第七章 线性变换.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性变换,第七章 线性变换,线性变换,1 线性变换的定义,1 线性变换的定义,一、线性变换的定义,定义1,设,V,与,W,是数域,P,上的线性空间，,A,是,V,到,W,的一个映射，,如果下列,两个条件满足，则称,A,是,V,到,W,的一个,线性映射,：,特别：当,W,=,V,时，,A,称为线性空间,V,的一个,线性变换,。,(1),(2),线性变换,1 线性变换的定义,例1,判断下列所定义的变换,A,是否为线性变换。,(1)在线性空间,V,中，,A,x,=,x+a,，,a,为,V,中一固定向量；,(2)在线性空间,V,中，,A,x,=,a,，,a,为V中一固定向量；,(3)在,P,x,中，,A,f,(,x,),=,f,(,x,+1)；,(4)在,P,x,中，,A,f,(,x,),=,f,(,x,0,)，,x,0,为,P,中一固定数；,例2,在,P,3,中，下面定义的变换,A,是否为线性变换。,(1),(2),(3),(4),线性变换,1 线性变换的定义,二、线性变换的性质,性质1,设,A,是,V,的线性变换，则,性质2,线性变换保持线性组合与线性关系式不变。,性质3,线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。,注意：,线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的,向量组。,性变换。,证明：,例3,设,是线性空间,V,的一组向量，,A,是,V,的一个线,线性变换,2 线性变换的运算,2 线性变换的运算,一、线性变换的加法和数量乘法,定义1,设,A,，,B,L,(,V,)，对,A,与,B,的,和,A,+,B,定义为：,结论1,对,A,，,B,L,(,V,)，有,A,+,B,L,(,V,)。,线性变换的加法满足以下运算规律：,(1),A,+(,B,+,C,)=(,A,+,B,)+,C,(2),A,+,B,=,B,+,A,线性变换,2 线性变换的运算,定义2,设,A,L,(,V,)，,k,P,，对,k,与,A,的,数量乘积,k,A,定义为：,结论2,对,A,L,(,V,)，,k,P,有,k,A,L,(,V,)。,线性变换的数量乘法满足以下运算规律：,(1)(,kl,),A,=,k,(,l,A,),(2)(,k+l,),A,=,k,A,+,l,A,(3),k,(,A,+,B,),=,k,A,+,k,B,(4)1,A,=,A,结论3,设,V,是数域,P,上的线性空间，,L,(,V,)对以上定义的加法和,数量乘法,也构成数域,P,上的一个线性空间。,线性变换,2 线性变换的运算,定义3,设,A,B,L,(,V,)，对,A,与,B,的,乘积,AB,定义为：,结论4,对,A,B,L,(,V,)，有,AB,L,(,V,)。,线性变换的乘法满足以下运算规律：,(1),A,(,B,+,C,)=,AB,+,AC,(2)(,B,+,C,),A,=,BA,+,CA,(3),A,(,BC,)=(,A B,),C,(4),k,(,AB,),=(,k,A,),B,=,A,(,k,B,),注意：,线性变换的,乘积,不,满足交换律。,例1,在,R,2,中，设,A,(,x,y,)=(,y,x,)，,B,(,x,y,)=(0,x,)，则,A,B,是,R,2,中的,线性,变换，求,A,+,B,，,AB,，,BA,，3,A,-2,B,。,二、线性变换乘法,线性变换,2 线性变换的运算,三、可逆的线性变换,定义4,设,A,L,(,V,)，若存在,B,L,(,V,)，使得,AB,=,BA,=,E,，则称,A,是,可,逆的,，且,B,是,A,的逆变换，记为：,B,=,A,-1,。,结论5,若,A,L,(,V,)，且,A,是可逆的，则,A,-1,唯一，且,A,-1,L,(,V,)。,简单性质：,(1)(,A,-1,),-1,=,A,(2)(,AB,),-1,=,B,-1,A,-1,例3,设,A,是,n,维线性空间,V,的一个线性变换，,V,1,与,V,2,是,V,的子空,例2,设,是线性空间,V,的一组基，,A,是,V,的一个线性,变换，,证明：,A,可逆当且仅当,线性无关。