高中立体几何大量习题及答案.doc

立体几何
一、选择题
1. 给出下列四个命题①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若直线与同一平面所成的角相等，则互相平行；④若直线是异面直线，则与都相交的两条直线是异面直线。其中假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2. 将正方形ABCD沿对角线BD折成一个120°的二面角，点C到达点C1，这时异面直线AD与BC1所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
3. 一个长方体一顶点的三个面的面积分别是、、,这个长方体对角线的长为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．

4. 如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点.将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．0°
5. 两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长 为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个
6. 正方体A′B′C′D′—ABCD的棱长为a，EF在AB上滑动，且|EF|=b（b＜a＝，Q点在D′C′上滑动，则四面体A′—EFQ的体积（ ）
A．与E、F位置有关 B．与Q位置有关
C．与E、F、Q位置都有关 D．与E、F、Q位置均无关，是定值
7. 三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O，点P到三个平面的距离比为1∶2∶3，PO=2，则P到这三个平面的距离分别是（ ）
A．1，2，3 B．2，4，6 C．1，4，6 D．3，6，9
8. 如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1， S2，则必有（ ）
A．S1<S2 B．S1>S2
C．S1=S2 D．S1，S2的大小关系不能确定
9. 条件甲：四棱锥的所有侧面都是全等三角形，条件乙：这个四棱锥是正四棱锥，则条件甲是条件乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10. 已知棱锥的顶点为P，P在底面上的射影为O，PO=a，现用平行于底面的平面去截这个棱锥，截面交PO于点M，并使截得的两部分侧面积相等，设OM=b，则a与b的关系是（ ）
A．b=（－1）a B．b=（+1）a
C．b= D．b=
11. 已知向量=(2，4，x)，=(2，y，2)，若||=6，⊥，则x+y的值是 ( )
12. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是( )
A.12π　　　B. 18π　　　 C.36π　　　　　D. 6π
13. 已知某个几何体的三视图如下,图中标出的尺寸(单位:cm),则这个几何体的体积是( )
20
20
正视图
20
侧视图
10
10
20
俯视图
A． B． C． D．

14. 已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ( )
A.1200 B.1500 C.1800 D.2400
15. 在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )

16. 正四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，AB=3，BB1=4.长为1的线段PQ在棱AA1上移动，长为3的线段MN在棱CC1上移动，点R在棱BB1上移动，则四棱锥R–PQMN的体积是( )
A．6 B．10 C．12 D．不确定
17. 已知三棱锥O－ABC中，OA、OB、OC两两互相垂直，OC＝1，OA＝x，OB＝y，若x+y=4，则已知三棱锥O－ABC体积的最大值是 ( )
A.1　　 B. C.　　 D.
18. 如图，在正四面体A－BCD中，E、F、G分别是三角形ADC、ABD、BCD的中心，则△EFG在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是 ( )
A．①③ B．②③④ C．③④ D．②④
① ② ③ ④

19. 如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于 ( )
A. B. C. D.
20. 已知直线AB、CD是异面直线，AC⊥AB，AC⊥CD，BD⊥CD，且AB=2，CD=1，则异面直线AB与CD所成角的大小为 ( )
A．300 B．450 C．600 D．750
21. 已知向量，，且与互相垂直，则值是 ( )
A． B． C． D．
22. 在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有 ( )
A.4个 B.2个 C.3个 D.1个
23. 三棱锥A-BCD中，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是( )
A.菱形　 　B.矩形　 　C.梯形　　 D.正方形
24. 在正四面体P—ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是（ ）
A.BC//平面PDF B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面ABC D.平面PAE⊥平面ABC
25. 一棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积的比为1：3，则此截面把一条侧棱分成的两线段之比为（ ）
A.1：3 B.1：2 C.1： D.1：
26. 正四面体P—ABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
27. 一个三棱锥S—ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为1，,3已知该三棱锥的四个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为（ ）
A.16π B.32π C.36π D.64π
28. 在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q是对角线A1C上的点，PQ=,则三棱锥P—BDQ的体积为（ ）
A. B. C. D.不确定
29. 若三棱锥P—ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则P到平面ABC的距离为（ ）
A. B. C. D.
30. 将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（ ）
A. B.2+ C.4+ D.
31. PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
32. 正方体ABCD—A1B1C1D1中，任作平面α与对角线AC1垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，设得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则( )
A.S为定值，l不为定值 B.S不为定值，l为定值
C.S与l均为定值 D.S与l均不为定值

