资源描述
第二章 函数、导数及其应用
第1讲 函数及其表示
一、必记3个知识点
1．函数映射的概念
函数
映射
两集合
A，B
设A，B是两个非空数集
设A，B是两个非空集合
对应
关系
f：A→B
如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B是一个映射
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
二、必明3个易误区
1．解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则．
2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．
3．误把分段函数理解为几种函数组成．
三、必会4个方法
求函数解析式的四种常用方法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的范围；
(4)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x)．
考点一
函数与映射的概念
1.下列四组函数中，表示同一函数的是( )
A．y＝x－1与y＝ B．y＝与y＝
C．y＝4lg x与y＝2lg x2 D．y＝lg x－2与y＝lg
考点二
函数的定义域问题
角度一 求给定函数解析式的定义域
1.函数y＝ln＋的定义域为________．
角度二 已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域
2．已知函数f(x)的定义域是[－1,1]，求f(log2x)的定义域
考点三
求函数的解析式
[典例] (1)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式；
(2)已知f＝lg x，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)．
[针对训练]已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．
考点四
分段函数
[典例] (1)已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值为( )
A．－3 B．－1或3
C．1 D．－3或1
(2)已知函数f(x)＝则f＝________.
课后作业
[试一试]
1．函数y＝ ln(1－x)的定义域为( )
A．(0,1) B．[0,1)
C．(0,1] D．[0,1]
2．若函数f(x)＝则f(f(10))＝( )
A．lg 101 B．2 C．1 D．0
[练一练]
1．设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则f(x)等于( )
A．－2x＋1 B．2x－1 C．2x－3 D．2x＋7
2．若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(x)＝________.
做一做
1．下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为( )
A．y＝ B．y＝ C．y＝xex D．y＝
2．(2014·广州调研)已知函数f(x)＝则f的值是( )
A．9 B. C．－9 D．－
3．函数y＝(x＋1)0＋ln(－x)的定义域为________．
4．已知f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)＝________.
5．有以下判断：
(1)f(x)＝与g(x)＝表示同一个函数．
(2)f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数．
(3)若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝0.
其中正确判断的序号是________．
6．已知集合A＝[0,8]，集合B＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从A到B的映射的是( )
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x C．f：x→y＝x D．f：x→y＝x
7．函数f(x)＝的定义域是( )
A．{x|x≠－} B．{x|x>－}
C．{x|x≠－且x≠1} D．{x|x>－且x≠1}
8．二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x)>2x＋5.
第2讲 函数的单调性与最值
一、必记3个知识点
1．增函数、减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1<x2，则有：
(1)f(x)在区间D上是增函数⇔f(x1)<f(x2)；
(2)f(x)在区间D上是减函数⇔f(x1)>f(x2)．
2．单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
3．函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
①对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
二、必明2个易误区
1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．
2．两函数f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但f(x)·g(x)，等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．
三、必会2个方法
1．判断函数单调性的四种方法
(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；
(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数；
(3)图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，可由图像的直观性判断函数单调性．
(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性．
2．求函数最值的五个常用方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．
(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．
(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．
提醒：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域．
考点一
求函数的单调区间
1.函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．
考点二
函数单调性的判断
[典例] 试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
[针对训练]
判断函数g(x)＝在 (1，＋∞)上的单调性．
考点三
函数单调性的应用
角度一 求函数的值域或最值
1．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
角度二 比较两个函数值或两个自变量的大小
2．已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
角度三 解函数不等式
3．已知定义在R上的函数f(x)是增函数，则满足f(x)<f(2x－3)的x的取值范围是________．
角度四 求参数的取值范围或值
4．已知函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2，都有<0成立，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，2) B. C．(－∞，2] D.
[试一试]
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝ln(x＋2) B．y＝－
C．y＝x D．y＝x＋
2．函数f(x)＝x2－2x(x∈[－2,4])的单调增区间为______；f(x)max＝________.
