小学奥数-鸡兔同笼问题(教师版).doc

鸡兔同笼问题在我国古代的数学著作孙子算经中，记载着流传甚广的数字歌谣：鸡兔同笼不知数，三十五头笼中露。数清脚共九十四双，各有多少鸡和兔。翻译成现代数学语言为：今有鸡兔共居一笼，已知鸡头与兔头共有35个，鸡脚与兔脚一共有94只。问鸡和兔一共有多少只？这就是我们通常说的“鸡兔同笼”问题。这一古老的数学问题在现实生活中普遍存在，解法多种多样，但一般采用假设法。【例1】今有鸡、兔共居一笼，已知鸡头和兔头共35个，鸡脚与兔脚共94只。问鸡、兔各有多少只？【解析】鸡兔同笼问题往往用假设法来解答，即假设全是鸡或全是兔，脚的总数必然与条件矛盾，根据数量上出现的矛盾适当调整，从而找到正确答案。假设全是鸡，那么相应的脚的总数应是235=70只，与实际相比，减少了9470=24只。减少的原因是把一只兔当作一只鸡时，要减少42=2只脚。所以兔有242=12只，鸡有3512=23只。【小试牛刀】小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？【解析】假设16只都是鸡，那么就应该有21632（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44-3212（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数。有兔（44-216）（4-2）=6（只），有鸡16-610（只）。【例2】面值是2元、5元的人民币共27张，全计99元。面值是2元、5元的人民币各有多少张？【解析】这道题类似于“鸡兔同笼”问题。假设全是面值2元的人民币，那么27张人民币是227=54元，与实际相比减少了9954=45元，减少的原因是每把一张面值2元的人民币当作一张面5元的人民币，要减少52=3元，所以，面值是5元的人民币有453=15张，面值2元的人民币有2715=12张。【小试牛刀】小白有2分、5分硬币共40枚，一共是1元7角。两种硬币各有多少枚？【解析】2分10枚，5分30枚【例3】一批水泥，用小车装载，要用45辆；用大车装载，只要36辆。每辆大车比小车多装4吨，这批水泥有多少吨？【解析】求出大车每辆各装多少吨，是解题关键。如果用36辆小车来运，则剩436=144吨，需4536=9辆小车来运，这样可以求出每辆小车的装载量是1449=16吨，所以，这批水泥共有1645=720吨。【小试牛刀】一批货物用大卡车装要16辆，如果用小卡车装要48辆。已知大卡车比小卡车每辆多装4吨，问这批货物有多少吨？【解析】96吨【例4】某玻璃杯厂要为商场运送1000个玻璃杯，双方商定每个运费为1元，如果打碎一个，这个不但不给运费，而且要赔偿3元。结果运到目的地后结算时，玻璃杯厂共得运费920元。求打碎了几个玻璃杯？【解析】假设1000个玻璃杯全部运到并完好无损，应得运费11000=1000元，实际上少得1000920=80元，这说明运输过程中打碎了玻璃杯。每打碎一个，不但不给运费还要赔偿3元，这样玻璃杯厂就少收入13=4元。又已求出共少收入80元，所以打碎的玻璃杯数为804=20个。【小试牛刀】搬运1000玻璃瓶，规定安全运到一只可得搬运费3角。但打碎一只，不仅不给搬运费还要赔5角。如果运完后共得运费260元，那么，搬运中打碎了多少只？【解析】50只【例5】某场乒乓球比赛售出30元、40元、50元的门票共200张，收入7800元。其中40元和50元的张数相等，每种票各售出多少张？【解析】因为“40元和50元的张数相等”，所以可以把40元和50元的门票都看作45元的门票，假设这200张门票都是45元的，应收入45200=9000元，比实际多收入90007800=1200元，这是因为把30元的门票都当作45元来计算了。因此30元的门票有1200（4530）=80张，40元和50元的门票各有（20080）2=60张。【小试牛刀】某场球赛售出40元、30元、50元的门票共400张，收入15600元。其中40元和50元的张数相等，每种门票各售出多少张？【解析】30元的160张【例6】一次竞赛的抢答题共有20道题，如果抢答对一道题就加10分，抢答错误要倒扣20分。李刚在比赛中抢答了9道题，一共加了30分，他抢答对几道题？【解析】假设李刚答对了9道题，那么他答错了（10930）（1020）=（9030）30=6030=2（道）答对了92=7（道）【例7】 鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只？【解析】假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多20020=180（只）。现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少426（只），而180630，因此有兔子30只，鸡1003070（只）。解：有兔（210020）（24）30（只），有鸡10030=70（只）。【小试牛刀】现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶共多装20千克。问：大、小瓶各有多少个？【解析】小瓶有（450-20）（42）30（个），大瓶有50-3020（个）。