统计物理部分课后答案.doc

7.4
解: 根据式（6.6.9），处在能量为的量子态s上的平均粒子数为
（1）
以N表示系统的粒子数，粒子处在量子态s上的概率为
（2）
显然，满足归一化条件
（3）
式中是对粒子的所有可能的量子态求和. 粒子的平均能量可以表示为
（4）
根据式（7.1.13），定域系统的熵为

（5）
最后一步用了式（2），即
（6）
式（5）的熵表达式是颇具启发性的. 熵是广延量，具有相加性. 式（5）意味着一个粒子的熵等于 它取决于粒子处在各个可能状态的概率
. 如果粒子肯定处在某个状态，即，粒子的熵等于零. 反之，当粒子可能处在多个微观状态时，粒子的熵大于零. 这与熵是无序度的量度的理解自然是一致的. 如果换一个角度考虑，粒子的状态完全确定意味着我们对它有完全的信息，粒子以一定的概率处在各个可能的微观状态意味着我们对它缺乏完全的信息. 所以，也可以将熵理解为信息缺乏的量度. 第九章补充题5还将证明，在正则系综理论中熵也有类似的表达式. 沙农（Shannon）在更普遍的意义上引进了信息熵的概念，成为通信理论的出发点. 甄尼斯（Jaynes）提出将熵当作统计力学的基本假设，请参看第九章补充题5.
对于满足经典极限条件的非定域系统，式（7.1.13′）给出

上式可表为
（7）
其中

因为

将式（7）用表出，并注意

可得
（8）
这是满足玻耳兹曼分布的非定域系统的熵的一个表达式. 请与习题8.2的结果比较.
习题7.8气体以恒定的速度沿方向作整体运动。试证明，在平衡状态下分子动量的最概然分布为

证： 设能级这样构成：同一中，相同，而与在变化，于是有：

()
参照教材玻耳兹曼分布证明；有
-,
其中
由(1)知:
将代入 并配方得:

=
其中
对比page238式（7.2.4）得：

整个体积内，分布在 内分子数为：

由条件（3）知
计算得

=
=
代入得出分布：
其中 ,
习题7.13试证明，单位时间内碰到单位面积上，速率介于与之间的分子数为：
证： 在斜圆柱体内,分速度为的方向的分子数为:

对于
时间碰撞到面积上的分子数（）

=
得到：若只计算介于分子数则为：（只对积分）

习题7.15已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为：
其中是常数，求粒子的平均能量。
解：

习题8.1试证明:对于玻色系统或费米系统,玻耳兹曼关系成立，即。
解：对于理想费米系统，与分布相应的系统的微观状态数为

取对数，并应用斯特令近似公式，得
另一方面，根据理想费米系统的熵为

其中费米巨配分函数的对数为
由费米分布
得 和
所以

两式比较可知：。

习题8-2 试证明，理想玻色和费米系统的熵可表示为：
，

其中为量子态上的平均粒子数，对粒子的所有量子态求和。
解：我们先讨论理想费米系统的情形。根据上题有，理想费米系统的熵可表示为

式中表示对粒子各能级求和。以表示在能量为的量子态上的平均粒子数，并将对能级求和改为对量子态求和，注意到 ，上式可改写为

由于，计及前面的负号，上式的两项都是非负的。
对于理想玻色系统，通过类似的步骤可以证明，
由于玻色系统，计及前面的负号，式中的第一项可以取负值，第二项是非负的，由于在绝对值上第二项大于第一项，熵不会取负值。
在的情形，上面两式中的
所以在的情形下，有

注意到，上式也可表示为

习题8.3求弱简并理想费米（玻色）气体的压强和熵。
解：弱简并费米（玻色）气体的内能为，式中上面的符号适用于费米气体，下面的符号适用于玻色气体。利用理想气体压强与内能的关系，可直接求出弱简并气体的压强为

式中是粒子数密度。
定容热容量为
参照热力学中熵的积分表达式可将熵表示为

于是可得
式中的函数可通过下述条件确定：在的极限下，弱简并气体趋于理想气体。

习题8.4 试证明，在热力学极限下均匀的二维理想玻色气体不会发生玻色-爱因斯坦凝聚。
证明：令玻色气体降温到某有限温度，气体的化学势将趋于。在时，将有宏观量级的粒子凝聚在的基态，称为玻色-爱因斯坦凝聚。临界温度由条件
确定。
将二维自由粒子的状态密度代入得：

二维理想玻色气体的凝聚温度由上式确定。令，上式可改写为

将被积函数展开有：

则 是发散的，这意味着在有限温度下二维理想玻色气体的化学势不可能趋于零。换句话说，在有限温度下二维理想玻色气体不会发生玻色-爱因斯坦凝聚。
习题8.7计算温度为时，在体积内光子气体的平均总光子数，并据此估算：
（1）温度为时的平衡辐射和；
（2）温度为的宇宙背景辐射中光子的数密度。
解：在体积内，在到的圆频率范围内光子数为
温度为时平均光子数为

因此温度为时，在体积内光子气体的平均光子数为

引入变量，上式可表示为

或
在下，有。
在下，有。
习题8.8试据普朗克公式求平衡辐射内能密度按波长的分布：，并据此证明，使辐射内能密度取极大的波长满足方程：
这个方程的数值解为。因此

温度增加向短波方向移动。
证：平衡辐射内能按圆频率的分布为
根据圆频率与波长的关系，有

于是内能按波长的分布可得：
令使取极大的波长由下式确定：

于是有：
利用图解法可以解出，精确的数值解给出。
所以使为极大的满足右方是常量，说明随温度的增加向短波方向移动，称为维恩位移定律。

习题8.10试根据热力学公式及光子气体的热容量求光子气体的熵。
解： 光子气体的内能为
由此易得其定容热容量为
根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式有：
积分沿任意一条积分路径进行，如果取积分路线为由到的直线，即有：

习题9.1证明在正则分布中熵可表为其中是系统处在态的概率。
证： 多粒子配分函数

由(1)知
代至(2)得 ;
于是
习题9.2试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程，内能和熵
证：
符号
符号

利用式（9.5.3）类似求。
习题9.6被吸附在液体表面的分子形成一种二维气体，考虑分子间的相互作用，试用
正则分布证明，二维气体的物态方程为，其中：
为液体的面积，为两分子的互作用势。
解： 二维气体

其中 定义

变量代换

据式（9.5.3）

习题9.9利用德拜频谱求固体在高温和低温下配分函数对数，从而求内能和熵。
解：式（3.9.4）

德拜频谱
对于振动

计算略
高温近似， ，

（计算略）
习题9.7仿照三维固体的地拜理论，计算长度为的线形原子链在高温和低温下的内能和热容量。
解：一维线形原子链
共有个振动，存在最大频率

令

高温近似
低温近似其中
习题9.8仿照三维固体的德拜理论，计算长度为L的线形原子链（一维晶体）在高温和低温下的内能和热容量。
解： 二维：
面积S内，波矢范围内辐射场振动自由度为
横波按频率分布为
纵波按频率分布为

令

低温近似
高温近似
计算略。

7.10 气体以恒定速度沿方向作整体运动，求分子的平均平动能量.
解: 根据7.8题式（9），以恒定速度沿方向作整体运动的气体，其分子的速度分布为
（1）
分子平动量的平均值为

上式头两项积分后分别等于，第三项的积分等于

因此，
（2）
式（2）表明，气体分子的平动能量等于无规热运动的平均能量及整体运动能量之和.