第6章中值定理、导数应用.ppt

前页,结束,后页,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,6,.1,中值定理,6,.2,洛必达法则,6,.3,函数的单调性与极值,6,.4,泰勒公式,结束,第,6,章 中值定理、导数应用,定理,1,设函数 满足下列条件,(3),(1),在闭区间 上连续；,(2),在开区间 内可导,;,则在内至少存在一点 ，,6.1.1,罗尔定理,a,b,使得,几何解释如图,在直角坐标系,Oxy,中,曲线 两端点的连线 平行于 轴,其斜率为零,故在曲线弧上定有一点,使曲线在该点的切线平行于弦 ，即平行于 轴。,即,则在区间 内至少存在,(1),在闭区间 上连续；,(2),在开区间 内可导；,定理,2,设函数 满足下列条件,一点 ，,使得,6.1.2,拉格朗日中值定理,曲线 处处有不垂直于 轴的切线,如图 在直角坐标系,Oxy,端点连线,AB,的斜率为,所以定理实际是说存在点 ，使曲线在该点的切线,T,平行于弦,AB,。,即,2.,在开区间 内可导，,1.,在闭区间 上连续；,定理,3 Cauchy,中值定理,则在区间 内定有点,使得,6.1.3,柯西中值定理,设函数 与 满足如下条件：,Rolle,定理是,Lagrange,定理的特例,:,在,Lagrange,中值定理中如果,则,Lagrange,中值定理变成,Rolle,定理；,Cauchy,定量是,Lagrange,定理的推广,在,Cauchy,中值定理中如果 ，,则,Cauchy,化为,Lagrange,中值定理。,三个中值定理的关系,如果在某极限过程下,函数,f,(,x,),与,g,(,x,),同时趋于零或者同时趋于无穷大，通常把 的极限称为未定式的极限，洛必达法则就是解决这类极限的工具。,一般分为三种类型讨论：,6.2,洛必达法则,1,型不定式,2,型不定式,3,其它型不定式,定理,1,设函数与在的某空心邻域内有定义，且满足如下条件：,存在,或为,1,型未定式,（为任意实数）,例,1,求,解,例,2,求,解,例,3,求,解,此定理的结论对于 时 型未定式同样适用。,例,4,求,解,2,型不定式,的某空心邻域内有定义，且满足如下条件,与,在该邻域内都存在，且,则,定理,2,设函数,与,在点,例,5,求,解,:,定理,2,的结论对于 时的 型未定式的极限问题同样适用。,例,6,求,解,则可继续使用洛必达法则。即有,能满足定理中,与,应满足的条件，,与,还是 型未定式，且,如果,如果反复使用洛必达法则也无法确定,则洛必达法则失效,.,此时需用别的办法判断未定式,的极限。,或能断定,的极限，,无极限，,例,7,求,解,这个问题是属于,型未定式，,但分子分母分别,求导后得,此式振荡无极限，故洛必达法则失效，不能使用。,但原极限是存在的，可用下法求得,3,其它型不定式,未定式除,和,型外，还有,型,、,型,、,等五种类型。,型,、,型,、,型,、,型或者 型,型：,变为,例,8,求,解,型,:,通分相减变为 型,例,9,求,（型）,解,型未定式,:,由于它们是来源于幂指函数 的极限,因此通常可用取对数的方法或利用,即可化为,型未定式，再化为 型或 型求解。,例,10,求,解,所以,例,11,求,解 设,所以,（型）,例,12,求,（,型,）,所以,解,6.3,函数的单调性与极值,定理,1,设函数,f,(,x,),在闭区间,a,b,上连续，在开区,间,(,a,b,),内可导，则：,1.,若在,(,a,b,),内,则,f,(,x,),在区间,(,a,b,),内单调增加,2.,若在,(,a,b,),内,则,f,(,x,),在区间,(,a,b,),内单调减少。,a,b,a,b,6.3.1,函数的单调性及判别法,例,2,确定函数 的单调区间,.,可导，且等号只在,x,=,0,成立,.,解,因为所给函数在区间 上连续，在 内,例,1,判定函数 在区间 上的单调性,.,所以,函数 在区间 上单调增加,.,解,所以当,x,=-1,x,=1,时,x,(-,-1),-1,(-1,1),1,(1,+,),f,(,x,),+,0,-,0,+,f,(,x,),反之，如果对此邻域内任一点 ，恒有,则称 为函数 的一个极小值，,称为极小值点。,6.3.2,函数的极值,定义,设函数 在点 的某邻域内有定义，若对此邻域内每一点 ，恒有 ，则称 是函数 的一个极大值，称为函数 的一个极大值点；,函数的极大值极小值统称为极值，极大值点极小值点统称为极值点。,A,B,C,D,E,极值是局部的，只是与邻近点相比较而言。并非在整个区间上的最大最小。极大值点与极小值点也不是唯一的。