工学至间附录A平面图形的几何性质.pptx

附录附录 A 平面图形的几何性质平面图形的几何性质A.1 形心和静矩形心和静矩A.2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 惯性半径惯性半径A.3 平行轴定理平行轴定理A.4 转轴公式转轴公式 主惯性矩主惯性矩材料力学材料力学平面图形的几何性质平面图形的几何性质 反映平面图形的反映平面图形的形状形状与与尺寸尺寸的的几何量几何量附录附录A A 平面图形的几何性质平面图形的几何性质如：如：本章介绍：本章介绍：平面图形几何性质的平面图形几何性质的定义定义、计算方法计算方法和和性质性质1.在轴向拉（压）中：在轴向拉（压）中：2.在扭转中：在扭转中：3.在弯曲中：在弯曲中：A.1 形心和静矩形心和静矩一、静一、静矩矩二、形心二、形心三、组合图形的静矩和三、组合图形的静矩和形心形心四、静矩的性质四、静矩的性质附录附录A A 平面图形的几何性质平面图形的几何性质一、静一、静矩矩A.1 形心和静矩形心和静矩整个图形整个图形 A 对对 x 轴的静矩：轴的静矩：整个图形整个图形 A 对对 y 轴的静矩：轴的静矩：ydA微面积微面积 dA 对对 x 轴的静矩轴的静矩xdA微面积微面积 dA 对对 y 轴的静矩轴的静矩定义：定义：（面积矩）（面积矩）其值：其值：+、-、0 单位：单位：m3二、形心二、形心A.1 形心和静矩形心和静矩讨论：讨论：水平面的一块等厚薄板，水平面的一块等厚薄板，在重力场均匀、薄板材质均匀在重力场均匀、薄板材质均匀连续的条件下，重心与形心重连续的条件下，重心与形心重合，通过求重心的方法来求形合，通过求重心的方法来求形心，设厚度为心，设厚度为t，单位体积重单位体积重为为 g，O-xy平面为水平面。平面为水平面。（各分力对任一轴的矩等于其合力对同一轴的矩）各分力对任一轴的矩等于其合力对同一轴的矩）有有 它对它对 y 轴的力矩为：轴的力矩为：由由合力矩定理合力矩定理 微面积微面积 dA 所受到的重力为：所受到的重力为：A.1 形心和静矩形心和静矩 g t dA gt x dA三、组合图形的三、组合图形的静矩和形心静矩和形心 组合图形组合图形由几个简单图形由几个简单图形（如矩形、圆形等）（如矩形、圆形等）组成组成的平面图形的平面图形如：如：A.1 形心和静矩形心和静矩1.静矩静矩2.形心形心A.1 形心和静矩形心和静矩四、四、静矩的性质静矩的性质形心轴形心轴 图形对形心轴的静矩为零图形对形心轴的静矩为零 通过图形形心的坐标轴通过图形形心的坐标轴反之，反之，图形对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴图形对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴 性质性质 1：A.1 形心和静矩形心和静矩例例 1 确定形心坐标确定形心坐标解：解：取参考坐标系取参考坐标系 xyA.1 形心和静矩形心和静矩举例举例求半径为求半径为 r 的半圆形对其直径轴的半圆形对其直径轴 y 的静矩的静矩及其形心坐标。及其形心坐标。解解:z 轴是对称轴，轴是对称轴，通过形心。通过形心。zdzdAyzroA.2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 惯性半径惯性半径一、一、惯性矩与惯性积惯性矩与惯性积二、惯性二、惯性矩与极惯性矩的关系矩与极惯性矩的关系附录附录A A 平面图形的几何性质平面图形的几何性质三、惯性积的性质三、惯性积的性质四、惯性半径四、惯性半径一、惯性一、惯性矩与惯性积矩与惯性积A.2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 惯性半径惯性半径整个图形整个图形 A 对对x 轴的惯性矩轴的惯性矩整个图形整个图形 A 对对 y 轴的惯性矩轴的惯性矩y2dA微面积微面积 dA 对对 x 轴的惯性矩轴的惯性矩x2dA微面积微面积 dA 对对 y 轴的惯性矩轴的惯性矩定义：定义：其值其值：+单位单位：m41.