[练一练]
1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．y＝ B．y＝e－ C．y＝－x2＋1 D. y＝lg|x|
2．函数f(x)＝在区间[2,3]上的最大值是________，最小值是________．
做一做
1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x|
2．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是( )
A．[1,2] B．[－1,0] C．[0,2] D．[2，＋∞)
3．已知函数f(x)为R上的减函数，若m<n，则f(m)______f(n)；若f<f(1)，则实数x的取值范围是________．
4．函数f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．
5．函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是递增的，求实数a的取值范围．
6.定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a<b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]的最大值等于( )
A．－1 B．1 C．6 D．12
7．已知奇函数f(x)对任意的正实数x1，x2(x1≠x2)，恒有(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0，则一定正确的是( )
A．f(4)>f(－6) B．f(－4)<f(－6) C．f(－4)>f(－6) D．f(4)<f(－6)
第二章 函数、导数及其应用
第3讲 函数的奇偶性及周期性
一、必记2个知识点
1．函数的奇偶性
奇偶性
定 义
图像特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数：
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
二、必明3个易误区
1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．
2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)、f(－x0)＝f(x0)．
3．分段函数奇偶性判定时，f(－x0)＝f(x0)利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的．
三、必会2个方法
1．判断函数奇偶性的两个方法
(1)定义法：
(2)图像法：
2．周期性常用的结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a；
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a.(a>0)
考点一
函数奇偶性的判断
判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝3x－3－x； (4)f(x)＝；
(5)f(x)＝
考点二
函数奇偶性的应用
[典例] (1)(2013·山东高考)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时， f(x) ＝x2＋，则f(－1)＝( )
A．－2 B．0 C．1 D．2
(2)已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f(1－m)＋f(1－m2)<0的实数m的取值范围．
一题多变：本例(2)中条件在区间[－2,0]上“递减”变为“递增”，试想m的范围改变吗？若改变，求m的取值范围
[针对训练]
1．设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．
2．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，若f(a)≥f(2)，则实数a的取值范围是________．
考点三
函数的周期性及其应用
[典例] 定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝( )
A．335 B．338
C．1 678 D．2 012
[针对训练]
设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．
课后作业
[试一试]
1．(2013·广东高考)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是( )
A．－ B. C. D．－
[练一练]
3已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f，且f(1)＝2，则f(2 014)＝________.
4．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝( )
A．－ B．－ C. D.
5．(2014·大连测试)下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )
A．y＝－ B．y＝log2|x|
C．y＝1－x2 D．y＝x3－1
6．设函数f(x)＝x3cos x＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________.
7．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
8．设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[－2,0]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围．
9．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( )
A．(1,3) B．(－1,1)
C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)
10．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝1－x，则：
①2是函数f(x)的周期；
②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；
③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；
④当x∈(3,4)时，f(x)＝x－3.
其中所有正确命题的序号是________．
第二章 函数、导数及其应用
第4讲 函数的图像
一、必记2个知识点
1．利用描点法作函数图像
其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；
最后：描点，连线．
2．利用图像变换法作函数的图像
(1)平移变换：
y＝f(x)y＝f(x－a)； y＝f(x)y＝f(x)＋b.
(2)伸缩变换：
y＝f(x) y＝f(ωx)； y＝f(x)y＝Af(x)．
(3)对称变换：
y＝f(x)y＝－f(x)； y＝f(x)y＝f(－x)；
y＝f(x)y＝－f(－x)．
(4)翻折变换：
y＝f(x)y＝f(|x|)； y＝f(x)y＝|f(x)|.
二、必明2个易误区
1．在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图像对应的解析式，这样才能避免出错．
2．明确一个函数的图像关于y轴对称与两个函数的图像关于y轴对称的不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同函数的对称关系．
三、必会2个方法
1．数形结合思想
借助函数图像，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质；利用函数的图像，还可以判断方程f(x)＝g(x)的解的个数、求不等式的解集等．
2．分类讨论思想
画函数图像时，如果解析式中含参数，还要对参数进行讨论，分别画出其图像．
考点一
作函数的图像
分别画出下列函数的图像：
(1)y＝|lg x|； (2)y＝2x＋2； (3)y＝x2－2|x|－1.
