数学方法论-RMI方法.ppt

中国著名数学教育家、数学方法论专家中国著名数学教育家、数学方法论专家-徐利治徐利治 如果原问题如果原问题“化归化归”为一个新问题为一个新问题后，新问题与原问题是同构的（即，只后，新问题与原问题是同构的（即，只是形式不同，数学结构完全相同），这是形式不同，数学结构完全相同），这种种“化归化归”在数学上又称为在数学上又称为“RMIRMI”方方法。法。一、关系映射反演方法一、关系映射反演方法原象关系结构原象关系结构（原象系统中的问题）（原象系统中的问题）映射映射映射关系结构映射关系结构（映射系统中的问题）（映射系统中的问题）在映射系统中求得解决在映射系统中求得解决在原象系统中作出解决在原象系统中作出解决反演反演二、关系映射反演方法的基本含义二、关系映射反演方法的基本含义称大象的问题称大象的问题转化转化称石头的问题称石头的问题石头问题得到解决石头问题得到解决大象问题得到解决大象问题得到解决转化转化映射映射反演反演原象系统中的问题原象系统中的问题映象系统中的问题映象系统中的问题在映象系统中求得解决在映象系统中求得解决在原象系统中作出解决在原象系统中作出解决曹冲称象与关系映射反演法曹冲称象与关系映射反演法三、三、RMIRMI方法的应用方法的应用 “映射映射”作广义上来理解，就是指化难作广义上来理解，就是指化难为易的某种对应方法或手段，而为易的某种对应方法或手段，而“反演反演”就是把变换后求得的解答再转换成原来问就是把变换后求得的解答再转换成原来问题所要求的答案。题所要求的答案。例例1 1 水结成冰体积增加了十分之一，那么，冰化水结成冰体积增加了十分之一，那么，冰化成水后，体积减少了几分之几？成水后，体积减少了几分之几？水水冰冰水水 例例2 2 某班有四个课外活动小组。已知有二分之一某班有四个课外活动小组。已知有二分之一的学生参加语文小组，有四分之一的学生参加英语的学生参加语文小组，有四分之一的学生参加英语小组，有八分之一的学生参加数学小组，还有小组，有八分之一的学生参加数学小组，还有6 6名学名学生参加科技小组。如果参加者互不重复，该班有多生参加科技小组。如果参加者互不重复，该班有多少人。少人。例3 鸡兔同笼不知数，十二个头笼中露。数清脚共三十只，多少只鸡多少兔？例4 A、B，两地相距2400米，甲从A地，乙从B地同时出发，在A、B间往返长跑。甲每分钟跑300米。乙每分钟跑240米，在30分钟后停止运动。甲，乙两人在第几次相遇时距A地最近？最近距离是多少米？123行程问题的数量关系行程问题的数量关系（速度比）（速度比）映射映射线段图线段图在线段图上得到在线段图上得到 帮助或求得解帮助或求得解问题得到解决问题得到解决反演反演 例例5 5 一条船从甲地沿水路去乙地，往返一共需要一条船从甲地沿水路去乙地，往返一共需要2 2小时，小时，去时顺水，比返回来每小时多航行去时顺水，比返回来每小时多航行8 8千米，且第二小时比第一千米，且第二小时比第一小时少航行小时少航行6 6千米，求甲、乙两地水路的距离？千米，求甲、乙两地水路的距离？顺航：顺航：甲甲乙乙顺水顺水3千米前一小时里逆航：前一小时里逆航：逆行速度为每小时：逆行速度为每小时：甲、乙两地水路的距离是：甲、乙两地水路的距离是：例例6 甲、乙、丙三人现在的岁数和是甲、乙、丙三人现在的岁数和是113113岁。当甲的岁数是乙的岁。当甲的岁数是乙的岁数的一半时丙是岁数的一半时丙是3838岁；当乙的岁数是丙的岁数的一半时，岁；当乙的岁数是丙的岁数的一半时，甲是甲是1717岁。那么丙现在是多少岁？岁。那么丙现在是多少岁？