高三物理公式证明题.doc

高中物理公式推导类问题
【1】证明运动学中的几个推论
设物体做匀变速运动，初速度为v0，末速度为vt，加速度为a，运动时间为t，中间时刻的速度为vt/2，中间位置的速度为vs/2，证明：
1．
2.
3.vt2-vo2=2as
4.Δs=aT2
[证明]1．根据运动学公式：vt=vo+at, s=vot+at2/2,
中间时刻的速度：vt/2=vo+at/2
平均速度：
又(v0+vt)/2=(v0+v0+ at)/2= vo+at/2,
所以
2．vt2-vo2=2as……（1） vs/22-vo2=2a(s/2)……（2)
(1)/(2):vs/22=(vo2+vt2)/2,
所以有
3.根据vt=vo+at, 得：t=(vt-vo)/a,把t代入
s=vot+at2/2, 得：vt2-vo2=2as
4.从第一个T秒开始时计时，在该时刻t=0,速度为v0，有：
s1=v0T+aT2/2, s2=（v0+aT）T+aT2/2, s3=（v0+2aT）T+aT2/2,……
sn=[v0+（n-1）aT]T+aT2/2,
s2 -s1= s3 –s2=……=Δs=aT2
【2】证明：万有引力定律F = GMm/r2
证明：设有两个孤立物体质量分别为M、m，相距较远间距为r，m绕M作匀速圆周运动周期为T
M对m的万有引力F提供向心力：F = m(2π/T)2r ①
由开普勒第三定律： r3/ T2 = 常数 ②
由①②得：F = (2π)2m( r3/ T2) /r2 即F∝m/r2 ③
由牛顿第三定律可知：m对M的万有引力大小也为F，且具有相同的性质
所以，m对M的万有引力F∝M/r2　　　　　　　　　　　 ④
综合③④得：F∝Mm/r2
万有引力定律F = GMm/r2 (其中G为引力常量)
【5】质量为m的物体与地心的距离为r时，物体和地球间引力势能可表示为（设物体在离地球无限远处的势能为零），其中G为引力常量，M为地球质量。当物体在地球表面的速度等于或大于某一速度时，物体就可以挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造行星，这个速度叫做第二宇宙速度。证明：第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系为v2=v1。

【6】(1)试在下述简化情况下，由牛顿定律和运动学公式导出动量定理表达式：一个运动质点只受到一个恒力作用，沿直线运动。要求说明推导过程中每步的根据，以及最后结果中各项的意义．
解：(1)如图所示,一物体放在光滑的水平面上,设在恒力F的作用下,
开始时物体的初速度为V1,经过t时间后,物体的速度变为V2
V1
V2
F
F
由牛顿第二定律得： ①
由运动学公式得: ②
由①②可得: ,由此式变形得:
式中:表示物体在t时间内物体受到合外力的冲量；表示物体在这段时间的末动量；表示物体在这段时间的初动量
【7】：设计物理情境用牛顿运动定律推导动量守恒公式。
如下图所示，在光滑的水平面上做匀速直线运动的两个小球，质量分别为和，沿着同一个方向运动，速度分别为 和 （且），则它们的总动量(动量的矢量和)。当第二个球追上第一个球并发生碰撞，碰撞后的速度分别为和，此时它们的动量的矢量和，即总动量。下面从动量定理和牛顿第三定律出发讨论p和p′有什么关系。
【推导过程】：根据牛顿第二定律，碰撞过程中两球的加速度分别是：，
根据牛顿第三定律，F1、F2大小相等、方向相反，即：F1= - F2
所以：
碰撞时两球之间力的作用时间很短，用表示，这样，加速度与碰撞前后速度的关系就是：，
把加速度的表达式代入，并整理得：

