charpt1_5_静电场的环路定理与电势.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五节：静电场的环路定理与电势,电场力做功、电势,静电场性质：,进入电场的任何带电体都受电场作用力,电场力；,带电体在电场中移动时，电场力对带电体,做功。,一,.,静电场力的功,试验电荷,q,0,在电荷,q,的场中，由,a,点,运动至,b,点，计算电场力所做的功：,q,0,在场中受力,q,0,的位移（元）,电场力作元功,其中,则,静电场力对,点电荷做,功,静电场力的功,q,0,q,a,b,L,静电场力做功与路径无关,只由始末位置决定。,故,即：在,dl,线元上，电场力做功的有效位移为,dr,考虑闭合积分路径：,环量描述了流场的,旋转程度。,场强环路定理,则,即,场强环路定理,静电力是保守力,静电场是有势场。,由于静电场做功的环路积分只与初、末态相关，,当环路循环一周时，初、末态值相等。,由斯托克斯公式,静电场是无旋场,静电场的旋度,则,旋度,耐普拉算子,拉普拉斯算子,的散度,(divergence),的旋度,(rotation),II,I,静电力是保守力,即,q,0,在静电力作用下，从,P,点沿路径,I,到,Q,和沿路径,II,到,Q,的结果一样，与路径的选取无关，只与起点,P,和终点,Q,的位置相关，则静电场为保守力场。,保守力场可定义势能。,二,.,电势能,保守力做功等于势能增量的负值。,即系统做功，系统势能减少。,一般令参考点为远处，即,q,0,在远时，电势能,W,=0,，,则,a,点的电势能,设试验电荷,q,0,在电场力作用下，,自场中,a,点,运动至,b,点，势能减少：,系统做功分为：正功、负功。,当选定零势能点后，可以定义各点的势能。,W,a,等于电荷,q,0,自,a,点移至,远电场力的功；,电势能属于电场（,q,激发）和电荷（,q,0,）,共有；,电势能是标量，但是有正、有负；,电势能的参考点是可任选的。,或,【,讨论,】,：,依此,W,a,等于电荷,q,0,自,远移至,a,点外力作的功。,三,.,电势,W,a,不仅与电场有关，还与,q,0,有关，不是仅描述电场的量。,定义：,电势,电势,U,a,等于单位正电荷自,a,点移至,远,电场力,的功，,或等于单位正电荷自,远移至,a,点,外力,的功；,电势是,标量,，但是有正、有负；,原则上，零电势点是可,任选,的；,理论上，一般取,远处,电势为零；,实际中，一般选,大地,为零；,【,讨论,】,：,电势差（电压）,电场力的功,a,、,b,两点之间电势差：,单位正电荷从,a,点移动到,b,点过程中，电场力做的功。,电力线方向为电势降落最快的方向,三个引理,引理一：在无电荷的空间里电势不可能有极大值和极小值。,引,理二：若所有导体的电势为,0,，则导体以外空间的电势,处处为,0,。,推广：,若完全由导体所包围的空间里各导体的电势都相等,（设为,U,0,），则空间电势等于常量,U,0,。,引理三：若所有导体都不带电，则各导体的电势都相等。,引理二,(+),引理三可推论：,所有导体都不带电的情况下,空间各处的电势也和导体一样，等于同一常量。,三个引理的证明,引理一：在无电荷的空间里电势不可能有极大值和极小值,证明（反证）若有极大，则,极大,极小,若有极小，同样证明,引理二：若所有导体的电势为,0,，则导体以外空间的电势处处为,0,证明（反证）,在无电荷空间里电势分布连续变化，若空间有电势大于,0,（或小于,0,）的点，而边界上电势又处处等于零,必出现极大值或极小值,矛盾,推广：若完全由导体所包围的空间里各导体的电势都相等（设为,U,0,）,，,则空间电势等于常量,U,0,即,意味着空间电势有极大值，违背引理一,引理三：若所有导体都不带电，则各导体的电势都相等,证明（反证）,若不相等，必有一个最高，如图设,U,1,U,2,、,U,3,，,导体,1,是电场线的起点,其表面只有正电荷,导体,1,上的总电量不为,0,与前提矛盾,引理二,(,),引理三可推论：所有导体都不带电的情况下空间各处的电势也和导体一样，等于同一常量,叠加原理,在给定各带电导体的几何形状、相对位置后，给予两组边界条件：,1,：给定每个导体的电势,U,k,（,或总电量,Q,k,）,2,：,给定每个导体的电势,U,k,（,或总电量,Q,k,),设电势,U,、,U,分别,满足上述边界条件，则它们的线性组合,U,=,a,U,+,b