概论 统计 栾 教材第2章.ppt

第二章 条件概率与独立性,条件概率与乘法公式,全概率公式与贝叶斯公式,事件的相互独立性,重复独立试验 二项概率公式,一、条件概率,条件概率也是概率,条件概率满足概率性质,说明：,对事件,A,、,B,，若,P(B)0,，,则称,为事件,A,在事件,B,发生下的条件概率。,2.1,条件概率与乘法公式,思考,：,利用条件概率的定义，推出,P(AB),与,P(A),的大小关系,。,1.,2.,3.,条件概率的性质,1,、非负性,2,、规范性,3,、可加性,对任一事件,B,，,必有,P(BA)0,计算条件概率,例：,一个家庭中有二个小孩，已知其中有一个是女孩，问这时另一个小孩也是女孩的概率为多大？（假定一个小孩是男还是女是等可能的。）,解：,样本空间,(,男，男,),，,(,男，女,),，,(,女，男,),，,(,女，女,),A,已知有一个是女孩,(,男，女,),，,(,女，男,),，,(,女，女,),B=,另一个也是女孩,(,女，女,),则,二、乘法公式,定理,1,：,类似地：,一般地：,证明；,例：,一批产品的次品率为，正品中一等品率为,75,，现从这批产品中任意取一件，试求恰好取到一等品的概率。,解,:,例,3,为安全起见，工厂同时装有两套报警系统,1,，,2,。已知每套系统单独使用时能正确报警的概率分别为,0.92,和,0.93,，又已知第一套系统失灵时第二套系统仍能正常工作的概率为,0.85,。试求该工厂在同时启用两套报警系统时，能正确报警的概率是多少？,设,A,为题设所求事件。显然,A,即是事件,报警系统,1,，,2,中至少有一套能正常工作,A,i,表示事件,第,i,套报警系统能正常工作,i=1,2,显然,A=A,1,A,2,解,例,4,对某种产品要依次进行三项破坏性试验。已知产品不能通过第一项试验的概率是,0.3,；通过第一项而通不过第二项试验的概率是,0.2,；通过了前两项试验却不能通过最后一项试验的概率是,0.1,。试求产品未能通过破坏性试验的概率？,设,A,为题设所求事件。,A,i,表示事件,产品未能通过第,i,项破坏性试验,i=1,2,3,显然,A=A,1,A,2,A,3,解,例,5,一批零件共,100,个，次品率为。每次从其中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得合格品的概率。,解：,例,6,一个人依次进行四次考试，他第一次考试及格的概率为,p(0p0 i=1,2,，n；,注意：,）,P(B,i,)0(i=1,2,n),条件哪里用到？,）没有此条件，行吗？,根据两两互斥事件的加法性质，得,证明：,定理可以推广到可列多个的情况,例,1,袋中有大小相同的,a,个黄球、,b,个白球。现做不放回地摸球两次，问第,2,次摸得黄球的概率,?,解,设,A,表示,“,第,2,次摸得黄球,”,B,1,=,第,1,次摸得的是黄球,B,2,=,第,1,次摸得的是白球,例,2,一商店出售的某型号的晶体管是甲、乙、丙三家工厂生产的，其中乙厂产品占总数的，另两家工厂的产品各占。已知甲、乙、丙各厂产品合格率分别为,0.9,、,0.8,、,0.7,，,试求随意取出一只晶体管是合格品的概率（此货合格率）。,设,晶体管产自甲厂，,晶体管产自乙厂，,晶体管产自丙厂，晶体管是合格品。,则,P(A,1,)=P(A,3,)=0.25 P(A,2,)=0.5,由全概率公式得：,解,：,例,3,设,甲袋中有,m-1,只白球和,1,只黑球，乙袋中有,m,只白球，每次从甲、乙两袋中分别取出一只球，经交换后放回袋中，求经,n,次交换后，黑球在甲袋中的概率，并讨论 时的情形,.,解,设经,k,次交换后，黑球在甲袋的概率为,p,k,。,经过,k-1,次交换后，黑球在甲袋中,，,再交换一次，黑球仍在甲袋的概率为 。