,证明：,A,可逆当且仅当,间，且,线性变换,2 线性变换的运算,四、线性变换的多项式,线性变换的幂,设,A,L,(,V,)，由于线性变换的乘法满足结合律，,线性变换，记为:,A,n,。,若,A,是可逆的，定义,A,-n,=,(,A,-1,),n,。对任意的,A,L,(,V,)，定义,A,0,=,E,。,根据线性变换幂的定义，其指数运算规律为：,若,A,是可逆的，则以上法则对任意整数,m,，,n,都成立。,注意：,由于线性变换的乘法不满足交换律，故(,AB,),n,A,n,B,n,。,因此对任意取定的正整数,n,，,n,个,A,的乘积,AA,A,是一个确定的,线性变换,2 线性变换的运算,定义5,设,则对,A,L,(,V,)，,称为,线性变换,A,的多项式,。,结论6,设,f,(,x,),g,(,x,),P,x,A,L,(,V,),若,h,(,x,)=,f,(,x,)+,g,(,x,),p,(,x,)=,f,(,x,),g,(,x,)，,则,h,(,A,)=,f,(,A,)+,g,(,A,),p,(,A,)=,f,(,A,),g,(,A,)。特别地,f,(,A,),g,(,A,)=,g,(,A,),f,(,A,)，,即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的。,例4,设,A,是,n,维线性空间,V,的一个线性变换,A,3,=2,E,B,=,A,2,-2,A,+2,E,，,证明：,A,，,B,都是可逆变换。,线性变换,3 线性变换的矩阵,3 线性变换的矩阵,在这组基,下的作用完全相同，即,则有,A,=,B,。,定理1,设,是线性空间,V,的一组基,对,V,中任意,n,个向量,存在唯一的线性变换,A,L,(,V,)使得,结论1,设,是线性空间,V,的一组基,对任意一组向量,一定存在一个线性变换,A,L,(,V,)使得,结论2,设,是线性空间,V,的一组基，若线性变换,A,与,B,任何元素都可以是基,的像，只要选取适当,的线性变换,一个线性变换完全被它,的一组基上的作用所决定,线性变换,3 线性变换的矩阵,V,中的一个线,性变换,，则,用矩阵表示为：,其中矩阵,定义1,设,是数域,P,上,n,维线性空间,V,的一组基，,A,是,称为线性变换,A,在基,下的矩阵。,注意与,过渡,矩阵,的异同,线性变换,3 线性变换的矩阵,例1,在,P,3,中，设线性变换,A,为：,例2,六个函数：,的所有实系数线性组合构成实数域上的一个六维线性空间，,例3,在,P,22,中定义线性变换,求其在基,下的矩阵。,求微分,变换,D,在基,下的矩阵。,求线性变换,A,在基,下的矩阵。,线性变换,3 线性变换的矩阵,A,B,L,(,V,),且,A,B,在这组基下的矩阵分别为,A,和,B,，则在该,(1),A,+,B,的矩阵是,A,+,B,；,(2),AB,的矩阵是,AB,；,(3),k,A,的矩阵是,k,A,；,(4)若,A,是可逆的，则矩阵,A,也可逆，且,A,-1,的矩阵是,A,-1,。,例5,设,V,是数域,P,上的,n,维线性空间，则,L,(,V,)与,P,nn,同构。,例6,设,A,1,，,A,2,是,n,维线性空间,V,的两个线性变换，证明：,A,2,V,A,1,V,的充要条件是存在线性变换,A,使得,A,2,=,A,1,A,。,定理2,设,是数域,P,上,n,维线性空间,V,的一组基，,组基下：,A,可逆的充要条件是它在,一组基下的矩阵,A,可逆,线性变换,3 线性变换的矩阵,定理3,设线性变换,A,在基,下的矩阵是,A,，向量,在基,下的坐标,是,，则,A,在该组基下的坐标为,：,给定线性变换下，像与原像的坐标关系：,像,的,坐,标,原,像,坐,标,线性变换的矩阵,注意与,坐标变,换公式,的区别,线性变换,3 线性变换的矩阵,的过渡矩阵为,X,，,于是,定义2,设,A,，,B,为数域,P,上的两个,n,阶矩阵，如果可以找到数域,P,上的,n,阶可逆矩阵,X,使得,B,=,X,-1,AX,，则称,A,相似于,B,，记为,A,B,。