q,0,p,的,q,0,称为,Arg,z,的主值,记作,q,0,=,arg,z,O,x,y,x,y,q,P,z,=,x,+,iy,|,z,|=,r,向量,z=,x+,i,y,的长度称为复数,z,的,模,记做,|z|.,显然,实轴的正向与向量,z,之间的夹角,(z,0),称为,z,的,辐角,记作,显然,有无穷多个不同的值,记作,Arg,z=,+2k,k,Z,Arg,z,中的任一确定的值记作,arg,z,其中只有一个值,满足,-,称它为,z,的,辐角主值,.,归纳：,对复数,z(,0),有,Re z=|z|,cos,(,Arg,z),Im,z=|z|sin(,Arg,z),且,z=|z|(,cos,(,Arg,z)+,i,sin(,Arg,z),=r(,cos,+,i,sin,),称之为复数,z,的,三角表示,.,称复数,x-iy,为复数,x+iy,=z,的,共轭复数,记作,.,显然,共轭是相互的,.,性质,|z|=|,Arg,z=-,Arg,.,(,从集合的角度认识等式,),|z,1,+z,2,|,|z,1,|+|z,2,|(,两边之和大于第三边,).,|z,1,|-|z,2,|,|z,1,-z,2,|(,两边之差小于第三边,).,|Re z|,|z|,|,Im,z|,|z|,|z|,2,=x,2,+y,2,=z,14,由复数运算法则,两个复数,z,1,和,z,2,的加减法和相应的向量的加减法一致,.,O,x,y,z,1,z,2,z,1,+,z,2,成立不等式,|,z,1,+,z,2,|,|,z,1,|+|,z,2,|(,三角不等式,),15,减法,:,O,x,y,z,1,z,2,z,1,-,z,2,-,z,2,|,z,1,-,z,2,|,|,z,1,|,-,|,z,2,|,例,1,:,试用复数表示圆的方程,a(x,2,+y,2,)+,bx,+cy+d=0 (a 0),其中,a,b,c,d,是实常数,(,如果,a=0,b,及,c,不全为,0,则方程退化为直线方程）,积、商之模与辐角,|z1,z2|=|z1|,|z2|,Arg,(z1,z2)=,Arg,z1+,Arg,z2,注,:,关于辐角关系要从集合的角度来理解,.,例,3,:,设,z,1,z,2,是两个复数,求证,:,|z,1,+z,2,|,2,=|z,1,|,2,+|z,2,|,2,+2 Re(z,1,),并利用这一等式证明,:,|z,1,+z,2,|,|z,1,|+|z,2,|,例,4,:,作出过复平面,C,上不同两点,a,b,的直线以及过不共线三点,a,b,c,的圆的表示式,.,乘幂与方根,若,z=r,cos,+,i,sin ,则,z,n,=,r,n,(,cos,(n)+,i,sin(n),k=0,1,n-1.,例,5,.,求 的所有值,3.,复球面及无穷大,本小节讨论复数在复球面上的几何表示,.,利用,测地投影法,.,考虑球面,S:x,2,+y,2,+u,2,=1.,取球面上一点,N(0,0,1),称为,球极,.,作连接,N,与,x,y,平面上的点,A(x,y,0),的直线,此直线与球面交与点,A,(x,y,u,),称,A,为,A,在球面上的,球极射影,.,如此在复平面,C,与,S-N,之间建立双射,.,22,复球面,N,O,y,P,z,x,S,约定,:,在复平面上有一个理想的点,称之为,无穷远点,其球极射影为,N.,无穷远点以及,N,都看作非正常复数,无穷大,(,记作,).,集,C,称为,扩充复数集,(,记作,C,),复平面,C,称为,扩充复平面,仍记作,C,.,如此球面,S,与扩充复平面之间建立双射,此时,球面,S,称为,复球面,.,引进复球面即相应地对,C,引进了一种拓扑结构,.,关于无穷大,规定其运算如,P,10,.,24,关于,的四则运算作如下规定,:,加法,:,a,+=+,a,=(,a,),减法,:,a,-,=,-,a,=(,a,),乘法,:,a,=,a,=(,a,0),