【例8】有蜘蛛、蝉、蜻蜓共22只，共有腿148条，翅膀22对。（其中蜘蛛有8条腿；蜻蜓有6条腿，两对翅膀；蝉有6条腿，一对翅膀）。求蜻蜓有多少只？【解析】这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题，我们先依据题意，得到以下几种数量：项目蜘蛛蜻蜓 蝉合计只数（只）22腿（条）8只数6只数6只数148翅膀（对）2只数1只数22注意到蜻蜓和蝉都是有6条腿，而蜘蛛有8条腿。所以可以先从腿数入手求出蜘蛛的只数。假设三种昆虫都是6条腿，那么总腿数是622=132（条），与已知的148条腿相差148132=16（条），这是因为每只蜘蛛少算了86=2（条）腿，所以有162=8（只）蜘蛛。这样蜻蜓和蝉一共有228=14（只），一共有22对翅膀。再从翅膀入手，假设14只昆虫全是蜻蜓，求出蝉有（21422）（21）=6（只），这样蜻蜓有146=8（只）。假设三种昆虫都是6条腿，那么蜘蛛有：（148622）（86）=（148132）2=162=8（只）蜻蜓和蝉一共有228=14（只）假设14只昆虫全是蜻蜓，那么蝉有：（21422）（21）=（2822）1=61=6（只）蜻蜓有146=8（只）【小试牛刀】蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现有三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀。问：每种小虫各有几只？【解析】9.5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉。提示：把小虫分成8条腿与6条腿两种，先求出蜘蛛的数。【例9】学校买来足球、篮球和排球共45个，共花费2820元。其中足球每个80元，篮球每个60元，排球每个50元；现已知足球个数比排球少3个。三种球各买了多少个？【解析】假设排球减少3个，此时三种球一共有453=42（个），共花费2820503=2670（元）。由于足球与排球个数同样多，就可以把足球与排球和起来看作是一种球，这时足球、排球平均每个是（80+50）2=65（元）。此时就将题目转化为典型的鸡兔同笼问题：两种球共有42个，共花费2670元，其中篮球每个是60元，另一种球每个是65元。两种球各有多少个？求出篮球有多少个以后，就可以求出足球和排球有多少个。将排球减少3个，那么有453=42（个）球，共花费2820503=2670（元），足球、排球平均每个是（8050）2=65（元）。假设全是另一种球，那么篮球有（65422670）（6560）=（27302670）5=605=12（个）这样足球与排球一共有33个，一共花了2820-6012=2100元。假设全是排球，那么足球有（21005033）（8050）=（21001650）30=45030=15（个）排球有3315=18（个）【小试牛刀】学校买来足球、篮球和排球共34个，共花费2430元。其中足球每个90元，篮球每个70元，排球每个60元；现已知买足球所花的钱数与买排球用的同样多。三种球各买了多少个？【解析】把2个足球、3个排球看作一组，求出平均每个球的价钱是：（902603）（23）=3605=72（元）假设学校买来的全是篮球，那么“新球”有：（24307034）（7270）=（24302380）2=502=25（只）篮球有：3425=9（只）足球有：25（23）2=2552=10（个）排球有：2510=15（个）【例10】师徒二人合作加工赶制一批零件。师傅每小时加工零件200个，徒弟每小时加工120个，中途师傅由于疲劳先后休息了3小时。工作完成后，徒弟发现他仍然比师傅少加工了200个零件。师徒二人共加工了多少个零件？【解析】师徒二人一共加工了2600个零件。1.100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问：大、小和尚各有多少人？【解析】如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300140160（个）。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少312（个），因为160280，故小和尚有80人，大和尚有1008020（人）。同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。2. 彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元。问：两种文化用品各买了多少套？【解析】我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚，一种“怪兔”有1个头19只脚，它们共有16个头，280只脚。这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。假设买了16套彩色文化用品，则共需1916304（元），比实际多30428024（元），现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用19118（元），所以买普通文化用品 248=3（套），买彩色文化用品 16313（套）。