高二空间几何练习题.doc

练习1
一、选择题：
1．a、b是两条异面直线，下列结论正确的是 （ ）
A．过不在a、b上的任一点，可作一个平面与a、b都平行
B．过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都相交
C．过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都平行
D．过a可以且只可以作一个平面与b平行
2．空间不共线的四点，可以确定平面的个数为 ( )
Ａ． Ｂ． Ｃ．或 Ｄ．无法确定
3．在正方体中，、分别为棱、的中点，则异面直线和 所成角的正弦值为 ( )
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4．已知平面平面,是内的一直线,是内的一直线,且，则:①；②；③或；④且。这四个结论中，不正确的三个是( )
Ａ．①②③ Ｂ．①②④ Ｃ．①③④ Ｄ．②③④
5.一个简单多面体的各个面都是三角形，它有6个顶点，则这个简单多面体的面数是 ( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
6. 在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两地，两地经度差为90°，则甲、乙两地最短距离为（设地球半径为R） ( )
A. B. C. D.
7. 直线l⊥平面α，直线m平面β，有下列四个命题： (1) (2) (3) (4) 其中正确的命题是 ( )
A. (1)与(2) B. (2)与(4) C. (1)与(3) D. (3)与(4)
8. 正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成角为α，则下列不等式成立的是 ( )
A. B. C. D.
9．中，，，，所在平面外一点到点、、的距离都是，则到平面的距离为 ( )
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
10．在一个的二面角的一个平面内有一条直线与二面角的棱成角，则此直线与二面角的另一个平面所成角的大小为 ( )
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
11. 如图,E, F分别是正方形SD1DD2的边D1D,DD2的中点,沿SE,SF,EF
将其折成一个几何体,使D1,D,D2重合,记作D.给出下列位置关系:
①SD⊥面DEF; ②SE⊥面DEF; ③DF⊥SE; ④EF⊥面SED,
其中成立的有: (　 　)
　　Ａ. ①与② B. ①与③ C. ②与③ D. ③与④
12. 某地球仪的北纬60度圈的周长为6cm,则地球仪的表面积为( )
A. 24cm2 B. 48cm2 C. 144cm2 D. 288cm2
二、填空题
13. 直二面角α—MN—β中，等腰直角三角形ABC的斜边BCα，一直角边ACβ，BC与β所成角的正弦值是，则AB与β所成角大小为__________。
14. 在底面边长为2的正三棱锥V—ABC中,E是BC中点,若△VAE的面积是,则侧棱VA与底面所成角的大小为
15．如图，已知矩形中，，，面ABCD。若在上只有一个点满足，则的值等于______.
16. 六棱锥P—ABCDEF中，底面ABCDEF是正六边形，PA⊥底面ABCDEF，给出下列四个命题:
①线段PC的长是点P到线段CD的距离；②异面直线PB与EF所成角是∠PBC；③线段AD的长是直线CD与平面PAF的距离；④∠PEA是二面角P—DE—A平面角。其中所有真命题的序号是_______________。
三.解答题:
17．如图，已知直棱柱中，，，，，是 的中点。求证：

18．如图，在矩形中，，，沿对角线将折起，使点移到 点，且在平面上的射影恰好在上。
（1）求证：面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求直线与平面的成角的大小

P
A
B
C
D
19．如图,已知面,垂足在的延长线上,且
(1) 记,,试把表示成的函数,并求其最大值.
(2) 在直线上是否存在点,使得

20.正三棱锥V-ABC的底面边长是a, 侧面与底面成60°的二面角。
求（1）棱锥的侧棱长； （2）侧棱与底面所成的角的正切值。

21.已知正三棱柱ABC-ABC的底面边长为8，面的对角线B1C=10，D为AC的中点，（1）求证：AB//平面C1BD;（2）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值;（3）求直线AB1到平面C1BD的距离。

22. 已知A1B1C1-ABC为直三棱柱，D为AC中点，O为BC中点，E在CC1上，∠ACB=90°，AC=BC=CE=2，AA1=6.
（1）证明平面BDE∥AO；（2）求二面角A-EB-D的大小；（3）求三棱锥O-AA1D体积.

练习1答案
一．选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
C
B
D
B
C
C
A
A
B
C
二．填空题：
13. 60º 14. 15. 2 16. ①④
三.解答题:
17．解：【法一】，又三棱柱是直三棱柱，
所以面，连结，则是在面上的射影
在四边形中，，且，
，
【法二】以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系
由，，，，
易得，，，
，
所以
18．解：（1）在平面上的射影在上，面。
故斜线在平面上的射影为。
又，，又，
面
（2）过作，交于。
面，，面 故的长就是点到平面的距离
， 面
在中，；
在中，
在中，由面积关系，得
（3）连结，面，是在平面的射影
为直线与平面所成的角
在中，，
19．(1)面,,即
在和中,,
()
,当且仅当时,取到最大值.
(2)在和中,=2,