惯性矩惯性矩整个图形整个图形 A 对对 x 轴和轴和 y轴的惯性积轴的惯性积定义：定义：xydA微面积微面积 dA 对对 x 轴和轴和 y 轴的惯性积轴的惯性积 的坐标轴的坐标轴其值：其值：+、-、0 单位：单位：m4假设：假设：x 轴和轴和 y 轴为一对轴为一对相互垂直相互垂直一、惯性一、惯性矩与惯性积矩与惯性积2.惯性积惯性积A.2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 惯性半径惯性半径二、惯性二、惯性矩与极惯性矩的关系矩与极惯性矩的关系即：即：平面图形对平面图形对任意一点任意一点的极惯性矩的极惯性矩等于等于该图形对通过该图形对通过该点的任意一对该点的任意一对相互垂直相互垂直的坐标轴的惯性矩的坐标轴的惯性矩之和之和 性质性质 2：若若 x、y 轴为一对轴为一对正交正交坐标轴坐标轴A.2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 惯性半径惯性半径1.1.矩形截面矩形截面常用图形的惯性矩：常用图形的惯性矩：A.2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 惯性半径惯性半径2.圆形截面圆形截面由对称性由对称性3.环形截面环形截面A.2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 惯性半径惯性半径三、惯性三、惯性积的性质积的性质当当 x、y 轴中轴中有一轴为对称轴有一轴为对称轴 在一对正交轴中，只要在一对正交轴中，只要有一个对称轴有一个对称轴，则该图形，则该图形对这对轴的对这对轴的惯性积为零惯性积为零。性质性质 3：A.2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 惯性半径惯性半径 惯惯 性性 矩矩对对某一轴某一轴而言而言 极惯性矩极惯性矩对对某一点某一点而言而言特别指出：特别指出：惯惯 性性 积积对对某一对正交轴某一对正交轴而言而言A.2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 惯性半径惯性半径图形对图形对 x 轴的轴的惯性惯性半径半径 单位：单位：m四、四、惯性半径惯性半径 在力学计算中，有时把在力学计算中，有时把惯性矩惯性矩写成写成即：即：图形对图形对 y 轴的轴的惯性惯性半径半径A.2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 惯性半径惯性半径注意：注意：试问：试问：即：即：A.2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 惯性半径惯性半径A.2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 惯性半径惯性半径组合截面的惯性矩和惯性积即，各个分面积对某轴的惯性矩之和等于它们的组合截面对同一轴的惯性矩。同理：A.2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 惯性半径惯性半径xy例例 求图示求图示圆环圆环截面对截面对x、y轴的惯性矩轴的惯性矩Ix、Iy。已知。已知内径为内径为 d ，外径为外径为 D。求解求解中，中，不仅不仅可以可以加，加，还可还可以减。以减。A.3 平行轴定理平行轴定理一、定理推导一、定理推导二、应用二、应用附录附录A A 平面图形的几何性质平面图形的几何性质A.3 平行轴公式平行轴公式一、定理推导一、定理推导即：即：xc、yc为一对正交为一对正交的形心轴，的形心轴，x、y分分别平行于别平行于xc、yC轴轴。显然：显然：性质性质 4：在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩 中，以对形心轴的惯性矩为最小。中，以对形心轴的惯性矩为最小。