3.一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，那么这批钢材有多少吨？【解析】要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。利用假设法，假设只用36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下436=144（吨）。根据条件，要装完这144吨钢材还需要45-36=9（辆）小卡车。这样每辆小卡车能装144916（吨）。由此可求出这批钢材有多少吨。436（45-36）45720（吨）。答：这批钢材有720吨。4.乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶，双方商定每只运费0.24元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1.26元，结果搬运站共得运费115.5元。问：搬运过程中共打破了几只花瓶？【解析】假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费0.24500=120（元）。实际上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。搬运站每打破一只花瓶要损失0.241.261.5（元）。因此共打破花瓶4.51.53（只）。（0.24500115.5）（0.241.26）3（只）。5.小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3分钟，一共跳了780下。已知小喜比小乐每分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？【解析】利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了12（23）60（下）。可求出小乐每分钟跳（78060）（233）90（下），小乐一共跳了903=270（下），因此小喜比小乐共多跳7802702240（下）。6.有2角一张的人民币和5角一张的人民币共33张，共11元1角。两种人民币各有多少张？【解析】11元1角=111角假设全是5角一张的人民币，那么2角一张的人民币有：（533111）（52）=（165111）3=543=18（张）5角一张的人民币有：3318=15（张）7.在竞赛抢答题组比赛中，李刚和王平各自抢答了10道题，已知抢答的规则是答对一题加20分，答错一题要倒扣16分。结果两人一共得了256分，其中李刚比王平多得了72分。两人各答对了几道题？【解析】假设20道题全答对，那么二人一共答错：（2020256）（2016）=（400256）36=14436=4（道）二人一共答对：204=16（道）李刚比王平多答对：72（2016）=2（道）所以李刚答对：（162）2=9（道）王平答对：92=7（道）8红英小学组织120名教师和学生参加植树活动。每个老师植树2棵，每两个学生种一棵树。他们一共种了90棵树。老师和学生各有多少人？【解析】假设参加植树的全是学生，那么教师有：（901202）（20。5）=（9060）1。5=301。5=20(人)学生有：12020=100（人）9一个年级有四个班，一共有181名学生。其中一班比二班少3人，二班比三班少4人，三班人数与四班人数同样多。四个班各有多少学生？【解析】假设四个班的人数都与二班人数同样多，那么二班有：（181342）4=（1848）4=1764=44（人）一班有：443=41（人）三班、四班分别有：444=48（人）10传说九头鸟有9个头和 1条尾巴，九尾狐有1个头和9条尾巴。现在一共有153个头，177条尾巴。两种动物各有多少只？【解析】假设153个头全是九头鸟的，那么九尾狐有：9（1771539）（991）=9（17717）80=92=18（只）九头鸟有：（15318）9=1359=15（只）11.现在有5元一张和20元一张的人民币共520元，其中20元面值的人民币的张数是5元面值的3倍。两种面值的人民币各有多少张？【解析】5元面值的人民币有：520（2035）=52065=8（张）20元面值的人民币有：83=24（张）12修一条公路，如果由甲队单独修，需要6天完成；由乙队单独完成，需要12天。现在由甲队先单独修了一部分以后，再由乙队接着修，一共用了10天完成。两队各修了几天？【解析】这是一道较复杂的工程问题，我们可以尝试把它转化成鸡兔同笼问题。由已知，我们可以把这条公路平均分成24份，那么甲平均每天修其中的4份，乙平均每天修其中的2份。这样我们把一共修的天数看作是鸡兔头的总数，把甲每天修的看作是每只兔的腿数，乙每天修的看作是每只鸡的腿数。24份就是“鸡兔”的腿数和。有假设法可知：假设全是“鸡”，那么一共有兔（24210）（42）=2（只），即甲队修了2天，所以乙队修了102=8（天）。把公路平均分成24份，那么有甲队平均每天修其中的4份，乙队平均每天修其中的2份。假设乙队修了10天，那么甲队修了：（24210）（42）=42=2（天）乙队修了：102=8（天）