U,必满足条件,:,每个导体的电势为,U,k,=,a,U,k,+,b U,k,（或总电量,Q,k,=,a,Q,k,+,b Q,k,）,特例：取,U,k,U,k,及,(a=1,b=-1),，,则,U,=,U,U,=0,，,每个导体的电势为,0,。,2.,点荷系场的电势,电势叠加原理,1.,点电荷场的电势,四,.,电势的计算,所以,3.,连续电荷场的电势,线电荷分布,面电荷分布,体电荷分布,由,可得,【,例题,】,：,计算电偶极子在任意一点,P,处的电势。,+,【,解,】,：,【,例题,】,：,计算均匀带电球面内外的电势。,【,解,】,：,设球面半径,R,，,电量,Q,R,O,U,r,球面电荷,U-r,线,球外（,r,R,）,:,均匀带电球面内外电势的分布如图,U-r,曲线。,球面内为等势体。,球,内（,r,R,）,:,【,例题,】,：,计算均匀带电球体内外的电势。,【,解,】,：,设,球面半径,R,，,电量,Q,球外（,r,R,）,:,均匀带电球面内外电势的分布如图,U-r,曲线。,球,内（,r,R,）,:,R,O,U,r,球面电荷,U-r,线,【,例,】,：,求均匀长直线电荷电势的分布。,【,解,】,：,设电荷线密度为,，,任一点,P,距线电荷,r,远，见图。,如设,U,=0,若设,U,0,=0,P,a,直线电荷的电势,怎样选择电势零点？,P,a,直线电荷的电势,常常取,a=,1,，,则,可设其他任意处电势为零,，,例如令,U,a,=0,，则,当,在均匀电场,E,0,中放入一个点电荷,q,，则空间电势如何？,E,0,q,对于均匀电场，不能取无穷远处为零电势，,对于点电荷，不能取电荷本身位置（坐标原点）为零电势,若取原点为零电势，,均匀电场单独,存在时的电势为：,对于任意一点,p,，,p,q,r,若取无穷远处为零电势，,点电荷单独,存在时的电势为：,选择除去无穷远处、原点以外的任意一点为零电势，,对于任意一点,p,的电势为：,E,0,q,p,q,r,其中,U,0,是个定值，当零电势点选定后，,U,0,就唯一确定。,U,0,怎样求得？,五,.,等势面,等势面（线、体）是电场中电势相等的点的集合。,等势面与电力线处处正交；,场强指向电势降落方向；,等势面密的地方电场强。,电场线不可能穿过等势面两次。,【,有,】,：,相邻等势面间电势差相等。,电力线与等势面,电荷沿等势面（线、体）运动时电场力不做功。,电力线与等势面,大小：,等于沿等势面法向的电势增长率,即沿等势面法向单位距离间的电势差；,2.,方向：,是该点电势沿空间增加率最大的方向。,六,.,电势梯度,如图,相邻等势面,a,和,b,的,电势依次为,U,和,U,+d,U,且,d,U0,。,因为,p,a,b,U,U,+d,U,电势梯度,所以,【,定义,】,：,电势梯度矢量,【,讨论,】,：,或,【,注,】,：,是矢量,在,方向的分量。,电势梯度与电场强度,则,即,或,p,a,b,U,U,+d,U,电势梯度与电场强度,等势面,a,与,b,之间的电势差,分量式,矢量式,静电场中任一场点的场强方向与电势增长率最大的方向相反；,静电场中任一场点的场强大小与电势增长率最大值相等。,提供了由空间一点的电势,求电场的关系式,a,+q,-q,电偶极子的电场,r,-,r,+,与 夹角,由图,代入上式得,电场强度,【,例,】,：,求,电偶极子电势与电场的分布。,【,解,】,：,设电偶极子 ，任一点,a,距离中心,r,，,极角,。,则电势,静电场的基本方程的微分形式,数学场论公式,对静电场方程积分形式进行变换可以得到一组静电场的,基本微分方程,有源,无旋,场方程的微分形式,静电场的基本,微分方程,作业：,15,，,16,，,18,，,20,