故在存在点(如)满足,使
20. (12分)解：（1）过V点作V0⊥面ABC于点0，VE⊥AB于点E
∵三棱锥V—ABC是正三棱锥 ∴O为△ABC的中心
则OA=，OE=
又∵侧面与底面成60°角 ∴∠VEO=60°
则在Rt△VEO中；V0=OE·tan60°=
在Rt△VAO中，VA=
即侧棱长为
（2）由（1）知∠VAO即为侧棱与底面所成角，则tan∠VAO=
21解：（1）连结BC1交B1C于点E，则E为B1C的中点，并连结DE
∵D为AC中点 ∴DE∥AB1 而DE面BC1D， AB1面BC1D ∴AB1∥面C1BD
（2）由（1）知AB1∥DE，则∠DEB或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角
由条件知B1C=10， BC=8 则BB1=6 ∵E三棱柱中 AB1=BC1 ∴DE=5
又∵BD= ∴在△BED中
故异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为
（3）由（1）知A到平面BC1D的距离即为直线AB1到平面BC1D的距离
设A到平面BC1D的距离为h，则由得
即h=
由正三棱柱性质得BD⊥C1D 则
∴
即直线AB1到平面的距离为
22. 证明： ①设F为BE与B1C的交点，G为GE中点 ∵AO∥DF ∴AO∥平面BDE
②α=arctan-arctan或arcsin1/3
③用体积法V=××6×h=1

练习2
一、选择题
1．已知直线a、b和平面M，则a//b的一个必要不充分条件是 （ ）
A．a//M, b//M B．a⊥M，b⊥M C．a//M, bM D．a、b与平面M成等角
2．正四面体P—ABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为 （ ）
A． B． C． D．
3.a, b是异面直线,A、B∈a, C、D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a与b所成的角为( )
A．30° B．60° C．90° D．45°
4．给出下面四个命题：
①“直线a、b为异面直线”的充分非必要条件是：直线a、b不相交；
②“直线l垂直于平面内所有直线”的充要条件是：l⊥平面；
③“直线a⊥b”的充分非必要条件是“a垂直于b在平面内的射影”；
④“直线∥平面”的必要非充分条件是“直线a至少平行于平面内的一条直线”．
其中正确命题的个数是 （ ）
　　A．1个　　 　　B．2个　　　 　 C．3个　　　 　　D．4个
5．设l1 、l2为两条直线，a、β为两个平面，给出下列四个命题：
(1)若l1, l2，l1∥β，l1∥a则a∥β. (2)若l1⊥a ，l2⊥a，则l1∥l2
(3)若l1∥a，l1∥l2，则l2∥a (4)若a⊥β，l1，则l1⊥β
其中，正确命题的个数是 （ ）
A
B
C
A1
B1
C1
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．三棱柱中，侧面底面，
直线与底面成角，，
，则该棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线⊥面α，直线面β，给出下列命题：
A
B
C
S
E
F
G
H
(1) (2) (3) (4)
其中正确的命题个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8．正三棱锥的底面边长为a，侧棱长为b，那么经过底边AC
和BC的中点且平行于侧棱SC的截面EFGH的面积为（ ）
A. B. C. D.
9．已知平面α、β、γ，直线l、m，且，给出下列四个结论：①；②；③；④.则其中正确的个数是（ ）A B
A1 P B1
D1 C1
D C
O
M
A．0 B．1 C．2 D．3
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上任意一点，则直线OP与支线AM所成角的大小为（ ）
A.45º B.90º C.60º D.不能确定
11．将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得点A到点A’的位置，且A’C＝1，则折起后二面角A’－DC－B的大小为 （ ）
A. B. C. D.
12. 正方体，E、F分别是的中点，P是上的动点（包括端点），过E、D、P作正方体的截面，若截面为四边形，则P的轨迹是 （ ）
A. 线段 B. 线段CF C. 线段CF和一点 D. 线段和一点C
二、填空题
13．矩形ABCD的对角线AC，BD成60°角，把矩形所在的平面以AC为折痕，折成一个直二面角D—AC—B，连结BD，则BD与平面ABC所成角的正切值为 .
14．将棱长为1的正方体木块加工成一个体积最大的球，则这个球的体积为 ，球的表面积为 （不计损耗）.
15. 四面体ABCD中，有如下命题：①若AC⊥BD，AB⊥CD，则AD⊥BC；
②若E、F、G分别是BC、AB、CD的中点，则∠FEG的大小等于异面直线AC与BD所成角的大小；③若点O是四面体ABCD外接球的球心，则O在面ABD上的射影是△ABD的外心 ④若四个面是全等的三角形，则ABCD为正四面体。其中正确的序号是：______。
16．直三棱柱ABC—A1B1C1的每一个顶点都在同一个球面上，若，
A
B
C
D
F
E
A1
B1
C1
D1
，则A、C两点之间的球面距离为 .
三、解答题
17．已知长方体AC1中，棱AB=BC=1，棱BB1=2，连结B1C，
过B点作B1C的垂线交CC1于E，交B1C于F.
（1）求证A1C⊥平面EBD；
（2）求点A到平面A1B1C的距离；
（3）求平面A1B1CD与直线DE所成角的正弦值.

