数学建模试题1312A解答.doc

东华大学2013~ 20143学年第__1__学期期_末_试题(A)
踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。
课程名称______数学建模（2）___使用专业________数学11等________
班级_____________________姓名________________学号__________
试题得分
一
二
三
四
五
六
总分

一、简答题（40分，每小题10分）
1. （10分）考虑带有阻滞因素的食饵(x)--捕食者(y)模型

这里参数a, b, c, d, r均为正数。试解释各参数的意义，并求出模型的平衡点。
解：a：捕食者对食饵的捕食能力；
b: 食饵对捕食者的供养能力；
c: 捕食者对自身的阻滞系数；
d: 捕食者的自然死亡率；
r: 食饵的自然增长率。

解方程组
(r-ay-cx)x=0
-(d-bx)y=0
得平衡点
(0,0), (r/c, 0), (d/b, r/a-cd/a/b)

2. （10分）考虑非典型肺炎(SARS)在一个封闭的人群中流行传播。人群分为五类：一般易感染类（普通健康者）记作A，特殊易感染类（健康医务人员）记作B，一般感染者（未进医院的SARS病人）记作C, 特殊感染者（医院的SARS病人）记作D, 移出类（病愈免疫、病死等）记作E。流行病是由易感染类和感染者的相互接触而传播。试作适当假设，建立SARS流行的数学模型。
解：假设C感染A, D感染B, E来自D.
A+B+C+D+E=1

3. （10分）某商场经销平板电脑，根据历史资料，该产品每天的销售量服从在区间[20，40]的均匀分布，每台产品进货价为1000元，售价1260元，每天每台库存费为10元。试确定最佳存货限。
解：根据

，解得S=24

4. （10分）收集了100个销售周期本公司牙膏销售量、价格、广告费及同期其它厂家同类牙膏的平均售价，建立牙膏销售量y与价格差x1、广告投入x2之间的线性回归模型。

编写下列Matlab程序。
clear; data=[原始数据(第一列价格差，第二列广告投入，第三列销售量)];
X1=data(:,1);X2=data(:,2);Y=data(:,3);
X=[ones(100,1), X1, X2, x2.^2];
b
bint
stats
13.2
12.2
14.4
0.86
1.4
0.9
1.9
16.2
-0.3
-0.5
-0.1
0.002
0.1
-0.1
0.3
0.09

[b, bint,r, rint, stats]=regress(Y,X)
(1) 试将上述程序中第三行方括号中的内容填写完整。
(2) 已知计算结果如右表，说明了什么（尽可能详细）？
解：(1)见上
（2）b为回归系数b, bint为回归系数的置信区间；
b1，b2，b3不包含零点，显著，b3包含零点，不显著；
模型解释了86%的误差平方和；0.002<0.05，模型显著；
0.09是e的方差估计值。
二.（15分）某肿瘤大小V生长的速率与V的a次方成正比，其中a为形状参数，0£a£1; 而其比例系数K随时间减小，减小速率又与当时的K值成正比，比例系数为环境参数b。设某肿瘤参数a=1/5, b=0.1, K的初始值为2，V的初始值为5。要求建立问题的数学模型，并求解下列问题：
(1)此肿瘤生长不会超过多大？
(2)何时肿瘤生长速率由递增转为递减？
解：（1）

（2）

三（15分）为研究人口年龄结构，将女性人口分成0~30，30~60, 60以上三个年龄组。只有前两个年龄组有生育功能，用a，b表示这两组女性30年间平均每人生育并成活的女孩数量。又设前两个年龄组30年后存活到下一个年龄组的概率都是0.9。
（1）建立分析人口年龄结构的数学模型；
（2）设初始时刻各年龄组都是1百万人，a=1，b=0.5, 求60年以后各年龄组人口的数量；
（3）a, b满足什么条件时，人口总数保持不下降？
解：（1）Leslie矩阵

a=[1,0.5,0;0.9,0,0;0,0.9,0]

a =

1.0000 0.5000 0
0.9000 0 0
0 0.9000 0

>> a^2*[1,1,1]'

ans =

1.9500
1.3500
0.8100四（15分）某航空公司采用网上订票，乘客订票时仅须提供有效信用卡号， 每位订票乘客80%会来登机。如果乘客登机了，航空公司会扣除机票费；如果乘客没有登机，航空公司会扣除机票费10%的违约金。设飞机有300个经济座位，平均价格每位500元。如果前来登机的乘客超出其座位数时，航空公司须采用升舱措施让乘客登机，但升舱乘客给航空公司带来的损失相当于2张机票价格。
(1) 试建立数学模型研究机票超订策略。
(2) 比较按照376位订出与342位订出两种策略哪个更好？（提示：可采用近似计算。 已知F(0)= -0.4, F(-3.7)=0, 其中， j(t)是标准正态分布函数.）
解(1)设共m位订票，其中k位不来登机，k~B(m,0.2), 收益

(2)m=376, E(S(m))=150660, m=342, E(S(m))=140220. 从而376更好。

五（15分）单株树木的商品价值是由这棵树所能够生产的木材体积和质量所决定的。已知某种树木的平均价值V(t) 随着树龄变化的资料如下：
t（年）
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
V(t)（元）
0
43
143
303
497
650
805
913
992
1035
假设货币贴现率为r=0.05。考虑到森林轮种问题，即一旦树木从某一处砍掉，这块土地便可以种植新树。假定各代轮种的周期长度相同，试讨论最优砍伐轮种的最佳周期。
关键点：
（1） V(t)按Logistic曲线增长；
（2） 货币是不等价的，需要用贴现率折算；
（3） 在一个给定的年代区间，周期越短，轮种次数越多。

六（附加10分）数学建模个人学习小结（另页）。