同理同理惯性矩和惯性积的平行轴定理惯性矩和惯性积的平行轴定理A.3 平行轴公式平行轴公式A.3 平行轴公式平行轴公式a、b为为形形心心C在在坐坐标标系系Oxy中中的的坐坐标标，因因而而有有正负正负号之分。号之分。虽虽然然在在计计算算Ix、Iy 时时对对计计算算结结果果没没有有影影响响，但但是是在在计计算算Ixy时时就就不不同同了。了。注意：注意：例例 求图示工字形截面对求图示工字形截面对x、y轴的惯性矩轴的惯性矩Ix、Iyyx解：将截面分成上翼缘、下翼缘和腹板三部分。解：将截面分成上翼缘、下翼缘和腹板三部分。xyIIIIII 三三部部分分均均为为矩矩形形截截面面，其其对对自自身身形形心心主主惯惯性性轴轴的的惯惯性性矩矩为为已已知知，上上、下下翼翼缘缘自自身身的的形形心心主主惯惯性性轴轴与与x平平行行、腹腹板板的的形形心心主主惯惯性性轴轴即即为为x轴。轴。xyIIIIIIxyIIIIIIxyIIIIII将截面看成宽为B，高为H的矩形截面，减去阴影部分面积。方法方法2：xyIIIIIIxyIIIIII解：解：例例 1 求求 和和A.4 转轴公式转轴公式 主惯性矩主惯性矩一、公式推导一、公式推导二、主惯性矩二、主惯性矩附录附录A A 平面图形的几何性质平面图形的几何性质A.4 转轴公式转轴公式 主惯性矩主惯性矩一、公式推导一、公式推导规定：规定：角逆时针转向为角逆时针转向为+两组坐标系之间的关系：两组坐标系之间的关系：代入代入一、公式推导一、公式推导规定：规定：角逆时针转向为角逆时针转向为+结果：结果：A.4 转轴公式转轴公式 主惯性矩主惯性矩显然显然A.4 转轴公式转轴公式 主惯性矩主惯性矩显然显然性质性质5：平面图形对通过一点的任意一对正交轴的两个平面图形对通过一点的任意一对正交轴的两个 惯性矩之和为常数，且等于图形对该点的极惯惯性矩之和为常数，且等于图形对该点的极惯 性矩。性矩。A.4 转轴公式转轴公式 主惯性矩主惯性矩二、主惯性矩二、主惯性矩 1.定义定义主惯性轴主惯性轴惯性积为零的一对坐标轴，惯性积为零的一对坐标轴，简称简称主轴主轴主惯性矩主惯性矩图形对主惯性轴的惯性矩图形对主惯性轴的惯性矩形心主惯性轴形心主惯性轴通过图形形心的主惯性轴通过图形形心的主惯性轴形心主惯性矩形心主惯性矩图形对形心主惯性轴的惯性矩图形对形心主惯性轴的惯性矩性质性质6：图形的对称轴是形心主惯性轴图形的对称轴是形心主惯性轴A.4 转轴公式转轴公式 主惯性矩主惯性矩2.主惯性轴的方位主惯性轴的方位 设主惯性轴的方位为设主惯性轴的方位为 0，对应的坐标轴为，对应的坐标轴为 x0、y0令令得到得到A.4 转轴公式转轴公式 主惯性矩主惯性矩3.主惯性矩主惯性矩因因故故有有A.4 转轴公式转轴公式 主惯性矩主惯性矩4.主惯性矩的性质主惯性矩的性质 当当Ix1取极值时，取极值时，对应对应的方位为的方位为 1 得到得到即：即：性质性质7：主惯性矩为极值惯性矩，其中一个为极大惯性主惯性矩为极值惯性矩，其中一个为极大惯性 矩矩Imax，另一个为极小惯性矩，另一个为极小惯性矩Imin。令令 A.4 转轴公式转轴公式 主惯性矩主惯性矩解：解：例例 2 求图示图形的形心主惯性矩。求图示图形的形心主惯性矩。1.确定确定形心位置形心位置解：解：例例 2 求图示图形的形心主惯性矩。求图示图形的形心主惯性矩。2.求求 、和和解：解：例例 2 求图示图形的形心主惯性矩。求图示图形的形心主惯性矩。2.求求 、和和解：解：例例 2 求图示图形的形心主惯性矩。求图示图形的形心主惯性矩。2.求求 、和和解：解：例例 2 求图示图形的形心主惯性矩。求图示图形的形心主惯性矩。3.确定形心主惯性轴方位确定形心主惯性轴方位即：即：或或解：解：例例 2 求图示图形的形心主惯性矩。求图示图形的形心主惯性矩。4.求形心主惯性矩求形心主惯性矩注意：注意：因为因为 ，故，故 0 0对应于主惯性矩较大值对应于主惯性矩较大值本本 章章 重重 点点1.组合图形的静矩和形心的计算组合图形的静矩和形心的计算2.矩形、圆形和环形矩形、圆形和环形图形的惯性矩图形的惯性矩附录附录A A 平面图形的几何性质平面图形的几何性质3.平行轴定理，组合图形惯性矩的计算平行轴定理，组合图形惯性矩的计算