A
B
C
D
B
E
18．在平行四边形ABCD中，，，,沿BD将其折成二面角A－BD－C，若折后。
（1）求二面角的大小；（2）求折后点C到面ABD的距离。

A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
F
19．在棱长AB=AD=2，AA’=3的长方体AC1中，点E是平面BCC1B1上动点，点F是CD的中点。
(1)试确定E的位置，使D1E⊥平面AB1F。(2)求二面角B1－AF－B的大小。

20．（本小题满分14分）如图，在正三棱柱中，、分别是棱、的中点，。
（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求二面角的大小。

21．如图，在直三棱柱中,，∠ACB＝90°，D是的中点。
（1）在棱上求一点P，使CP⊥BD；
（2）在（1）的条件下，求DP与面所成的角的大小。

A
B
C
P
E
F
22．如图，三棱锥P—ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=BC=CA=，点E，点F分别是PC，AP的中点.（1）求证：侧面PAC⊥侧面PBC；
（2）求异面直线AE与BF所成的角；（3）求二面角A—BE—F的平面角.
练习2答案

一、 选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
B
B
B
B
B
B
C
C
B
C
C

二、填空题
13． .14． 、 15. ___①③____16． .
A
B
C
D
F
E
A1
B1
C1
D1
三、解答题
17．解：（1）连结AC，则AC⊥BD
∵AC是A1C在平面ABCD内的射影∴A1C⊥BD；
又∵A1B1⊥面B1C1CB，且A1C在平面B1C1CB内的射影B1C⊥BE，

（2）易证：AB//平面A1B1C，所以点B到平面A1B1C的距离
等于点A到平面A1B1C的距离，又BF⊥平面A1B1C，
∴所求距离即为
（3）连结DF，A1D，
，∴∠EDF即为ED与平面A1B1C所成的角.
由条件AB=BC=1，BB1=2，可知，

A
B
C
D
B
E

18．解法一：设A点在面BCD内的射影为H，
连结BH交CD于E，连DH，在ΔADB中，
AB2=AD2+BD2，∴AD⊥DB。又AH⊥面DBC，∴BH⊥DH。
∴∠ADH为二面角A—BD—C的平面角。
由AB⊥CD，AH⊥面DBC，∴BH⊥CD。 易求得CE=，DE=。
又∵Rt△DEH∽Rt△CEB ∴DH=。
在RtΔADH中，，∴二面角A—BD—C的大小为。
法二：在△BCD中，由余弦定理得。
∵。
∵，
即。
===
==

(2)由对称性成等积性知：C到面ABD的距离等于A到面BCD的距离

19．解：(1)建立空间直角坐标系，如图A(0，0，0)，F(1，2，0)，B1(2，0，3)，D1(0，2，3)，
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
F
设E(2，y，z) ，，
由D1E⊥平面AB1F，即
∴E(2，1，)为所求。
(2)当D1E⊥平面AB1F时，，
又与分别是平面BEF与平面B1EF的法向量，则
二面角B1-AF-B的平面角等于<，>。
∵cos<，>=
∴B1-AF-B的平面角为 或用传统法做(略) ()
20． （Ⅰ）证明：因为，， ，，
所以，，故
，因此，有；
（Ⅱ）设是平面的法向量，
因为，，所以由
可取；
同理，是平面的法向量。
设二面角的平面角为，则
。
21．解法一：（1）如图建立空间直角坐标系 设，则
由得：
由CP⊥BD，得：
所以点P为的中点时，有CP⊥BD
（2）过D作DE⊥B1C1，垂足为E，易知E为D在平面上的射影， ∴∠DPE为DP与平面所成的角
由（1），P（4，0，z），得：
∵，∴。，∴，
∴ 即DP与面所成的角的大小为。
解法二：取BC1的中点E，连接BE、DE。 显然DE⊥平面BC1
∴BE为BD在面BC1内的射影，若P是BB1上一点且CP⊥BD，则必有CP⊥BE
∵四边形BCC1B1为正方形,E是BC1的中点∴点P是BB1的中点,∴BB1的中点即为所求的点P
（2）连接DE，则DE⊥，垂足为E，连接PE、DP为DP与平面所成的角 由（1）和题意知：
即DP与面所成的角的大小为
22．解：（1）∵PB⊥平面ABC，∴平面PBC⊥平面ABC，又∵AC⊥BC，∴AC⊥平面PBC
∴侧面PAC⊥侧面PBC.
（2）以BP所在直线为z轴，CB所在直线y轴，建立空间直角坐标系，由条件可设

(3)平面EFB的法向量=(0,1,1)，平面ABE的法向量为=（1，1，1）