如下图中,A,、,B,、,C,、,D,、,E,都是极值点。,从图中可看出,极小值不一定小于极大值，如图中,D,点是极小值，,A,点是极大值。,定理,3,（极值第一判别法）：,设函数 在点 的某邻域内连续，且在此邻域内（可除外）可导,（,1,）如果当 时 ，而当 时，,则 在 取得极大值。,（,）,如图所示：,在 ，,在 ，,在 取得极大值。,（,2,）如果当 时 ，而当 时，,则 在 取得极小值。,（,）,如图所示：,在 ，,在 ，,在 取得极小值。,（,3,）如果在 两侧,的符号不变，则 不是,的极值点，如图示,（,）,(4),利用定理,3,判断,(2),中的点是否为极值点,如果是,求极值点的步骤：,(1),求函数的定义域,(,有时是给定的区间,);,(3),用,(2),中的点将定义域,(,或区间,),分成若干个子区间,进一步判定是极大值点还是极小值点,.,(2),求出,求出使 的点及 不存在的点,;,讨论在每个区间 的符号,;,(5),求出各极值点处的函数值,得函数的全部极值,.,例,4,求函数 的单调区间和极值,.,解 函数的定义域为,令,得驻点,这三个点将定义域,分成四个部分区间，列表如下,极大值,极小值,令 得,由于,定理,4(,极值的第二判别法,),设函数 在点 处具有,二阶导数，且 ，；,（,1,）,若 ，则 是函数 的极小值点；,（,2,）若 ，则 是函数 的极大值点；,例,5,求函数 的极值,.,解 函数的定义域为,所以 为极大值,为极小值,.,6.3.3,函数的最大值与最小值,是函数在所考察的区间上全部函数值中最大者和最小者,最小的就是函数在区间,上的最小值。,连续函数在区间,上的最大值与最小值可通过比较,端点处的函数值 和,;,1.,区间,2.,区间,内使的点处的函数值；,内使 不存在的点处的函数值。,3.,区间,这些值中最大的就是函数在,上的最大值,上的最大值与最小值是全局性的概念,函数在区间,如下几类点的函数值得到：,上的最大值和最小值。,在驻点处函数值分别为,在端点的函数值为,最大值为,最小值为,解,令,，得驻点,例,6,求函数,在区间,比较上述,5,个点的函数值，即可得 在区间,上的,M,1,x,y,o,M,2,M,1,x,y,o,M,2,3.4.1,曲线的凹凸与拐点,定义,1,：如果在某区间内，曲线弧总是位于其切线的上方，则称曲线在这个区间上是凸的。,如图所示,6.4,函数图形的描绘,如果曲线弧总是位于其切线的下方，则称曲线在这个区间上是凹的。如下图：,当曲线为凸时，曲线 的切线斜率 随着 的增加而增加，即 是增函数；反之，当曲线为凹时，曲线 的切线斜率 随着 的增加而减少，即 是减函数。,M,1,x,M,2,y,o,M,1,x,y,o,M,2,定理,1,设函数 在区间 内具有二阶导数,（,1,）如果,时，恒有 ，则曲线,在 内为凸的；,（,2,）如果,时，恒有 ，则曲线,在 内为凹的。,定义,2,曲线上凹与凸的部分的分界点称为曲线的拐点。拐点既然是凹与凸的分界点，所以在拐点的某邻域内 必然异号，因而在拐点处 或 不存在。,例,1,求曲线 的凹凸区间与拐点。,解,令 ，得 ，,列表如下,有拐点,有拐点,可见,曲线在区间 内为凸的，在区间 内为凹的，曲线的拐点是 和,.,如果函数 在 的某邻域内连续，当在点 的二阶导数不存在时，如果在点 某空心邻域内二阶导数存在且在 的两侧符号相反，则点 是拐点；如果两侧二阶导数符号相同，则点 不是拐点,.,综上所述，判定曲线的凹凸与拐点的步骤可归纳如下：,（,1,）求一阶及二阶导数 ，；,（,2,）求出 及 不存在的点；,（,3,）以（,2,）中找出的全部点，把函数的定义域分成若干部分区间，列表考察 在各区间的符号，从而可判定曲线在各部分区间的凹凸与拐点。,例,2,求曲线 的凹凸区间与拐点。,解,函数的定义域为,当 时，,，故以 将定,义域分成三个区间，列表如下：,+,0,0,+,有 拐 点,有拐点,在 处，曲线上对应的点 与,为拐点。,泰勒,(Taylor),中值定理,泰勒,(Taylor),中值定理,x,0,的某个开区间,(a,b),内具有直到,(n+1),阶的导数,则当,x,在,(a,b),内时,f(x),可以表示为,(x-x,0,),的一个,n,次多项式与一个余项,R,n,(x,),之和,:,如果函数,f(x),在含有,其中,(4),注,3,：当,n,=0,时,泰勒公式即为拉格朗日中值定理,.,泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广,.,麦克劳林,(,Maclaurin,),公式,:,除了上面,5,个公式外，还有下面常用的公式,.,