,定理4,设线性空间,V,中线性变换,A,在两组基,和,下的,矩阵分别是,A,和,B,，从,到,线性变换在不同基下的矩阵之间的关系：,B,=,X,-1,AX,。,线性变换,3 线性变换的矩阵,(1),反身性：,A,A,；,矩阵相似的运算性质：,(1)如果,B,1,=,X,-1,A,1,X,，,B,2,=,X,-1,A,2,X,，则,A,1,+A,2,B,1,+B,2,，,A,1,A,2,B,1,B,2,。,相似是同阶矩阵之间的一种关系，具有如下三个性质：,(2),对称性：,如果,A,B,，,则有,A,B,；,(3),传递性：,如果,A,B,，且,B,C,，,则有,A,C,；,相似是同阶矩阵,之间的,等价关系,(2)如果,A,B,，且,f,(,x,)是数域,P,上的多项式，那么,f,(,A,),f,(,B,),。,线性变换,3 线性变换的矩阵,由定理4知，线性变换在不同基下的矩阵是相似的；反之，如,果两个矩阵相似，则它们可以看作同一线性变换在不同基下,的矩阵。,定理,5,设,B,=,X,-1,AX,，,若,线性变换,A,在基,下的矩阵,为,A,，且,则,B,为,线性变换,A,在基,下的矩阵。,A,A,A,B,B,=,X,1,A,X,.,矩阵的相似性是由,线性变换所决定的,线性变换,3 线性变换的矩阵,例,7,设,A,为,R,2,上的线性变换,A,对基,的矩阵是,线性变换,B,对基,的矩阵是,(1)求,A,+,B,在基,下的矩阵。,(2)求,AB,在基,下的矩阵。,(3)设,=,(3,3)，求,A,在基,下的,坐标,。,(4)求,B,在基,下的,坐标,。,线性变换,4 特征值与特征向量,4 特征值与特征向量,一、特征值与特征向量的定义,定义1,设,A,是数域,P,上线性空间,V,的一个线性变换，如果对于,注意：,(1)属于同一特征值的特征向量不是唯一的；,(2)属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是该特征,(3)特征值是由特征向量唯一确定的。,数域,P,中的一数,存在一个非零向量,使得,那么,称为线性变换,A,的一个,特征值,，而,称为,A,的属于特,的一个,特征向量,。,征值,值的特征向量；,线性变换,4 特征值与特征向量,二、求特征值与特征向量的方法,定义2,设,A,=(,a,ij,),nn,是数域,P,上的,n,阶矩阵，,是一个文字，矩阵,的行列式,称为矩阵,A,的,特征多项式,，它是数域,P,上关于,的一个,n,次多项,式。,线性变换,4 特征值与特征向量,步骤：,这就是,A,在数域,P,中的所有特征值。,的基础解,系，这就是关于该特征值的几个线性无关的特征,(1)在线性空间,V,中取定一组基,写出,A,在这组基下,的矩阵,A,；,(2)求,A,的特征多项式,在数域,P,中的所有根，,(3)把所求得的特征值逐个代入方程组,求出相应,下的坐标，其所有非零的线性组合就,向量在基,是所有属于该特征值的特征向量。,线性变换,4 特征值与特征向量,注意：,矩阵,A,的特征多项式,的根,也称为,矩阵,A,的特征值,，而相应的齐,的非零解称为,矩阵,A,的属于该特征,次线性方程组,值,的特征向量,。,线性变换,4 特征值与特征向量,求,A,的特征值与特征向量。,例2,在线性空间,P,x,n,中，定义线性变换,求微商变换的特征值与特征向量。,(3)若,A,2,=,E,，证明：,A,的特征值为-1和1。,例1,设线性变换,A,在基,下的矩阵是,例3,设,A,是,n,阶方阵，,是,A,的特征值，证明：,(1)对任意正整数,k,，,是,A,k,的特征值。,(2)若A可逆，则,而且,A,-1,的特征值为,线性变换,4 特征值与特征向量,上式中的不等式是否严格成立？,定义3,设,A,是,n,维线性空间,V,的一个线性变换，,是,A,的一个,特征值，,称为,A,的关于特征值,的,特征子空间,。,例4,设,A,是,n,维线性空间,V,的一个线性变换，,是,A,的一个特,征值，证明：,的维数,的重数,特征值的,代数重数,特征值的,几何重数,线性变换,4 特征值与特征向量,三、特征多项式的性质,设,A,=(,a,ij,),nn,是数域,P,上的,n,阶矩阵，其特征多项式可展开为：,由根与系数的关系知：,其中,称为矩阵,A,的,迹,。