数学建模与数学实验.doc

数学建模与数学实验
实验报告

班级 : 数学师范153
姓名 ：付爽
学号 ：1502012060
实验名称 : 数列极限与函数极限

基础实验
基础实验一 数列极限与函数极限
第一部分 实验指导书解读

一、实验目的
从刘徽的割圆术、裴波那奇数列研究数列的收敛性并抽象出极限的定义；理解数列收敛的准则；理解函数极限与数列极限的关系。
二、 实验使用软件
Mathematic 5.0
三．实验的基本理论即方法
1割圆术
中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率。刘徽先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积；其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积。
“割之弥细，所失弥少。割之又割以至不可割，则与圆合体而无所失矣。”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想。
以表示单位圆的圆内接正多边形面积，则其极限为圆周率。用下列Mathematica程序可以从量和形两个角度考察数列{}的收敛情况：
m=2;n=15;k=10;
For[i=2,i<=n,i++, l[i_]:=N[2*Sin[Pi/(3*2^i)],k]; (圆内接正多边形边长)
s[i_]:=N[3*2^(i-1)*l[i]*Sqrt[1-(l[i])^2/4],k]; (圆内接正多边形面积)
r[i_]:=Pi-s[i]; d[i_]:=s[i]-s[i-1];
Print[i," ",r[i]," ",l[i]," ",s[i]," ",d[i]]
]
t=Table[{i,s[i]},{i,m,n}] (数组)
ListPlot[t] (散点图)
2裴波那奇数列和黄金分割
由有著名的裴波那奇数列。
如果令，由递推公式可得出
，；
。
用下列Mathematica程序可以从量和形两个角度考察数列{}的收敛情况：
n=14,k=10;
For[i=3,i<=n,i++, t1=(Sqrt[5]+1)/2; t2=(1-Sqrt[5])/2;
f[i_]:=N[(t1^(i+1)-t2^(i+1))/Sqrt[5],k]; (定义裴波那奇数列通项)
rn=(5^(1/2)-1)/2-f[i-1]/f[i];Rn=f[i-1]/f[i];dn=f[i-1]/f[i]-f[i-2]/f[i-1];
Print[i," ",rn," ",Rn," ",dn];
]
t=Table[{i,f[i-1]/f[i]},{i,3,n}]
ListPlot[t]
3收敛与发散的数列
数列当时收敛，时发散；数列发散。
4函数极限与数列极限的关系
用Mathematica程序
m=0;r=10^m;x0=0;
f[x_]=x*Sin[1/x]
Plot[f[x],{x,-r,r}]
Limit[f[x],x->x0]
观察的图象可以发现，函数在点处不连续，且函数值不存在，但在点处有极限。
令，作函数的取值表，画散点图看其子列的趋向情况
k=10;p=25;
a[n_]=1/n;
tf=Table[{n,N[f[a[n]],k]},{n,1,p}]
ListPlot[tf]
Limit[f[a[n]],n→Infinity,Direction→1]
分别取不同的数列(要求)，重做上述过程，并将各次所得图形的分析结果比较，可知各子列的极限值均为上述函数的极限值。
对于，类似地考察在点处的极限。
三、实验准备
认真阅读实验目的与实验材料后要正确地解读实验，在此基础上制定实验计划（修改、补充或编写程序，提出实验思路，明确实验步骤），为上机实验做好准备。
四、实验思路提示
3.1考察数列敛散性
改变或增大，观察更多的项（量、形），例如，分别取50，100，200，…；扩展有效数字，观察随增大数列的变化趋势，例如，分别取20，30，50；或固定50；或随增大而适当增加。对实验要思考，例如，定义中的指标与柯西准则中的指标间的差异；数列收敛方式；又例如，如何估计极限近似值的误差。
3.2考察函数极限与数列极限的关系
改变函数及极限类型，例如，考虑六种函数极限，既选取极限存在也选取极限不存在的例子；改变数列，改变参数观察更多的量，考察形的变化趋势；扩展有效数字，提高计算精度。要对实验思考，归纳数列敛散与函数敛散的关系。

