内招第三次概率.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,频 率 稳 定 值 概率,事件发生,的频繁程度,事件发生,的可能性的大小,频率的性质,概率的性质,性质,2,P,(,S,)=1,性质,3,若事件,A,1,A,2,两两互不相容,，,则有,这里事件个数可以是,有限或无限的,.,性质,1,0,P,(,A,)1,事件,事件的概率,图形,图形的面积,集合,P,(,S,)=1,对任一事件,A,，,有,。,设,、,B,是两个事件,，,若,则 有,。,加法法则：,事件互斥时,:,事件相容时,:,A,B,B,事件解释为图形,概率解释为图形,覆盖,的面积,称这种试验为,有穷等可能随机试验,或,古典概型,.,定义,若随机试验满足下述两个条件：,(1),它的样本空间只有有限多个样本点；,(2),每个样本点出现的可能性相同,.,古典概型,定义,（性质）,设试验,E,是,古典概型,其样,本空间,S,由,n,个样本点组成,事件,A,由,k,个样本点组成,.,则定义事件,A,的概率为,：,A,包含的样本点数,P(A),k/n,S,中的样本点总数,基本计数原理,加法原理,乘法原理,排列和组合的区别：,排列、组合,顺序不同是,不同的排列,而组合不管,顺序,1,个含有,k,个元素的组合对应着,k!,个排列,组合,:,允许重复的排列,:,排列,:,古典概率计算举例,抽样问题,（有放回）,抽样问题,（无放回）,挡板问题,抽签问题,几何概,型,生日问题,配对问题,一类彩票,例,设有,N,件产品,其中有,M,件次品,现从这,N,件中任取,n,件,求其中恰有,k,件次品的概率,.,注：如无说明，都是指无放回抽样,.,抽样问题,（无放回）,P12,注：抽样与分配,.,次品,正品,M,件次品,N-M,件,正品,例,设,有,3,个白球，2个红球，现从中任,抽,2,个,球，求,1,）取到一红一白的概率,;,2,）取到全是白的概率。,解,:1),设,A,-,取到一红一白,2),设,B,-,取到两白,注：,对于抽样问题的概率计算，,按有次序（,排列,）或无次序（,组合,）结果是一样的。,例,:,从有,9,件正品，,3,件次品的箱子中任取两次,有放回抽样：每次抽取产品观察后放回,抽样问题（有放回）,例,:,从有,9,件正品，,3,件次品的箱子中任取两次,从,12,件中任取两次，基本事件数为,事件,B,中的基本事件数为：,（乘法原理）,所以：,事件,C,中的基本事件数为：,（加法原理）,例,晚会上有,5,个不同的唱歌节目和,3,个舞蹈节目。若随机地排列节目，则出现以下节目单的概率是：,（1）,3,个舞蹈节目连在一起；,（2）3,个舞蹈节目彼此隔开。,解,:,挡板问题,例,袋中有,a,只白球，,b,只黑球从中依次取出球，试求第,k,次取出的球是黑球的概率,解：设：,A,=“,第,k,次取出的球是黑球”,抽签问题,则事件,A,的样本点总数为：,所以，事件,A,的概率为：,例,袋中有,a,只白球，,b,只黑球从中依次取出球，试求第,k,次取出的球是黑球的概率,解：设：,A,=“,第,k,次取出的球是黑球”,抽签问题,所以，事件,A,的概率为：,注：抽中的概率与,k,无关,配对问题,例,从,n,双不同的手套中任取,2r(2r0,则称,条件概率的定义,（基于古典概率的观察）,为在事件,B,发生的条件下,事件,A,的条件概率,.,古典概率的情形：,问题：条件概率是不是一种概率？,P15,P,(,A,)=3/6,，,例,如,，,掷一颗均匀骰子,，,A,=,掷出点,数小于,4,，,B,=,掷出偶数点,，,P,(,A,|,B),=,？,P,(,A,|,B,),C,包含的样本点数,P(C),k/n,S,中的样本点总数,P,(,A,|,B,),设,A,、,B,是两个事件,，,且,P,(,B,)0,则称,条件概率的定义,（基于古典概率的观察）,为在事件,B,发生的条件下,事件,A,的条件概率,.,问题：条件概率是不是一种概率？,它具有概率所有的性质。,条件概率是一种,（新的缩小的样本空间）,概率,。,P15,条件概率的性质,(,也可根据定义自行验证,),设,B,是一事件,，,且,P,(,B,)0,则,1.,对任一事件,A,，,0,P,(,A,|,B,)1;,2.,P,(,S,|,B,)=1,；,3.,设,A,1,A,n,互不相容，则,P,(,A,1,+A,n,)|,B,=,P,(,A,1,|,B,)+,P,(,A,n,|,B,),而且，前面对概率所证明的一些重要性质,都适用于条件概率,.,性质,对任一事件,A,，,有,P15,2),（古典概型）,从加入条件后改变了的情况去算,：,条件概率的计算,1),用定义计算,:,P,(,B,)0,掷骰子,例,：,A,=,掷出点,数小于,4,，,B,=,掷出偶数点,P,(,A,|,B,）,=,B,发生后的,缩减样本空间,所含样本点总数,在缩减样本空间,中,A,所含样本点,个数,P,(,A,|,B),=,？,例,一盒中混有,100,只新,旧乒乓球，各有红、白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，,若取得的是一只红球,，试求该红球是新球的概率。,红,白,新,40,30,旧,20,10,设,A,-,从盒中随机取到一只红球,.,B,-,从盒中随机取到一只新球,.,A,B,解：,在,A,发生后的,缩减样本空间,中计算,P,(,B,|,A),=,？