二、填空题
33. 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为,则=______．
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1

A1
34. 多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能
是：（ ）
①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7
以上结论正确的为______________．（写出所有正确结论的编号）
35. 如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为 .
36. 如图,表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有_____对

37. 如图是一个长方体ABCD-A1B1C1D1截去一个角后的
多面体的三视图，在这个多面体中，AB=4,BC=6,
CC1=3.则这个多面体的体积为 .

38. 如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等D是A1C1的 中点，则直线AD 与平面B1DC所成角的正弦值为_______ ．
A
C
B
C1
B1
A1
P
39. 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，ÐACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是_________．
40. 已知平面和平面交于直线，P是空间一点，PA⊥，垂足为A，PB⊥，垂足为B，且PA=1，PB=2，若点A在内的射影与点B在内的射影重合，则点P到的距离为 ___________ ．
41. 若三角形内切圆半径为r，三边长为a,b,c，则三角形的面积S= ,根据类比思想，若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1，S2，S3，S4，则四面体的体积V=______________．
42. 四面体ABCD中，有如下命题：①若AC⊥BD，AB⊥CD，则AD⊥BC；②若E、F、G分别是BC、AB、CD的中点，则∠FEG的大小等于异面直线AC与BD所成角的大小；③若点O是四面体ABCD外接球的球心，则O在面ABD上的射影为△ABD的外心；④若四个面是全等的三角形，则ABCD为正四面体 _ （填上所有正确命题的序号）．

三、解答题
43. 在长方体中，已知，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.

44. 如图，、是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在上，C在上，.
（1）证明AC⊥；
（2）若，求与平面ABC所成角的余弦值.

45. 如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱 上的一点，.
（1）若直线与平面所成角的正切值为，求m；
（2）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于.并证明你的结论.

46. 正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别为棱AB、BC、DD1的中点，求证：PB⊥平面MNB1。

47. 如图,在长方体ABCD─A1B1C1D1中,E、P分别是BC、A1D1的中点,M、N分别是AE、CD1的中点,AD=AA1=a,AB=2a.
（1）求证:MN∥面ADD1A1;
（2）求三棱锥P─DEN的体积.

P
E
D
C
B
A
48. 在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=DC，.
(1)求证：AE∥平面PBC；
(2)求证：AE⊥平面PDC.

49. 设空间两个不同的单位向量=(x1，y1，0)，=(x2，y2，0)与向量=(1，1，1)的夹角都等于.
(1)求x1+y1和x1y1的值；
(2)求<，>的大小(其中0＜<，>＜π.

50. 如图，棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、M、N分别为棱DD1、AB、BC的中点.
(1)证明：PB⊥MB1；
(2)在线段A1D1上求一点Q,使得QD∥平面B1MN；
(3)画出这个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P、B两点间的距离.

51. 矩形ABCD中，AB=3，BC=4(如图)，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影E落在BC上．
(1)求证：平面ACD⊥平面ABC；
(2)求三棱锥A-BCD的体积．

52. 如图，三棱锥P-ABC中，∠ABC=，PA=1，AB=，AC=2，PA⊥面ABC．
(1)求直线AB和直线PC所成角的余弦值；
(2)求PC和面ABC所成角的正弦值；

53. 已知三点，，，
(1)求与的夹角；
(2)求在方向上的投影.