,线性变换,4 特征值与特征向量,例5,设,n,阶方阵,A,=(,a,ij,),nn,的特征多项式为：,证明：系数,b,k,为,A,的一切,k,阶主子式的和乘以(-1),k,，即,例6,求,n,阶方阵,的特征值。,线性变换,4 特征值与特征向量,定理1,相似的矩阵具有相同的特征多项式。,注意：,具有相同特征多项式的矩阵不一定相似。,定理2(Hamilton-Caylay定理),设,A,是数域,P,上的,n,阶矩阵，,是矩阵A的特征多项式，则,推论,设,A,是有限维线性空间,V,的线性变换，,是,A,的特征,多项式，那么,线性变换,4 特征值与特征向量,例,7,设,证明：当,n,3时有,A,n,=A,n,-2,+A,2,-,E,，并求,A,100,。,例,8,设,A,是数域,P,上,n,维线性空间,V,的一个线性变换，证明：,(1)在,P,x,中有一个次数,n,2,的多项式,f,(,x,)，使得,f,(,A,),=,0,；,(2)若,f,(,A,)=,0,，,g,(,A,)=,0,，则,d,(,A,)=,0,，其中,d,(,x,)是,f,(,x,)和,g,(,x,),(3),A,可逆的充要条件是有一常数项不为零的多项式,f,(,x,)使,的最大公因式；,得,f,(,A,)=,0,；,线性变换,5 对角矩阵,5 对角矩阵,一、线性变换可对角化的条件,定义1,设,A,是数域,P,上,n,维线性空间,V,的一个线性变换，如果,V,中存在一组,基，使得它在这组基下的矩阵为对角矩阵，则称,该线性变换,A,是,可对角,化的,。,定义1,设,A,是数域,P,的一个,n,阶矩阵，若,A,与数域,P,上的一个对角,矩阵相似，,即存在可逆矩阵,T,，使得,T,-1,AT,为对角矩阵，则称,矩阵,A,在数域,P,上,可对,角化,。,线性变换,5 对角矩阵,定理1,设,A,是数域,P,上,n,维线性空间,V,的一个线性变换，则,A,可对角化的,充要条件是,A,有,n,个线性无关的特征向量。,定理1,数域,P,上,n,阶矩阵,A,可对角化的充要条件是矩阵,A,有,n,个,线性无关的,特征向量。,判断特征向量线性无关的一些充分条件。,定理2,属于不同特征值的特征向量必定线性无关。,推论1,n,维线性空间,V,中的线性变换,A,有,n,个不同的特征值，则,A,是可对角,化的。,推论2,在复数域,C,上的线性空间中，如果线性变换,A,的特征多,项式没有,重根，那么,A,是可对角化的。,线性变换,5 对角矩阵,例1,判断复数域,C,上的矩阵,可否对角化？,线性变换,5 对角矩阵,线性无关。,定理4,设,V,是,n,维线性空间，线性变换,A,的全部特征值为,定理3,设,V,是,n,维线性空间，如果,是线性变换,A,的,是属于特征值,的特征向量，,不同特征值，,而,i,=,1，2，,s,，则向量组,于是,A,可对角化的充要条件是,A,的特征子空间,的维数,之和等于线性空间,V,的维数,n,。,线性变换,5 对角矩阵,例2,设,A,是一个,n,阶下三角矩阵，证明：,1)若,A,的对角元素各不相同，则,A,与一个对角矩阵相似。,2)若,A,的对角元素均为,a,，而且至少有一个,a,ij,0(,ij,)，则,A,不,例3,设,A,是一个复数域上的,n,阶方阵，证明：,1)存在,n,阶可逆矩阵,Q,，使得,2)复数域上任意一个,n,阶方阵都相似于一个上三角矩阵。,可对角化。,线性变换,5 对角矩阵,二、矩阵对角化的方法,n,阶矩阵,A,对角化的方法步骤：,1)求出,A,的全部特征值；,4)将线性无关的解向量为列作成一个,n,阶矩阵,Q,，则,Q,-1,AQ,为,对角矩阵，,其对角线上的元素就是相应的特征值。,2)对每一个特征值,求齐次线性方程组,的基础,解系；,3)如果对每一个特征值,相应齐次线性方程组的基础解系所,含解向量,的个数等于,的重数，则,A,可对角化；,线性变换,5 对角矩阵,例4,设矩阵,已知,A,有3个线性无关的特征向量，2是,A,的一个二重特征值，,试求,可逆矩阵,P,，使得,P,-1,AP,为对角矩阵。