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八年级上册期中知识点
第一章 轴对称图形
1.1轴对称与轴对称图形
1.轴对称:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另外一个图形重合,称这两个图形关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴,两个图形中的对应点叫做对称点。(对称轴是直线,所在的直线等)
2.轴对称图形:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果直线两旁的部分能够互相重合。
3.二者的区别和联系
轴对称是2个分开图形(整体叫做轴对称图形),轴对称图形是1个图形(看成对称轴左右两个图形)。
4.正多边形:
1.有几条边就有几条对称轴。(偶数边的正多边形既是轴对称又是中心对称图形)
2.成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称。
1.2轴对称的性质
1.垂直平分线:垂直并且平分一条线段的直线。(高线,中线,角平分线都是线段)
2.成轴对称的两个图形全等,且其中一个图形沿某条直线翻折后能与另一个图形重合。如果两个图形成轴对称,那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。
1.4线段、角的轴对称
线段的轴对称性:
1.线段是轴对称图形,对称轴是线段垂直平分线所在的直线;2.线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;3.到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
结论:线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合
角的轴对称性:
1.角是轴对称图形,对称轴是角平分线所在的直线。2.角平分线上的点到角的两边距离相等。
3.到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上。
结论:角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合
l
A
B
M
1.5等腰三角形的轴对称
1.等腰三角形
定义:有两边相等的三角形为等腰三角形
性质:
1.等腰三角形为轴对称图形,对称轴为顶角平分线所在的直线
2.两个底角相等(等边对等角)
3.三线合一 顶角平分线,底边中线,底边的高
判定:
1.如果一个三角形两角相等那么两角所对的边也相等
2.两边相等的三角形是等腰三角形
2.等边三角形性质和判定:
性质:
1.等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴
2.三个边相等
3.每个角都是60度
判定:
1.三个边相等的三角形是等边三角形
2.三个角都相等的三角形
3.有一个角等于60度的等腰三角形
1.6等腰梯形的轴对称
等腰梯形的定义:
1.梯形的定义:一组对边平行,另一组对边不平行的四边形为梯形。梯形中,平行的一组对边称为底,不平行的一组对边称为腰。
A
D
C
B
2.等腰梯形的定义:两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
等腰梯形的性质:
1.等腰梯形是轴对称图形,对称轴是两底中点的连线所在的直线。
2.等腰梯形同一底上两底角相等。
3.等腰梯形的对角线相等。
等腰梯形的判定:
1.在同一底上的2个底角相等的梯形是等腰梯形。
补充:对角线相等的梯形是等腰梯形。
第二章 勾股定理与平方根
2.1勾股定理
1.勾股定理
直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即
2.勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a,b,c有关系,那么这个三角形是直角三角形。
2.2神秘的数组
勾股数:满足的三个正整数,称为勾股数。
2.3平方根
1.平方根
1.平方根:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根(或二次方根)。
表示方法:正数a的平方根记做“”,读作“正、负根号a”。
性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
开平方:求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。
注意的双重非负性:
0
2.算术平方根:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地,0的算术平方根是0。
表示方法:记作“”,读作根号a。
性质:正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。
2.4平方根
立方根:一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a那么这个数x就叫做a 的立方根(或三次方根)。
表示方法:记作
性质:一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。
注意:,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
2.5实数
1.实数的概念及分类
正有理数
有理数 零 有限小数和无限循环小数
1)实数 负有理数
正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数
2) 3)
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反之,数轴上的每一个点都表示一个实数,实数与数轴上的点一一对应。
2.无理数:无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类:
(1)开方开不尽的数,如等;
(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如+8等;
(3)有特定结构的数,如0.1010010001…等;
3.实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数是一对数(零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a与b互为相反数,则有a+b=0,a=—b,反之亦成立。
2、绝对值