54. 有一块边长为4的正方形钢板，现对其切割、焊接成一个长方体形无盖容器(切、焊损耗忽略不计)．有人应用数学知识作如下设计：在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剰余部分围成一个长方体，该长方体的高是小正方形的边长．
(1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体容器的的最大容积V1；
(2)请你判断上述方案是否最佳方案，若不是，请设计一种新方案，使材料浪费最少，且所得长方体容器的容积V2＞V1．

55. 如图，在正三棱柱中，AB＝2，，由顶点B沿棱柱侧面经过棱到顶点的最短路线与的交点记为M，求：
（1）三棱柱的侧面展开图的对角线长；
（2）该最短路线的长及的值；

．
56. 在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F。

Q
B
C
P
A
D
57. 如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高都是2，AB=4．
(1)证明PQ⊥平面ABCD；
(2)求异面直线AQ与PB所成的角；
(3)求点P到平面QAD的距离．

参考答案

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1. D．利用特殊图形正方体我们不难发现①、②、③、④均不正确，故选择答案D.
2. D．由题意易知∠ABC1是AD与BC1所成的角，解△ABC1，得余弦为.答案：D．
3. D．设长宽高为a、b、c，则l=，答案：D．
4. B．平面图形折叠后为正三棱锥.如图，取EF的中点M，连结IM、MJ，则MJFD，GHFD，∴MJ∥GH，∠IJM为异面直线GH与JI所成的角.
i.
ii. 由已知条件易证△MJI为正三角形.∴∠IJM=60°.答案：B．
5. D． 法一：本题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形，显然有无穷多个

法二：通过计算，显然两个正四棱锥的高均为，考查放入正方体后，面ABCD所在的截面，显然其面积是不固定的，取值范围是，所以该几何体的体积取值范围是
6. D．VA′－EFQ=VQ－A′EF.

7. B．

8. 9. C ．连OA、OB、OC、OD则VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFD
b) VA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC又VA－BEFD＝VA－EFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC＋SEFC又面AEF公共，故选C
9. 11. B．乙甲，但甲乙，例如四棱锥S—ABCD
i. 的底面ABCD为菱形，但它不是正四棱锥.

10. 12. C．由平行锥体底面的截面性质，知=，∴=.∴= .∴b=a.答案：C．
11. A　由题知或.
12. D.先计算出三条棱的长度分别为.所以体对角线长为.所以外接球的直径为,算出表面积为6π.
13. B. V=20×20×20/3 .
14. C.提示:设圆锥母线长为L,底面半径为R,由题意知侧面积是底面积的2倍,所以有πRL=2πR2,解出L=2R.侧面展开图扇形的弧长为2πR,半径为L=2R,所以扇形的圆心角大小为.
15. B.
16. A.提示:连接PC,将四棱锥分割成成两个三棱锥M-PQR,P-MNR.分别计算两个三棱锥的体积即可.
17. C.体积为
18. C.正四面体各面的中点在四个面上的射影不可能落到正四面体的边上，所以①②不正确，根据射影的性质E、F、G、三点在平面ABC内的射影形状如“④”所示，在其它平面上的射影如“③”所示.
19. D.设底面直径为d,则侧面积为πd2=S,所以d=.
20. C.设AB与CD所成的角为θ，则

21. D.=，，
∵两向量垂直 ∴ ∴.
22. A.
23. B.

A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
第16题图
A1
33. ．不妨认为一个正四棱柱为正方体,与正方体的所有面成角相等时,为与相交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等,即为体对角线与该正方体所成角.故.
34. ①③④⑤． 如图，B、D、A1到平面的距离分别为 1、2、4，则D、A1的中点到平面的距离为3，所以D1到平面的距离为6；B、A1的中点到平面的距离为，所以B1到平面的距离为5；则D、B的中点到平面的距离为，所以C到平面的距离为3；C、A1的中点到平面的距离为，所以C1到平面的距离为7；而P为C、C1、B1、D1中的一点，所以填①③④⑤．
35. 将正三棱柱沿侧棱CC1展开，其侧面展开图如图所示，由图中路线可得结论．
36. 解析：相互异面的线段有AB与CD，EF与GH，AB与GH3对.