考点二
识图与辨图
[典例] (1)(2013·福建高考)函数f(x)＝ln(x2＋1)的图像大致是( )
(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图像如图所示，则y＝－f(2－x)的图像为( )
[针对训练]
1．函数y＝xsinx在[－π，π]上的图像是( )
2.如图，函数f(x)的图像是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f的值等于________．
考点三
函数图像的应用
角度一 确定方程根的个数
1．已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是___．
角度二 求参数的取值范围
2．对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数(x2－2)⊗(x－1)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )
A．(－1,1]∪(2，＋∞) B．(－2，－1]∪(1,2]
C．(－∞，－2)∪(1,2] D．[－2，－1]
课后作业
[试一试]
1.函数y＝log2(|x|＋1)的图像大致是( )
[练一练]
2.若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．
做一做
3．函数y＝x|x|的图像经描点确定后的形状大致是( )
4．函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝( )
A．ex＋1 B．ex－1 C．e－x＋1 D．e－x－1
5.已知函数f(x)的图像如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是________．
6．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．
7．函数f(x)＝2x3的图像( )
A．关于y轴对称 B．关于x轴对称
C．关于直线y＝x对称 D．关于原点对称
8．函数y＝的图像大致是( )
9．为了得到函数y＝2x－3－1的图像，只需把函数y＝2x的图像上所有的点( )
A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
10．函数y＝的图像大致是( )
11.．函数f(x)＝图像的对称中心为________．
12．已知函数f(x)＝2x，x∈R.
当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？
第二章 函数、导数及其应用
第5讲 二次函数与幂函数
一、必记3个知识点
1．五种常见幂函数的图像与性质
函数
特征
性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
图像
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
(－∞，0]减，(0，＋∞)增
增
增
(－∞，0)和(0，＋∞)减
公共点
(1,1)
2．二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
3．二次函数的图像和性质
二、必明2个易误区
1．研究函数f(x)＝ax2＋bx＋c的性质，易忽视a的取值情况而盲目认为f(x)为二次函数．
2．形如y＝xα(α∈R)才是幂函数，如y＝3x不是幂函数．
三、必会3个方法
1．函数y＝f(x)对称轴的判断方法
(1)对于二次函数y＝f(x)，如果定义域内有不同两点x1，x2且f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)的图像关于x＝对称．
(2)二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称(a为常数)．
2．与二次函数有关的不等式恒成立两个条件
(1)ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是
(2)ax2＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要条件是
3．两种数学思想
(1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路．
(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，讨论二次方程根的大小等．
考点一
幂函数的图像与性质
1.图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的图像．已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α值依次为________．
2．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．
考点二
求二次函数的解析式
[典例] 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
[针对训练]
已知y＝f(x)为二次函数，且f(0)＝－5，f(－1)＝－4，f(2)＝－5，求此二次函数的解析式．
考点三
二次函数的图像与性质
角度一 轴定区间定求最值
1．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]，当a＝－2时，求f(x)的最值．
角度二 轴动区间定求最值
2．已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，求a的值．
角度三 轴定区间动求最值
3．设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(a)，求g(a)．
课后作业
[试一试]
1．若f(x)既是幂函数又是二次函数，则f(x)可以是( )
A．f(x)＝x2－1 B．f(x)＝5x2 C．f(x)＝－x2 D．f(x)＝x2
2．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图像在x轴上方，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
[练一练]
如果函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的图像关于直线x＝1对称，则函数f(x)的最小值为________．
做一做
1．下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是( )
A．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1
B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1
C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1
D．①y＝x，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1
2．已知函数h(x)＝4x2－kx－8在[5,20]上是单调函数，则k的取值范围是( )
A．(－∞，40] B．[160，＋∞) C．(－∞，40]∪[160，＋∞) D．∅
3．二次函数的图像过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式为_______．
4．若二次函数f(x)＝ax2－4x＋c的值域为[0，＋∞)，则a，c满足的条件是________．
5．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？
6．函数y＝x－x的图像大致为( )
7．“a＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的_______条件．
8．若函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a等于_____ ．
9．已知函数f(x)＝x2＋bx＋1是R上的偶函数，则实数b＝________，不等式f(x－1)<x的解集为________．
10．已知幂函数f(x)＝x (m∈N*)，经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
11．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a，b的值；(2)若b<1，g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上单调，求m的取值范围
第二章 函数、导数及其应用
第6讲 指数与指数函数
一、必记3个知识点
1．根式的性质
(1)()n＝a.(2)当n为奇数时＝a；当n为偶数时＝
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念：
①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
②负分数指数幂：a＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的性质：
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．指数函数的图像与性质
y＝ax
a>1
0<a<1
图像
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0,1)
当x>0时，y>1；x<0时，0<y<1
当x>0时，0<y<1；x<0时，y>1
在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
二、必明2个易误区
1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．
2．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图像和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a>1或0<a<1.