,当经,k-1,次交换后，黑球不在甲袋中,，再交换一次，黑球在甲袋的概率为 。,于是，由全概率公式得,例,4,连续做某项试验，每次试验只有成功和失败两种结果,.,已知当第,k,次成功时，第,k+1,次成功的概率为,1/2,，当第,k,次试验失败时，第,k+1,次成功的概率为,3/4,，如果第一次试验成功和失败的概率均为,1/2,，求第,n,次试验成功的概率,.,解,贝叶斯公式,则,对任一具有正概率的事件,A,，,有,定理,(2)P(B,i,)0 i=1,2,，n；,设,B,1,，,B,2,，,，,B,n,是一组两两互斥的事件，且,证明：,定理可以推广到可列多个的情况。,例,1,（市场问题）某公司计划将一种无污染、无副作用的净化设备投放市场。公司市场部事先估计该产品畅销的概率是,0.5,，一般为,0.3,，滞销为,0.2,。为测试销路，公司决定进行试销，并设定了以下标准,:,若产品畅销，则在试销期内卖出,7000,10000,台产品的概率是,0.6;,若产品的销路一般，则在产品的试销期内卖出,7000,10000,台产品的概率是,0.9;,若产品滞销，则在试销期间能卖出,7000,10000,台产品的概率是,0.2,。若在试销期满后，实际卖出的产品是,9000,台。求该产品,（,1,）为销路一般的概率。,（,2,）为畅销品的概率。,（,3,）畅销或销路一般的概率。,解,设,A,1,=,该产品是畅销品,A,2,=,该产品的销路一般,A,3,=,该产品是滞销品,B=,试销期内能卖出该产品,7000,10000,台,P(A,1,)=0.5,，,P(A,2,)=0.3,，,P(A,3,)=0.2,P(B|A,1,)=0.6,，,P(B|A,2,)=0.9,，,P(B|A,3,)=0.2,解法二：,例,2,两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为,0.05,，第二台出现废品的概率为,0.02,，加工的零件混放在一起，若第一台车床与第二台车床加工的零件数为,5:4,。,求（）任意地从这些零件中取出一个合格品的概率；,（）若已知取出的一个零件为合格品，那么，它是由哪一台机床生产的可能性较大。,解：,（）,因此，第一台可能性较大,（,1,）,例,3,某实验室在器皿中繁殖成,k,个细菌的概率为,并设所繁殖的每个细菌为甲类菌或乙类菌的概率相等，求下列事件的概率：,（,1,）器皿中所繁殖的全部是甲类菌的概率。,（,2,）已知所繁殖的全部是甲类菌，求细菌个数为,2,的概率；,（,3,）求所繁殖的细菌中有,i,个甲类菌的概率。,解,事件,A,表示,繁殖的细菌全是甲类菌,，,B,k,表示,繁殖了,k,个细菌,，,k=1,2,A,i,表示,所繁殖的细菌中有,i,个甲类菌,，,i=1,2,（,1,）,由全概率公式有,（,2,）,（,3,）,由题意,根据全概率公式,2.3,、事件的相互独立性,定义,1,若两事件，满足,P(AB),P(A)P(B),，,则称事件、,(,或、,),相互独立。简称独立。,定义即使在,P(A)=0,或,P(B)=0,时，仍然适用。,必然事件及不可能事件与任何事件均是独立的。,由定义可得：,定理,如,P(A)0,，,则事件,A,与,B,独立,如,P(B)0,，,则事件,A,与,B,独立,证明,定理,若对事件，；，；，；，中有一对是相互独立的，则另外三对事件是相互独立的（即这四对事件或者都相互独立，或者都不相互独立）。,证明思路,：,我们首先证明下面四个命题：,（）由,A,，,B,事件相互独立，推出,A,，,事件相互独立；,（）由,A,，,事件相互独立，推出 ，,B,事件相互独立；,（）由 ，,B,事件相互独立，推出 ，事件相互独立；,（）由 ，事件相互独立，推出,A,，,B,事件相互独立；,四个命题成立，定理,5,结论成立。