在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。(|a|≥0)。零的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0。
3、倒数
如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
4、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)。
解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。
5、估算
4.实数大小的比较
1、实数比较大小:正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数;数轴上的两个点所表示的数,右边的总比左边的大;两个负数,绝对值大的反而小。
2、实数大小比较的几种常用方法
(1)数轴比较:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。
(2)求差比较:设a、b是实数,
(3)求商比较法:设a、b是两正实数,
(4)绝对值比较法:设a、b是两负实数,则。
(5)平方法:设a、b是两负实数,则。
5.实数的运算
(1)六种运算:加、减、乘、除、乘方 、开方
(2)实数的运算顺序
先算乘方和开方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,就先算括号里面的。
(3)运算律
加法交换律
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
乘法对加法的分配律
2.6近似数与有效数字
近似数:(测量结果都是包含误差的近似数)
有效数字:对一个近似数,从左边第一个不是0的数字起,到末尾数字止,所有数字称为这个近似数的有效数字。
注:当保留n位有效数字,若第n+1位数字≤4就舍掉,若第n+1位数字≥5时,则第n位数字进1。
科学记数法
一般地,一个大于10的数可以表示成的形式,其中,n是正整数,这种记数方法叫做科学记数法。
第三章 中心对称图形(一)
3.1图形的旋转
1.旋转
定义
在平面内,将一个图形绕某一定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转,这个定点称为旋转中心,转动的角叫做旋转角。
性质
旋转前后两个图形是全等图形,对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角。
3.2.中心对称与中心对称图形
1.中心对称 :
定义:在平面内,一个图形绕某个点旋转180°,如果旋转前后的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做它的对称中心。
性质:(1)关于中心对称的两个图形是全等形。
(2)关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分。
(3)关于中心对称的两个图形,对应线段平行(或在同一直线上)且相等。
判定:如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称。
2.中心对称图形:把一个平面图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。
3.3平行四边形
1.四边形的相关概念
1、四边形
在同一平面内,由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形。
2、四边形具有不稳定性
3、四边形的内角和定理及外角和定理
四边形的内角和定理:四边形的内角和等于360°。
四边形的外角和定理:四边形的外角和等于360°。
推论:多边形的内角和定理:n边形的内角和等于180°;
多边形的外角和定理:任意多边形的外角和等于360°。
2.平行四边形
定义:两组对边分别平行的四边形
性质:1. 两组对边分别相等 2.两组对角分别相等 3.对角线互相平分
判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3.对角线互相平分的四边形是平行四边形4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
3.两条平行线的距离
两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线的距离。
平行线间的距离处处相等。
4.平行四边形的面积
S平行四边形=底边长×高=ah
3.4矩形 、菱形、正方形
1.矩形
定义:有一个角是直角的平行四边形
性质:1..对角线相等(对角线把矩形分为四个等腰三角形)
2.四个角都是直角
判定:1.有一个角是直角的平行四边形是矩形 2.三个角都是直角的四边形是矩形
3.对角线相等的平行四边形是矩形
形
矩形的面积
S矩形=长×宽=ab
2. 菱形:
定义:有一组邻边相等的平行四边形
性质:1.四条边都相等 2.对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角(对角线把菱形分为四个全等的直角三角形)面积公式S=1/2ab
判定:1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
3.四条边都相等的四边形是菱形
面积:
S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半
3.正方形:
定义:有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形
性质:1.四边相等,邻边垂直,对边平行 2.四个角都是直角
3.两对角线相等,互相垂直平分, 每条对角线平分一组对角
判定:1.一组邻边相等的矩形是正方形 2.一个角是直角的菱形是正方形
3.对角线互相垂直的矩形是正方形 4.对角线相等的菱形是正方形(3)菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角
面积:
设正方形边长为a,对角线长为b
S正方形=
3.5三角形、梯形的中位线
1.三角形的中位线
定义:连接三角形两边中点的线段
性质:三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半
2.梯形的中位线
定义:连接梯形两腰中点的线段
性质:梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半
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