三、必会2个方法
1．对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(a2x＋b·ax＋c≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决．
2．指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按0<a<1和a>1进行分类讨论．
考点一
指数幂的化简与求值
求值与化简：
(1)0＋2－2·－(0.01)0.5； (2)a·b－2·(－3ab－1)÷(4a·b－3)； (3)
考点二
指数函数的图像及应用
[典例] (1)(2012·四川高考)函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图像可能是( )
(2)已知实数a，b满足等式a＝b，下列五个关系式：
①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.
其中不可能成立的关系式有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[针对训练]
1．在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝x的图像之间的关系是( )
A．关于y轴对称 B．关于x轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
2．方程2x＝2－x的解的个数是________．
考点三
指数函数的性质及应用
[典例] 已知f(x)＝(ax－a－x)(a>0，且a≠1)．
(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性．
一题多变
在本例条件下，当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围.
课后作业
[试一试]
1．化简[(－2)6]－(－1)0的结果为( )
A．－9 B．7 C．－10 D．9
2．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．
[练一练]
1．函数y＝ 的定义域为________．
2．若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝________.
做一做
1．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)等于( )
A．5 B．7 C．9 D．11
2．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图像经过点(2,1)，则f(x)的值域( )
A．[9,81] B．[3,9] C．[1,9] D．[1，＋∞)
3．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．
4．已知正数a满足a2－2a－3＝0，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．
5．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．
6．函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的图像恒过点A，下列函数中图像不经过点A的是( )
A．y＝ B．y＝|x－2| C．y＝2x－1 D．y＝log2(2x)
7．函数y＝ 的值域是( )
A．(0，＋∞) B．(0,1) C．(0,1] D．[1，＋∞)
8．函数f(x)＝2|x－1|的图像是( )
9．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>c>a
10.计算：×0＋8×－ ＝________.
11．设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．
第二章 函数、导数及其应用
第7讲 对数与对数函数
一、必记4个知识点
1．对数的定义
如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数的性质与运算及换底公式
(1)对数的性质(a>0且a≠1)： ①loga1＝0；②logaa＝1；③alogaN＝N.
(2)对数的换底公式： 基本公式：logab＝(a，c均大于0且不等于1，b>0)．
(3)对数的运算法则：如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(M·N)＝logaM＋logaN， ②loga＝logaM－logaN， ③logaMn＝nlogaM(n∈R)．
3．对数函数的图像与性质
a>1
0<a<1
图像
定义域
(0，＋∞)
值域
R
定点
过点(1,0)
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
函数值正负
当x>1时，y>0；
当0<x<1，y<0
当x>1时，y<0；
当0<x<1时，y>0
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．
二、必明2个易误区
1．在运算性质logaMn＝nlogaM中，易忽视M>0.
2．解决与对数函数有关的问题时易漏两点： (1)函数的定义域； (2)对数底数的取值范围．
三、必会2个方法
1．对数值的大小比较的基本方法
(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；(3)利用中间量(0或1)；(4)化同真数后利用图像比较．
2．明确对数函数图像的基本点
(1)当a>1时，对数函数的图像“上升”；当0<a<1时，对数函数的图像“下降”．
(2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，函数图像只在第一、四象限．
考点一
对数式的化简与求值
1.(2013·陕西高考)设a，b，c均为不等于1的正实数， 则下列等式中恒成立的是( )
A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac
2．计算下列各题：
(1)lg＋lg 70－lg 3－； (2)lg－lg＋lg
考点二
对数函数的图像及应用
典例 当0<x≤时，4x<logax，则a的取值范围是( )
A. B. C．(1，) D．(，2)
一题多解
若本例变为：若不等式(x－1)2<logax在x∈(1,2)内恒成立，则实数a的取值范围为________.
[针对训练]
若函数f(x)＝loga(x＋b)的大致图像如图，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的大致图像
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