37. 60.提示:用长方体的体积减一个三棱锥的体积.
38.
39. 5
40.
41.
42. ①③

43. 法一：连接，
为异面直线与所成的角.
连接，在△中，
，
则
.
异面直线与所成角的大小为.
法二：以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.
则 ，
得 .
设与的夹角为，
则，
与的夹角大小为，
即异面直线与所成角的大小为
.
44. （１）AM = MB = MN，说明NM是△ANB的中线且为边AB的一半，所以△ANB是直
角三角形，其中ANB为直角。所以BNNA。①
且MN面ABNBN。②
由①、②可推出BN面NAC。所以ACBN。
（２）MNAB且M为AB中点AN = MN ③
由（１）知，AN、BN、CN两两垂直 ④
由③、④ AC = BC，又ACB = ，所以△ABC
是等边三角形。
设BN长度为1，则AB = ，

三棱锥的体积为：；
三棱锥的体积为：
由可得 点N到面ABC的距离
记NB与平面ABC所成角为，则。
从而
实际上，这个题的命题背景是是正方体的一个“角”。如图3.
45. 法一：（１）连AC，设AC与BD相交于点O,AP与平面
相交于点，,连结OG，因为PC∥平面，
平面∩平面APC＝OG,
故OG∥PC，所以，OG＝PC＝.
又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面，
故∠AGO是AP与平面所成的角.
在Rt△AOG中，tanAGO＝，即m＝.
所以，当m＝时，直线AP与平面所成的角的正切值为.
（２）可以推测，点Q应当是AICI的中点O1，因为
D1O1⊥A1C1, 且 D1O1⊥A1A ，所以 D1O1⊥平面ACC1A1，
又AP平面ACC1A1，故 D1O1⊥AP.
那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直。
法二：(１)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)
所以
又由知，为
平面的一个法向量.
设AP与平面所成的角为，则依题意有解得．故当时，直线AP与平面所成的角的正切值为．
（２）若在A1C1上存在这样的点Q，设此点的横坐标为，则Q(x，1－，1)，。依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等价于D1Q⊥AP即Q为A1C1的中点时，满足题设要求.
46. （1）如图，以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，取正方体棱长为2，则P（0，0，1）、M（2，1，0）、B（2，2，0）、B1（2，2，2）.

∵· =（2，2，－1）·（0，1，2）=0，
∴MB1⊥PB，同理，知NB1⊥PB.
∵MB1∩NB1=B1，∴PB⊥平面MNB1.
47. 法一：以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别
为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D─xyz,
则A(a,0,0)、B(a,2a,0)、C(0,2a,0)、A1(a,0,a)、
D1(0,0,a) ∵E、P分别是BC、A1D1的中点,M、
N分别是AE、CD1的中点,
∴E(),P(),M() ,N()
(1) ,取,显然⊥面ADD1A1而,∴.又∴MN面ADD1A1, ∴MN∥面ADD1A1;
(2)设为平面DEN的法向量,
又,,

∴P点到平面DEN的距离为d=
∵,,
.
所以.
法二:　(１)证明:取的中点,连结
∵分别为的中点
∵
∴面,面
∴面面
∴面
（2）.
作,交于,由,得,∴.
在中,,
∴.
48. (1)证明:取PC的中点M,连接EM,则EM∥CD，EM=DC,所以有EM∥AB且EM=AB,则四边形ABME是平行四边形.所以AE∥BM,因为AE不在平面PBC内,所以AE∥平面PBC.
(2) 因为AB⊥平面PBC，AB∥CD,所以CD⊥平面PBC，CD⊥BM.由(1)得,BM⊥PC,所以BM⊥平面PDC，又AE∥BM,所以AE⊥平面PDC.
49. (1) ∵(2－)·=22－·=2||2－||·||·cos120°=2·4－2·5(－)=13.
(2)(1)∵||=||=1，∴x+y=1，∴x=y=1.又∵与的夹角为，∴·=||||cos==.又∵·=x1+y1，∴x1+y1=.另外x+y=(x1+y1)2-2x1y1=1，∴2x1y1=()2－1=.∴x1y1=.
(2)cos<，>==x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1=，x1y1=.∴x1，y1是方程x2－x+=0的解.
∴或同理可得或
∵≠，∴或
∴cos<，>=·+·=+=.
∵0≤<，>≤π，∴<，>=.
50. (1)过点P向棱AA1作垂线PE,垂足为E.则PE∥DA，连接BE,又DA⊥平面ABB1A1，∴PE⊥平面ABB1A1,∴PE⊥MB1.在正方形A1ABB1中,BE⊥B1M,所以B1M⊥平面PBE.所以B1M⊥PB.
(2)取线段A1D1的中点Q ,则点Q就是要求的点.下面证明QD∥平面B1MN.
取线段AD的中点Q1,则A1Q1∥DQ，在四边形A1Q1NB1中, A1B1∥Q1N，且A1B1=Q1N，所以四边形A1Q1NB1是平行四边形.所以A1Q1∥B1M,所以QD∥B1M,而QD平面B1MN,所以QD∥平面B1MN.
(3)由展开图知,,符合条件的正方体表面展开图可以是以下6种之一.

