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数列求通项与求和常用方法归纳
一、 知能要点
1、求通项公式的方法：
(1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式an；
(2)利用前n项和与通项的关系an＝
(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式；
(4)累加法：如an＋1－an＝f(n)， 累积法，如＝f(n)；
(5)转化法：an＋1＝Aan＋B(A≠0，且A≠1)．
2、求和常用的方法：
(1)公式法：
①
②
(2)裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数差，即，然后累加时抵消中间的许多项. 应掌握以下常见的裂项：
①
②
③
④
⑤
(3)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n项和公式的推导方法) .
(4)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这是等差数列前n项和公式的推导方法) .
(5)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.
二、知能运用典型例题
考点1：求数列的通项
[题型1]
解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。
【例1】已知数列满足，，求。
解：由条件知：
分别令，代入上式得个等式累加之，即
所以
，
[题型2]
解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
【例2】已知数列满足，，求。
解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即
又，
[题型3] (其中p，q均为常数，且)。
解法(待定系数法)：转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。
【例3】已知数列中，，，求。
解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.
[题型4] (其中p，q均为常数，且)。
(或,其中p，q, r均为常数)。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列(其中)，
得：再待定系数法解决。
【例4】已知数列中，,，求。
解：在两边乘以得：
令，则,解之得：
所以
[题型5] 递推公式为与的关系式。(或)
解法：这种类型一般利用与消去
或与消去进行求解。
【例5】已知数列前n项和.
(1)求与的关系； (2)求通项公式.
解：(1)由得：
于是
所以.
(2)应用题型4(，其中p，q均为常数，且)的方法，上式两边同乘以得：
由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以
[题型6]
解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。
【例6】已知数列中，，求数列的通项公式。
解：由两边取对数得，
令，则，再利用待定系数法解得：。
考点2：数列求和
[题型1] 公式法
【例7】已知是公差为3的等差数列，数列满足
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和.
解：(1)依题a1b2+b2=b1，b1=1，b2=，解得a1=2 …2分
通项公式为 an=2+3(n-1)=3n-1 …6分
(2)由(Ⅰ)知3nbn+1=nbn，bn+1=bn，所以{bn}是公比为的等比数列 …9分
所以{bn}的前n项和Sn= …12分
[题型2] 裂项求和
【例8】为数列{}的前项和.已知＞0，.
(1)求{}的通项公式；
(2)设 ,求数列{}的前项和.
解析：(1)=；
(2)由(1)知，=，
所以数列{}前n项和为= =.
[题型3] 错位相减求和
【例9】已知数列和满足，
.
(1)求与；
(2)记数列的前n项和为，求.
解析：(1)由，得.
当时，，故.
当时，，整理得，所以.
(2)由(1)知，
所以
所以
所以.
[题型4] 分组求和
【例10】已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得
d＝＝＝3.
所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1，2，…)．
设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得
q3＝＝＝8，解得q＝2.
所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1.
从而bn＝3n＋2n－1(n＝1，2，…)．
(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1，2，…)．
数列{3n}的前n项和为n(n＋1)，数列{2n－1}的前n项和为1×＝2n－1，
所以，数列{bn}的前n项和为n(n＋1)＋2n－1.
三、知能运用训练题
1、(1)已知数列中，，求数列的通项公式；
(2)已知为数列的前项和，，，求数列的通项公式.
【解】(1)，
(2)，，当时，
.
2、已知数列中，，求数列的通项公式.
【解】，
是以为公比的等比数列，其首项为
3、已知数列中，，求数列的通项公式.
【解】，，令则 ，
4、已知为数列的前项和， ，求数列的通项公式.
【解析】当时，，
当时，.
是以为公比的等比数列，其首项为，
5、已知数列中，，求数列的通项公式.
【解析】，，令
数列是等差数列，，
.
6、已知数列中，，求数列的通项公式.
【解】由 得
又，所以数列是以1为首项，公比为的等比数列，
．
7、已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【解析】（1）设数列的公差为，
令得，所以.
令得，所以. 解得， 所以
（2）由（I）知所以
所以
两式相减，得
所以
8、已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．
解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.
故数列{an}的通项公式为an＝n.
(2)由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．
记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，
则A＝＝22n＋1－2，
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.
故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
9、已知数列的前n项和Sn=3n2+8n，是等差数列，且
(1)求数列的通项公式；
(2)令求数列的前n项和Tn.
解析：（1）由题意知当时，，
当时，，所以.
设数列的公差为，由，即，可解得，
所以.
（2）由（Ⅰ）知，
又，
得，
，
两式作差，得
所以
10、等比数列的各项均为正数，且
(1)求数列的通项公式；
(2)设 求数列的前n项和.
解析：（1）设数列{an}的公比为q，由得所以。
由条件可知a>0,故。由得，所以。故数列{an}的通项式为an=。
（2 ）
故
所以数列的前n项和为
11、在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比数列．
(1)求d，an；
(2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.
解：(1)由题意得，a1·5a3＝(2a2＋2)2，由a1＝10，{an}为公差为d的等差数列得，d2－3d－4＝0，
解得d＝－1或d＝4.
所以an＝－n＋11(n∈N*)或an＝4n＋6(n∈N*)．
(2)设数列{an}的前n项和为Sn.
因为d<0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11，
所以当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－n2＋n；
当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110.
综上所述，
|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝
12、已知是首项为1，公差为2的等差数列，表示的前项和。
(1)求及；
(2) 设数列的前项和为，求证：当都有成立。
解：（1）∵是首项，公差的等差数列，
∴
故
（2）由（1）得，
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