上述情境可以理解为：以两小球为研究对象，系统的合外力为零，系统在相互作用过程中，总动量是守恒的——即动量守恒表达式。
【9】证明机械能守恒定律：在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但总的机械能保持不变．
证明：如图所示，取地面为零势能点，设物体只受重力作用，
向下做自由落体运动。在位置1时速度为v1，高度为h1，
在位置2时速度为v2，高度为h2
由匀加速运动公式可得：v22-v12 = 2g(h1-h2)
v12+2gh1 = v22+2gh2
mv12/2+mgh1 = m v22/2+mgh2
【10】证明动能定理：合外力对物体所做的功等于物体动能的增加．
证明：设一个质量为m的物体原来的速度为v1，动能为mv12/2，在恒定的合外力F的作用下，发生一段位移s，速度为v2，动能增加到mv22/2，设合外力方向与运动方向相同.
由运动学公式v22-v12 =2as得：s = (v22-v12)/2a
合外力F做的功W = Fs，根据牛顿第二定律F = ma
所以Fs = ma(v22-v12)/2a = mv22/2- mv12/2
或W = EK2- EK1
【14】证明：导体切割磁感线产生的电动势ε= BLv.
证明一：如图所示，假设垂直水平轨道放置的导体棒长L，以速度v在轨道上向右运动，设在Δt时间内棒由原来的位置ab移到cd，这时线框的面积变化量ΔS = LvΔt
穿过闭合电路的磁通量变化量：ΔΦ= BΔS = BLvΔt
由法拉第电磁感应定律：ε=ΔΦ/Δt,将上式代入得：
导体切割磁感线产生的电动势：ε= BLv
证明二：如图所示，假设导体棒长L，以垂直导体棒的速度v水平向右
v
运动，有一垂直纸面向里的匀强磁场磁感应强度大小为B
由左手定则可知：棒中自由电子e受洛仑兹力f = evB作用向下运动，
使棒上下端产生电势差ε，形成的电场强度大小为E =ε/L
当f = eE 时，棒中产生稳定的电动势：ε= BLv
【15】求证：电流与自由电子定向移动速率的关系式I=neSv．
证明：如图所示,设对一段导线通以强度为I的电流，导线截面积为S，电子定向移动速率为v，单位体积内自由电子数为n，通电时间为t
则在这段时间内，自由电子定向移动的距离为L = vt
通过导线截面的电量为q = enV = enSL = neSvt
所以电流为I = q/t = neSv
【16】证明：洛仑兹力公式f = qvB.
证明：设导线中单位体积内含有的自由运动电荷数是n，每个自由电荷的电量是q，自由电荷的平均定向移动速率是v，导线的横截面积是S，那么通过导线的电流就是 I = nqvS
磁场对电流的作用力是F=ILB．这个力可看作是作用在每个自由运动电荷上的洛仑兹力的合力，设洛仑兹力为f，这段导线内自由运动电荷的总数为N，则
Nf = F，即Nf = ILB
代入I = nqvS，得到Nf = nqvSLB
又N等于单位体积内的运动电荷数跟体积的乘积，即N = nSL
因此上式简化为f = qvB
【17】．求证：半径公式r=mv/Bq，周期公式T=2πm/Bq
证明：如图所示，设一带电粒子质量为m，带电量为q，匀强磁场的磁感强度为B，粒子做匀速圆周运动的向心力为洛仑兹力，即 Fn=qvB=mv2/r
所以运动半径为r=mv/Bq． 根据周期公式T=2πr/v,将r=mv/Bq代入得
带电粒子的运动周期为T=2πm/Bq．
【18】如图1 所示：一根导体棒oa 长度为L，电阻不计，绕o 点在垂直于匀强磁场B 的平面内以角速度ω做匀速圆周运动，求其产生的电动势。
解法一：假想电路法
假想导体棒与一个定值组成闭合回路（如图2 所示），利用法拉第电磁感应定律公式 求解。此公式在高中阶段一般用于求感应电动势的平均值，不用来求瞬时值，但本题中棒切割磁感线的角速度恒定，产生的感应电动势大小也是定值，故平均值与瞬时值相同，可以用此公式求金属棒产生电动势的瞬时值。假设棒与某个电阻R 组成了一个闭合回路，经过时间△t，棒转过了角度θ，则闭合电路的磁通量增加量为：

由楞次定律可知，闭合电路的磁通量在增大，感应电流的磁场应垂直纸面向外。如果形成感应电流，则方向由o→a，故电动势的方向o→a，a 点电势高于o 点电势，a 点相当于电源的正极。
解法二：利用法拉第电磁感应公式的导出公式E=Blv 求解。
由于杆上各点的线速度都不相同，并且各点的线速度大小正比于该点到o点的距离。o点速度为零，a点速度最大，为ωl，则整个杆的平均速度为2ωl，相当于棒中点瞬时速度的大小。产生的电动势
由右手定则可以判断电动势的方向为o→a，a 点的电势高于o 点的电势，即a 点相当于电源的正极。
由于解法二比较简洁，故以下拓展在不涉及能量转化问题时均用解法二。

下面留几个问题给同学回归课本自己再思考，并希望能够动笔自己尝试去推导：
（1） 摩擦生热公式的推导证明：
（2） 月球第二宇宙速度的推导和证明：
（3） 闭合电路中输出功率随外电阻的变化关系公式的推导，以及当内外电阻相等时有最大功率，最大功率的值是多少。
（4） 证明电场力做功与路径无关，只与初末位置的电势差有关。
（5） 在机车启动过程中去证明瞬时功率的表达式。
（6） 证明单摆在角度很小的情况下，才能认为是简谐运动？
（7） 推导斜抛运动的轨迹方程和水平射程表达式。
【2014安徽高考猜想题】质量为m的物体与地心的距离为r时，物体和地球间引力势能可表示为（设物体在离地球无限远处的势能为零），其中G为引力常量，M为地球质量。当物体在地球表面的速度等于或大于某一速度时，物体就可以挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造行星，这个速度叫做地球的第二宇宙速度。现在已知月球半径约1738公里，是地球的3/11。质量约7350亿亿吨，相当于地球质量的1/81，地球第一宇宙速度为7.9km/s。请同学根据以上信息和你所学习的知识，推导月球第二宇宙速度的表达式，并算出具体数值。（）。