注:只要画出上述6种之一即可.
51. (1)证明：因为AE⊥平面BCD，所以AE⊥CD，又BC⊥CD，且AE∩BC=E，
所以CD⊥平面ABC，又CD平面ACD，所以平面ACD⊥平面ABC．
(2)解：因为CD⊥平面ABC，
所以 VA-BCD=VD-ABC=，在△ADC中，AC⊥CD，
AD=BC=4，AB=CD=3，
所以AC===．所以在△ABC中，
cos∠ABC===，
sin∠ABC==，所以S△ABC==，又CD=3，所以VA-BCD==
52. (1)以A为坐标原点，,分别以AB、AP所在直线为y轴、z轴,以过A点且平行于BC直线为x轴建立空间直角坐标系.在直角△ABC中,∵AB=，AC=2，∴BC=1A(0,0,0)，B(0,,0)，C(1,,0)，P(0,0,1).(0,,0)，(1,,),cos<,>==
=.∴直线AB与直线PC所成的角余弦为.
(2)取平面ABC的一个法向量=(0，0，1)，设PC和面ABC所成的角为，则sin=|cos<，>|==.∴PC和面ABC所成的角的正弦值为．
53. (1) ，,，
∴；(2)在方向上的投影.
54. (1)解：设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为4—2x，高为x，∴Vl＝(4—2x)2x＝4(x3一4x2＋4x) (0＜x＜2)　　＝4(3x2一8x＋4)＝,当时，＞0，当时，＜0　　∴当时，Vl取最大值．(2)解：重新设计方案如下：
　　如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；将图②焊成长方体容器．新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V2＝3×2×1＝6，显然V2＞Vl.故第二种方案符合要求．

图①　　　　　 图②

55. 本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．
解：（I）正三棱柱的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形
其对角线长为．
（II）如图，将侧面绕棱旋转使其与侧面在同一平面上，点B运动到点D的位置，连接交于M，则就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱到顶点C1的最短路线，其长为
．
，,
故．
56. 本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力，
解:（I）连结A1B，则A1B是D1E在面ABB1A；内的射影
∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1，
于是D1E⊥平面AB1FD1E⊥AF．
连结DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影．
∴D1E⊥AFDE⊥AF．
∵ABCD是正方形，E是BC的中点．
∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，
即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F．

57. 解（Ⅰ）取AD的中点，连结PM，QM．
因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，
所以AD⊥PM，AD⊥QM． 从而AD⊥平面PQM．
又平面PQM，所以PQ⊥AD．
同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD．
（Ⅱ）连结AC、BD设，由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P、A、Q、C四点共面．因为OA＝OC，OP＝OQ，所以PAQC为平行四边形，AQ∥PC．从而∠BPC（或其补角）是异面直线AQ与PB所成的角．
因为，
所以．
从而异面直线AQ与PB所成的角是．
(Ⅲ)连结OM，则．所以∠PMQ＝90°，即PM⊥MQ．
由（Ⅰ）知AD⊥PM，所以PM⊥平面QAD． 从而PM的长是点P到平面QAD的距离．
在直角△PMO中，．
即点P到平面QAD的距离是．