,例5,设,求,A,n,(,n,为自然数)。,线性变换,6 线性变换的值域与核,6 线性变换的值域与核,一、值域与核的概念,定义1,设,A,是数域,P,上线性空间,V,的一个线性变换，,V,中全体,向量在,A,下的全体像组成的集合称为,A,的值域,，记为,A,V,或,V,中所有被,A,变成零向量的原像组成的集合称为,A,的核,，记,为,A,-1,(0)或,Ker,A,，即,A,V,的维数称为,A,的,秩,，,A,-1,(0)的维数称为,A,的,零度,。,定理1,设,A,V,与,A,-1,(0)都是,V,的子空间。,Im,A,，即,线性变换,6 线性变换的值域与核,二、值域与核的性质,的一组基，,A,在这组基下的矩阵为,A,，则,2),A,的秩,=,A,的秩,定理3,设,A,是,n,维线性空间,V,的一个线性变换，则,A,V,的一组基,的原像与,A,-1,(0)的一组基合起来就是,V,的一组基，由此有,A,的秩+,A,的零度=,n,注意：,不一定有,A,V,+,A,-1,(0)=,V,推论：,有限维线性空间的线性变换，它是单射的充要条件是,定理2,设,A,是,n,维线性空间,V,的一个线性变换，,是,V,1),它也是满射。,线性变换,6 线性变换的值域与核,例1,证明：,是线性空间,V,=,P,n,的一个线性变换，而且,A,n,=0，求,A,的值,例2,设,A,是一个,n,阶矩阵，,A,2,=,A,，证明,A,相似于一个对角矩阵,域和核的维数。,幂等矩阵,线性变换,6 线性变换的值域与核,例3,设,V,1,，,V,2,是,n,维线性空间,V,的任意两个子空间，维数之和,为,n,，证明：存在线性变换,A,，使得,A,V,=,V,1,，,A,-1,(0),=,V,2,。,间，证,明：存在唯一的幂等变换,A,使得,A,V,=,V,1,，,A,-1,(0),=,V,2,。,例5,设,A,是有限维线性空间,V,的线性变换，,W,是,V,的子空间，,例6,设,A,，,B,是,n,维线性空间,V,的两个线性变换，证明：,例4,设,其中,V,是,n,维线性空间,V,1,V,2,为,V,的真子,空,证明：,线性变换,7 不变子空间,7 不变子空间,一、不变子空间的概念,定义1,设,A,是数域,P,上线性空间,V,的线性变换，,W,是,V,的子空间，,如果,W,中,的向量在,A,中的像仍在,W,中，即,则称,W,是,A,的不变子空间,，简称为,A,子空间,。,例1,线性空间,V,和零空间0是,V,上,任意,线性变换的不变子空间。,平凡不变子空间,例2,线性变换,A,的值域,A,V,和核,A,-1,(0)都是,A,的不变子空间。,例3,线性变换,A,的特征子空间是,A,的不变子空间。,例4,任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间。,线性变换,7 不变子空间,二、不变子空间的性质,性质1,设,A,，,B,都是线性空间,V,的线性变换，若,AB,=,BA,，则,Im,B,和,Ker,B,都是,A,的不变子空间。,性质2,设,W,1,，,W,2,都是,A,的不变子空间，则子空间,W,1,+,W,2,和,W,1,W,2,也是,A,的不变子空间。,例,5,设,A,是有限维线性空间,V,的可逆线性变换，设,W,是,V,中,A,的不变子,空间，则,W,也是线性变换,A,-1,的不变子空间。,线性变换,7 不变子空间,例,6,在,R,4,中，线性变换,A,在基,e,1,，,e,2,，,e,3,，,e,4,下的矩阵为,证明由向量,e,1,+2,e,2,和,e,2,+,e,3,+2,e,4,生成的子空间是,A,的不变子空间。,线性变换,7 不变子空间,三、不变子空间与矩阵的简化,设,A,是有限维线性空间,V,的线性变换，设,W,是,V,中,A,的不变子,空间，,由于,W,中所有的向量在,A,下的像仍在,W,中，因此，我们,可以只在,W,中考虑,A,的作用，即把,A,看作是,W,上的一个线性变,换，这称为,A,在不变子空间,W,上,引起(诱导)的变换,，或称为,A,定理1,设,A,是数域,P,上,n,维线性空间,V,的一个线性变换，,W,是,A,的一个,非平凡不变子空间，则,A,在,V,的某组基下的矩阵是,其中,A,1,是,A,|,W,在某组基下的矩阵。