高一数学函数单调性的证明-PPT.ppt

回顾回顾我们初中学过的函数我们初中学过的函数xyOxyOxyO-1例例1 1：画出下列函数的图象：画出下列函数的图象（1）y=xxyy=xO11例例1 1：画出下列函数的图象：画出下列函数的图象（1）y=xxyy=xO11例例1 1：画出下列函数的图象：画出下列函数的图象（1）y=x 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 y随随x的增大而减小；的增大而减小；xyy=xO11例例1 1：画出下列函数的图象：画出下列函数的图象（1）y=x 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 y随随x的增大而减小；的增大而减小；x1f(x1)xyy=xO11例例1 1：画出下列函数的图象：画出下列函数的图象（1）y=x 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 y随随x的增大而减小；的增大而减小；x1f(x1)xyy=xO11例例1 1：画出下列函数的图象：画出下列函数的图象（1）y=x 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 y随随x的增大而减小；的增大而减小；x1f(x1)xyy=xO11例例1 1：画出下列函数的图象：画出下列函数的图象（1）y=x 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 y随随x的增大而减小；的增大而减小；x1f(x1)xyy=xO11例例1 1：画出下列函数的图象：画出下列函数的图象（1）y=x 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 y随随x的增大而减小；的增大而减小；x1f(x1)（-,+）（2）y=x2例例1 1：画出下列函数的图象：画出下列函数的图象Oxyy=x2（2）y=x2例例1 1：画出下列函数的图象：画出下列函数的图象11Oxyy=x2（2）y=x2例例1 1：画出下列函数的图象：画出下列函数的图象11 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 内内y随随x的增大而减小。的增大而减小。Oxyy=x2（2）y=x2例例1 1：画出下列函数的图象：画出下列函数的图象11 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 内内y随随x的增大而减小。的增大而减小。x1f(x1)Oxyy=x2（2）y=x2例例1 1：画出下列函数的图象：画出下列函数的图象11 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 内内y随随x的增大而减小。的增大而减小。f(x1)x1Oxyy=x2（2）y=x2例例1 1：画出下列函数的图象：画出下列函数的图象11 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 内内y随随x的增大而减小。的增大而减小。f(x1)x1Oxyy=x2（2）y=x2例例1 1：画出下列函数的图象：画出下列函数的图象11 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 内内y随随x的增大而减小。的增大而减小。f(x1)x1Oxyy=x2（2）y=x2例例1 1：画出下列函数的图象：画出下列函数的图象11 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 内内y随随x的增大而减小。的增大而减小。f(x1)x1Oxyy=x2（2）y=x2例例1 1：画出下列函数的图象：画出下列函数的图象11 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 内内y随随x的增大而减小。的增大而减小。f(x1)x1Oxyy=x2（2）y=x2例例1 1：画出下列函数的图象：画出下列函数的图象11 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 内内y随随x的增大而减小。的增大而减小。f(x1)x1（-,0 0 0,+)0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x)y=f(x)图象图象特征特征数量数量特征特征0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x)y=f(x)图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升数量数量特征特征0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x)y=f(x)图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升数量数量特征特征y随随x的增大而增大的增大而增大0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x)y=f(x)图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升从左至右，图象下降从左至右，图象下降数量数量特征特征y随随x的增大而增大的增大而增大0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x)y=f(x)图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升从左至右，图象下降从左至右，图象下降数量数量特征特征y随随x的增大而增大的增大而增大y随随x的增大而减小的增大而减小0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x)y=f(x)图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升从左至右，图象下降从左至右，图象下降数量数量特征特征y随随x的增大而增大的增大而增大当当x1x2时，时，f(x1)f(x2)y随随x的增大而减小的增大而减小0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x)y=f(x)图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升从左至右，图象下降从左至右，图象下降数量数量特征特征y随随x的增大而增大的增大而增大当当x1x2时，时，f(x1)f(x2)一般地，设函数一般地，设函数y f(x)的定义域为的定义域为I，区间，区间D I 如果对于区间如果对于区间D内的任意两个值内的任意两个值x1、x2，当，当x1x2时，都时，都有有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说yf(x)在区间在区间D上是单调增函数，上是单调增函数，D称为称为yf(x)的单调增区间的单调增区间 如果对于区间如果对于区间D D内的任意两个值内的任意两个值x1、x2，当当x1x2时时，都都有有f(x1)f(x2)，那么就说那么就说yf(x)在区间在区间D上是单调减函数上是单调减函数，D称为称为yf(x)的单调减区间的单调减区间 若函数若函数yf(x)在区间在区间D上是单调增函数或单调减函数上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数那么就说函数yf(x)在区间在区间D上具有单调性上具有单调性单调增区间单调增区间和单调减区间统称为单调区间和单调减区间统称为单调区间 1 1、单调增函数与单调减函数单调增函数与单调减函数区间区间D任意任意当当x1x2时，都时，都有有f(x1)f(x2)2 2、单调性、单调区间、单调性、单调区间证明：函数证明：函数 在在R R上是单调减函数上是单调减函数证：在证：在R R上任意取两个值上任意取两个值 ，且，且 ，即即 在在R R上是单调减函数上是单调减函数取值取值作差变形作差变形定号定号下结论下结论例例2证明：函数证明：函数 在区间在区间(1 1，）上是单调上是单调增增函数函数证：在区间证：在区间(1 1，）上任意取两个值）上任意取两个值 ，且，且 ，在区间（在区间（1 1，）上是）上是单调增函数单调增函数 即即 取值取值作差变形作差变形定号定号则则下结论下结论例例3证：在区间（证：在区间（，0 0）上任意取两个值）上任意取两个值 ，且，且 ，即即 证明：函数在区间（证明：函数在区间（，0）上是单调减函数上是单调减函数 在区间（在区间（，0 0）上是单调减函数）上是单调减函数取值取值作差变形作差变形定号定号则则下结论下结论例例4例例5 试判断函数试判断函数y=x2+x 在（在（0，）上）上是增函数还是减函数？并给予证明。是增函数还是减函数？并给予证明。解：函数解：函数y=x2+x 在（在（0，）上是增函数）上是增函数下面给予证明：下面给予证明：设设 x1 1，x2 2 为区间为区间(0,)上的任意两个值，且上的任意两个值，且x1 1 x2 2，则则f(x1)f(x2)=(x12+x1)(x22+x2)=(x12 x22)+(x1 x2)又又 x2 x1 0，所以函数所以函数y=x2+x 在（在（0，）上是增函数）上是增函数=(x1 x2)(x1+x2)+(x1 x2)=(x1 x2)(x1+x2+1)所以所以x1 x2 0，x1+x2+1 0，所以所以f(x1)f(x2)0用定义法证明函数单调性的步骤：用定义法证明函数单调性的步骤：取值；取值；作差变形；作差变形；定号；定号；下结论下结论问题问题 讨论函数讨论函数 的单调性的单调性思考思考xyO11判断函数单调性的方法判断函数单调性的方法：1、图象法、图象法 2、代数论证法、代数论证法证明函数的单调性常用步骤：证明函数的单调性常用步骤：(1)取值取值(2)作差变形作差变形(3)定号定号 (4)下结论下结论小结小结