第二部分 实验计划
实验主要是从观察数列的敛散性，观察函数值的变化趋势来理解极限的概念，进一步体会实验的准则

1. 割圆术 
中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率p。刘徽先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积；其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积。 
“割之弥细，所失弥少。割之又割以至不可割，则与圆合体而无所失矣。”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想。 
以nS表示单位圆的圆内接正1 2 3-´n多边形面积，则其极限为圆周率p。用下列
Mathematica程序可以从量和形两个角度考察数列{nS}的收敛情况： 
        m=2;n=15;k=10; 
        For[i=2,i<=n,i++, l[i_]:=N[2*Sin[Pi/(3*2^i)],k];   (圆内接正1
23-´n多边形边长) 
          s[i_]:=N[3*2^(i-1)*l[i]*Sqrt[1-(l[i])^2/4],k];    (圆内接正1
23-´n多边形面积)           r[i_]:=Pi-s[i]; d[i_]:=s[i]-s[i-1]; 
          Print[i,"  ",r[i],"  ",l[i],"  ",s[i],"  ",d[i]]           ] 
        t=Table[{i,s[i]},{i,m,n}]   (数组) 
  ListPlot[t]    (散点图
2裴波那奇数列和黄金分割
由有著名的裴波那奇数列。
如果令，由递推公式可得出
，；
。
用下列Mathematica程序可以从量和形两个角度考察数列{}的收敛情况：
n=14,k=10;
For[i=3,i<=n,i++, t1=(Sqrt[5]+1)/2; t2=(1-Sqrt[5])/2;
f[i_]:=N[(t1^(i+1)-t2^(i+1))/Sqrt[5],k]; (定义裴波那奇数列通项)
rn=(5^(1/2)-1)/2-f[i-1]/f[i];Rn=f[i-1]/f[i];dn=f[i-1]/f[i]-f[i-2]/f[i-1];
Print[i," ",rn," ",Rn," ",dn];
]
t=Table[{i,f[i-1]/f[i]},{i,3,n}]
ListPlot[t]
，；
。

3.收敛与发散的数列
数列当时收敛，时发散；数列发散。
4.函数极限与数列极限的关系
用Mathematica程序
m=0;r=10^m;x0=0;
f[x_]=x*Sin[1/x]
Plot[f[x],{x,-r,r}]
Limit[f[x],x->x0]
观察的图象可以发现，函数在点处不连续，且函数值不存在，但在点处有极限。
令，作函数的取值表，画散点图看其子列的趋向情况
k=10;p=25;
a[n_]=1/n;
tf=Table[{n,N[f[a[n]],k]},{n,1,p}]
ListPlot[tf]
Limit[f[a[n]],n→Infinity,Direction→1]
分别取不同的数列(要求)，重做上述过程，并将各次所得图形的分析结果比较，可知各子列的极限值均为上述函数的极限值。
对于，类似地考察在点处的

三 实验过程与结果

设{xn}为实数列，a 为定数，若对任给的正数b,总存在正整数N，使得当n > N 时，有|xn - a|<b,则称数列收敛与a 定数a 称为数列的极限，程序如下：

程序结果运行如下:

裴波那奇数列和黄金分割

1.考察数列敛散性

改变或增大，观察更多的项（量、形），例如，分别取50，100，200，…；扩展有效数字，观察随增大数列的变化趋势，例如，分别取20，30，50；或固定50；或随增大而适当增加。对实验要思考，例如，定义中的指标与柯西准则中的指标间的差异；数列收敛方式；又例如，如何估计极限近似值的误差。

2.考察函数极限与数列极限的关系

改变函数及极限类型，例如，考虑六种函数极限，既选取极限存在也选取极限不存在的例子；改变数列，改变参数观察更多的量，考察形的变化趋势；扩展有效数字，提高计算精度。要对实验思考，归纳数列敛散与函数敛散的关系。

例：

用Mathematica程序
m=0;r=10^m;x0=0;
f[x_]=x*Sin[1/x]
Plot[f[x],{x,-r,r}]
Limit[f[x],x->x0]

观察的图象可以发现，函数在点处不连续，且函数值不存在，但在点处有极限。

令，作函数的取值表，画散点图看其子列的趋向情况
k=10;p=25;
a[n_]=1/n;
tf=Table[{n,N[f[a[n]],k]},{n,1,p}]
ListPlot[tf]
Limit[f[a[n]],n→Infinity,Direction→1]

分别取不同的数列(要求)，重做上述过程，并将各次所得图形的分析结果比较，可知各子列的极限值均为上述函数的极限值。

对于，类似地考察在点处的极限。

四 实验结论

1. 以表示单位圆的圆内接正多边形面积，则其极限为圆周率。用下列Mathematica程序可以从量和形两个角度考察数列{}的收敛情况
2.由有著名的裴波那奇数列。
令，由递推公式可得
3.数列当时收敛，时发散；数列发散。
4.分别取不同的数列(要求)，重做过程，并将各次所得图形的分析结果比较，可知各子列的极限值均为上述函数的极限值。对于