,在,W,上的,限制,，记作,A,|,W,。,线性变换,7 不变子空间,例7,设,V,是数域,P,上的,n,维线性空间，,A,是,V,上的线性变换，,A,其中,设,(1),证明:,V,1,是,A,的不变子空间。,(2),证明:,V,2,是,A,的不变子空间的条件是什么？,下的矩阵是,在基,线性变换,7 不变子空间,定理2,设,A,是数域,P,上,n,维线性空间,V,的一个线性变换，如果,A,有,k,个,非平凡不变子空间,W,1,，,W,2,，,W,k,，则,的充要条件是在,V,中存在一组基，使得,A,在这组基下的矩阵为,其中,A,i,(i=1,2,k,)是,A,|,W,i,在,W,i,的某组基下的矩阵。,定理2表明矩阵分解为准对角形与空间分解为不变子空间的,直和是相当的。,线性变换,7 不变子空间,则,V,可分解成不变子空间的直和,其中,定理3,设线性变换,A,的特征多项式为,它可分解为一次因,式的乘积,线性变换,8 若当标准形介绍,8 若当标准形介绍,定义1,形式为,的矩阵称为,若当(Jordan)块,，其中,为复数，,t,为该若当块的,阶数。,线性变换,8 若当标准形介绍,由,多,个若当块组成的准对角矩阵称为,若当矩阵,，其一般形式为,其中,这里的,可以相等。,线性变换,8 若当标准形介绍,例如：,都是若当块，也是若当矩阵。,是由三个若当块组成的若当矩阵。,线性变换,8 若当标准形介绍,定理1,设,A,是复数域,C,上,n,维线性空间,V,的一个线性变换，在,V,且这个若当形矩,阵,除去若当块的排列次序外，是由,A,唯一确,定的，因此这个矩阵称为,A,的若当标准形。,用矩阵语言叙述为：,定理2,每个,n,阶复矩阵,A,都与一个若当标准形相似，这个若当标,这个矩阵称,为,矩阵,A,的若当标准形。,中必存,在,一组基，使得,A,在这组基下的矩阵是若当形矩阵，,准形除,去若当块的排列次序外，是由矩阵,A,唯一确定的，因此,线性变换,9 最小多项式,9 最小多项式,一、最小多项式的定义,定义1,设,f,(,x,),P,x,，,A,P,n,n,，若,f,(,A,)=0，则称,f,(,x,)以,A,为根。,最小多项式,。,注：,矩阵,A,的最小多项式,一定,存在。,例1,求数量矩阵,k,E,的最小多项式。,以,A,为,根,的多项式中次数最低且首项系数为1的多项式称为,A,的,线性变换,9 最小多项式,二、最小多项式的性质,性质1,矩阵,A,的最小多项式是唯一的。,性质2,设,g,(,x,)为矩阵,A,的最小多项式，则,f,(,x,)以,A,为根的充要条,件是,g,(,x,),整除,f,(,x,)。,推论,:,矩阵,A,的最小多项式必定是,A,的特征多项式的一个因式。,例2,求矩阵,的最小多项式。,线性变换,9 最小多项式,性质3,相似矩阵有相同的最小多项式。,注意,:,具有相同最小多项式的矩阵不一定相似。,性质4,k,阶若当块,的最小多项式为,线性变换,9 最小多项式,三、最小多项式与矩阵的对角化,定理1,设矩阵,A,是一个准对角矩阵,设,A,1,，,A,2,的最小多项式分别为,g,1,(,x,)，,g,2,(,x,)，则,A,的最小多项式,为,g,1,(,x,)，,g,2,(,x,)的最小公倍式,g,1,(,x,)，,g,2,(,x,)。,这个定理可以推广到一般的情形。,线性变换,9 最小多项式,当,且,A,i,的最小多项式为,g,i,(,x,)，,i,=1，2，,，,s,，则,A,的最小多项式,为,g,(,x,),=,g,1,(,x,)，,g,2,(,x,)，,，,g,s,(,x,)。,特别地，若多项式,g,i,(,x,)，,i,=1，2，,s,两两互素，则,A,的最小,多项式为,g,(,x,)=,g,1,(,x,),g,2,(,x,),g,s,(,x,)。,线性变换,9 最小多项式,定理2,数域,P,上,n,阶矩阵,A,与对角矩阵相似的充要条件是,A,的最,推论,复数域,C,上,n,阶矩阵,A,与对角矩阵相似的充要条件是,A,的最,小多项式,是数域,P,上互素的一次因式的乘积。,小多项式,没有重根。,