,证明：,(,),因为，事件相互独立，即,P(AB)=P(A)P(B),。,（）,（）,又,（）,所以，,A,、,B,事件相互独立。,例,1,甲、乙同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为,0.6,，乙击中敌机的概率为,0.5,，求敌机被击中的概率。,解：,记,事件的独立性概念可以推广到有限个事件的情形。,定义,设,A,1,，,A,2,，,，,A,n,是,n,个事件，若对所有可能的组合,1ijkn,成立着,则称,A,1,，,A,2,，,，,A,n,相互独立。,例,2,：,同时抛掷两个四面体，每个四面体的四个面分别标有,1,、,2,、,3,、,4,。定义事件,故,A,、,B,、,C,不相互独立。,定理,设,n,个事件,A,1,，,A,2,，,，,A,n,相互独立，那么，把其中任意,m(1mn),个事件相应换成它们的对立事件，则所得的,n,个事件仍然相互独立。,例,3,：设某型号的高射炮发射一发炮弹击中飞机的概率为,0.6,，现在用此型号的炮若干门同时各发射一发炮弹，问至少需要设置几门高射炮才能以不小于,0.99,的概率击中来犯的敌机（可以认为各门高射炮的射击相互独立）？,解：,设需要设置的高射炮数为,n,例,4,一个元件能正常工作的概率称为这个元件的可靠性；由元件组成的系统能正常工作的概率称为系统的可靠性。设构成系统的每个元件的可靠性均为,r(0r1),个元件按图及图所示的两种联接方式构成两个系统，试求它们的可靠性，并比较两个可靠性的大小。,A,1,A,2,A,n,B,1,B,2,B,n,图 系统,图 系统,A,1,A,2,B,1,B,2,A,n,B,n,解：,设,计算系统的可靠性：,它有两条通路，在每条通路中，当且仅当该通路上所有元件都能正常工作时，该条通路才能正常工作，因为系统由两条通路并联而成，因此，只要有一条通路能正常工作，则系统就能正常工作。,所求的系统的可靠性为：,因为各元件能否正常工作是相互独立的，得,则系统中每对并联元件所组成的子系统的可靠性为,下面计算系统的可靠性,：,系统是由,n,个子系统串联而成，所求系统的可靠性为：,注：,我们可以证明,R,2,R,1,当,0r1,时，,f(r)f(1)0,即,R,2,R,1,2.4,、重复独立试验 二项概率公式,做,n,个完全重复条件的试验，且满足两个条件：,(1),每次试验条件相同,。,因此各次试验中同一个事件出现概率相等；,(2),各次试验结果相互独立,；,满足这两个条件的,n,次重复试验，称为,n,重独立试验,。,n,重独立试验,如,n,重独立试验还满足：,每次试验只有两个结果,。,即只有两个可能事件与 ，且 。,则这,n,重独立试验又称为,n,重贝努利,(Bernoulli),试验，或称为贝努利概型,。,试验,2,疾病发生,某疾病的发生率为,0.001,。当卫生部门要对一个拥有,5000,名员工的单位估计此种疾病的发病情况时，需用,p,0.001,的,n,重,伯努利,试验模型，其中,n=5000,。,试验,1,电脑故障,某电脑公司售出,200,台电脑，公司在考虑售后服务维修人员的安排时需处理,P(A)=p,，,n=200,的,伯努利,试验问题。其中,p,是电脑故障率。,试验,3,产品抽样,在产品抽验中，如果采用不放回方式抽取,n,次（每次取一件产品），那么这,n,次试验就不是 重复独立试验（此时，每次试验条件不完全重复，每次抽取正品的概率也不相等）。,但是，如果采用放回抽样，即每次抽取检查后放回，这样所作的,n,次试验就是 重复独立试验。,在实际问题中，完全满足,n,重独立试验的两个条件是不多见的，常常是近似满足条件，此时，可用,n,重独立试验来近似处理。