现在岁数与当时岁数的差现在岁数与当时岁数的差 甲现在岁数甲现在岁数乙现在岁数乙现在岁数丙现在岁数丙现在岁数甲岁数甲岁数乙岁数乙岁数丙丙38岁岁113岁岁甲现在岁数是：甲现在岁数是：现在岁数与当时岁数的差现在岁数与当时岁数的差 甲现在岁数甲现在岁数乙现在岁数乙现在岁数丙现在岁数丙现在岁数甲甲17岁岁乙岁数乙岁数丙岁数丙岁数113岁岁乙现在岁数是：乙现在岁数是：丙现在岁数是：丙现在岁数是：四、运用四、运用RMIRMI方法来解决数学问题的基本思路：方法来解决数学问题的基本思路：（一）能否在另一关系结构中构造出该问题的模型（一）能否在另一关系结构中构造出该问题的模型（二）能否用另一知识系统中的语言来改述与解决这个问题（二）能否用另一知识系统中的语言来改述与解决这个问题（三）（三）变形对应（映射）反演变形对应（映射）反演 日本数学家、数学教育家米山国藏指出：日本数学家、数学教育家米山国藏指出：“学生进入社会后，几乎没有机会应用他们所学生进入社会后，几乎没有机会应用他们所学到的数学知识，因而这种作为知识的数学，学到的数学知识，因而这种作为知识的数学，通常在学生出校门后不到一两年就忘掉了，然通常在学生出校门后不到一两年就忘掉了，然而不管人们从事什么业务工作，那种铭刻于头而不管人们从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着重要的作用。他们的生活和工作中发挥着重要的作用。”例例7 7（托托尔尔斯斯泰泰问问题题）一一组组割割草草人人要要把把两两片片草草地地上上的的草草割割完完，大大片片是是小小片片的的两两倍倍。上上半半天天人人们们都都在在大大片片地地上上割割，午午后后人人们们对对半半分分开开，一一半半仍仍留留在在大大片片地地上上，到到傍傍晚晚恰恰好好把把草草割割完完；另另一一半半到到小小片片地地上上去去割割，到到傍傍晚晚还还剩剩下下一一小小块块，这这一一小小块块一一个个人人一一整整天天可可以以割割完完。问这组割草人有多少？问这组割草人有多少？半组人半组人半天半天一人一天二人半天 例例8 8 一一条条街街上上，一一个个骑骑车车人人和和一一个个步步行行人人同同向向而而行行，骑骑车车人人速速度度是是步步行行人人速速度度的的3 3倍倍。每每隔隔10 10 分分钟钟有有一一辆辆公公共共汽汽车车超超过过步步行行人人，每每隔隔2020分分钟钟有有一一辆辆公公共共汽汽车车超超过过骑骑车车人人。如如果果公公共共汽汽车车从从始始发发站站每每次次间间隔隔同同样样的的时时间间发发一一辆辆车车，那那么么每每间隔几分钟发一辆车？间隔几分钟发一辆车？人人10汽车汽车10前后两前后两车的距车的距离离前后两前后两车的距车的距离离汽车汽车20骑车骑车20人人10的的6倍倍汽车汽车2分分钟钟人人10汽车汽车10前后两车前后两车的距离的距离骑车骑车20汽车汽车20前后两车前后两车的距离的距离甲、乙两车分别从甲、乙两车分别从A A、B B两地出发，在、之间不断往返行驶。两地出发，在、之间不断往返行驶。已知甲车的速度是每小时已知甲车的速度是每小时1515公里，乙车的速度是每小时公里，乙车的速度是每小时3535公里，并且甲、乙两车第三次相遇的地点与第四次相遇的公里，并且甲、乙两车第三次相遇的地点与第四次相遇的地点恰好相距地点恰好相距100100公里，那么，公里，那么，ABAB两地相距多少公里？两地相距多少公里？1234 甲，乙两船同时从甲，乙两船同时从B B港分别向港分别向C C港和港和A A港行港行驶。已知甲船速度是乙船速度的五分之六倍，驶。已知甲船速度是乙船速度的五分之六倍，A A，B B 两港相距两港相距540540千米。甲船千米。甲船3 3小时后到达小时后到达C C港，然后立即驶向港，然后立即驶向A A港，最后与乙船同时到达港，最后与乙船同时到达A A港。则乙船速度是（港。则乙船速度是（）千米）千米/小时。小时。一船从甲港顺水而下行到乙港，马上又从乙一船从甲港顺水而下行到乙港，马上又从乙港逆水行回甲港，共用了港逆水行回甲港，共用了8 8小时。已知顺水每小时小时。已知顺水每小时比逆水多行比逆水多行2020千米，又知前千米，又知前4 4小时比后小时比后4 4小时多行小时多行6060千米。那么，甲乙两港相距多少千米。千米。那么，甲乙两港相距多少千米。