例如，仍然以抽样问题来讲，当,产品数量很大,时，相对来说，,抽取的产品件数,n,很小,，即使所作的是无放回抽取，我们可以近似地,当作有放回抽取,，近似地把它看成是,n,重独立试验（此时，每次试验出现正品的可能性相等）。,例,1,(,打靶问题,),某老练的射手打五发子弹，中靶概率为,0.8,，问,:,（,1,）他打中两发的概率,p,1,是多少,?,（,2,）打中的概率,p,2,是多少,?,解,设,A,i,=,第,i,次击中靶，,由于射手老练，可理解为他每次打中否，彼此不相互影响，为相互独立重复试验。,定理 （二项概率公式）,设一次试验中，事件出现的概率为,P(A)=p (0p1),，,则在,n,重伯努利试验中，事件出现的次数,的分布律为,也记作,b(k,；,n,，,p),证明,当,n,次试验中事件在指定的,k,次试验中出现（下式是前,k,次出现），在其余,n,k,次试验中不出现的概率为,再由试验结果的独立性得,由于,n,重贝努利试验中出现,k,次的方式：就是至,n,的,n,个自然数中取出,k,个数的一种组合，即共有 个事件。而这些事件是两两互斥的，故根据概率的可加性可得,注：,1),由于上式刚好是二项式,(p+q),n,的展开式中第,k+1,项的系数，故我们把它称为二项概率公式。,2),显然：,例,2,某车间有台车床，每台车床由于种种原因，时常需要停车，设各台车床的停车或开车是相互独立的，若每台车床在任意时刻处于停车状态的概率为,1/3,，求任意时刻车间里有台车床处于停车状态的概率。,解：,把任一时刻对一台车床的观察看成是一次试验，试验结果只有停车或开车两种可能，且各车床的停车或开车是相互独立的，故我们可用二项概率公式计算，所求概率为,解,把每个病人服此药当作一次试验，试验结果只有“治愈”或“未治愈”且是相互独立的，故可用贝努利概型计算，所求概率为：,例,3,设某种药物对某种疾病的治愈率为,0.8,，现有,10,个患这种病的病人同时服用此药，求其中至少有人被治愈的概率。,这个结果说明：,服用此药，人中至少有人被治愈的可能性是非常大的。反之，没有人以上被治愈的事很少被发生（概率为,0.03,）。如果我们做一次这样的试验，结果没有人以上被治愈，我们对此药的“治愈率”为,0.8,。小概率事件不可能在一次试验中发生的原理是假设检验的理论根据。,例,4,某车间有台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为千瓦，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动分钟，且各机床开动与否是相互独立的，若供电部门只提供千瓦的电力给这台机床，问这台机床能够正常工作的概率为多大？,解：,每台机床在同一时刻是否开动看成一次试验，,10,台机床在同一时刻开动的台数，可以看成,10,重贝努利概型，这里,n,10,，,p,12/60,0,.,2,，,q,0.8,。,10,台机床要正常工作，必须同一时刻开动的机床数不得超过,50/10=5,台，即,k5,。,故所求概率为：,作业：,3,、,6,、,12,、,15,、,20,作业评讲,4,、解：,5,、解：,6,、解：,(1),A=,点数之和为偶数,B=,点数之和等于,8,7,、解：,设,A,i,=,第,i,人破译出密码,i=1,2,3,8,、解：,13,、解：,A=,产品为正品,B=,产品经检验为正品,15,、解：,A=,被诊断患有肺癌,B=,确实患有肺癌,18,、解：,A=,出现正面,B,i,=,是第,i,个硬币,20,、解：,A,i,=,第,i,件产品，经检验为正品,B,i,=,第,i,件产品是正品,C=,这批元件能出厂,显然,P(C)=P(A,1,A,2,A,3,)=P(A,1,)P(A,2,)P(A,3,),21,、解：,A,i,=,产品来自第,i,箱,B=,产品是合格品,C=,产品经检验为合格品,