,例,掷三个色子，若,已知没有两个相同的点数,，试求至少有一个一点的概率。,解：,设,A,-,没有两个相同的点数,。,B,-,至少有一个一点。,P,(,B,|,A),=,？,-,没有一点。,-,没有一点且没有两个相同的点数。,乘法法则,由条件概率的定义：,即,若,P,(,B,)0,则,P,(,AB,)=,P,(,B,),P,(,A,|,B,),而,P,(,AB,)=,P,(,BA,),乘法法则（公式）,若已知,P,(,B,),P,(,A,|,B,),时,可以反求,P,(,AB,).,将,A,、,B,的位置对调，有,故,P,(,A,)0,则,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,|,A,),若,P,(,A,)0,则,P,(,BA,)=,P,(,A,),P,(,B,|,A,),这两个式子,都称为乘法公式,利用,它们可计算两个事件同时发生的概率,P15,当,P,(,A,1,A,2,A,n-,1,)0,时,，,有,P,(,A,1,A,2,A,n,）,=,P,(,A,1,),P,(,A,2,|,A,1,),P,(,A,n,|,A,1,A,2,A,n-,1,),推广到多个事件的乘法公式,:,P(ABC),P(A)P(B|A)P(C|AB).,设,P,(,A,)0,则,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,|,A,),设,P,(,A,)0,则,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,|,A,),例,已知十个零件中有,3,个次品，现在逐个检查，则查完,9,个零件时正好查出,3,个次品的概率是多少。,解,令,C,表示,“,查完,9,个零件时正好查出,3,个次品,”,。,A,表示,“,前,8,次检查，查出,2,个次品,”,。,B,表示,“,第,9,次检查，查出的产品为次品,”,。,则,C=AB,。,注：,例,第一个袋中有黑、,白球各,2,只,第二个袋中有黑、白球各,3,只,.,先从第一个袋中任取一球放入第二个袋中,再从第二个袋中任取一球,.,求这两次都取到白球的概率,.,由乘法公式求得,记,第 次取到白球,则,解：,例,袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止求取了,n,次都未取出黑球的概率,解：,则,由乘法公式，我们有,全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用,.,综合运用,加法公式,P,(,A+B,)=,P,(,A,)+,P,(,B,),A,、,B,互斥,乘法公式,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,|,A,),P,(,A,)0,全概率公式和贝叶斯公式,P18-21,全概率公式,设,S,为随机试验的样本空间,，,A,1,A,2,A,n,是两两互斥的事件，且有,P,(,A,i,)0,，,i=,1,2,n,全概率公式,:,则对任一事件,B,，,有,证明：,P18-19,设,S,为随机试验的样本空间,，,A,1,A,2,A,n,是两两互斥的事件，且有,P,(,A,i,)0,，,i=,1,2,n,全概率公式,:,则对任一事件,B,，,有,称满足上述条件的,A,1,A,2,A,n,为,完备事件组,.,在较复杂情况下直接计算,P,(,B,),不易,但,B,总是伴随着一些,A,i,出现，适当地去构造这一组,A,i,往往可以简化计算,.,全概率公式的来由,不难由上式看出,:,“,全,”,部概率,P,(,B,),被分解成了许多部分之和,.,它的理论和实用意义在于,:,每一原因都可能导致,B,发生，故,B,发生的概率是各原因引起,B,发生概率的总和，即,全概率公式,.,全概率公式,.,我们还可以从另一个角度去理解,我们把事件,B,看作某一过程的结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,则我们可用全概率公式计算结果发生的概率,例,某小组有,20,名射手，其中一、二、三、四级射手分别为,2,、,6,、,9,、,3,名又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为,0.85,、,0.64,、,0.45,、,0.32,，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率,解：,由全概率公式，有,“,该小组在比赛中射中目标,”,“,第,i,级射手参加比赛”,例,有,10,个袋，其中甲袋二个,每袋中有红,球、白球各,2,个,;,乙袋三个,每袋中有红球,3,个、白球,2,个,;,丙袋五个,每袋中有红球,2,个、白球,3,个,.,从十个袋中任取一袋,再从袋中任取一球,求取到白球的概率,.,记 分别表示取到甲、乙、丙袋,由全概率公式有,取到白球,从甲、乙、丙袋取到白球的概率,全概率公式是概率的加权平均,解,例,从数,1,，,2,，,3,，,4,中任取一个数，记为,X,，再从,1,到,X,这,X,个数中任取一个数，记为,Y,，则,Y,=2,的概率是多少？,贝叶斯公式,该球取自哪号箱的可能性最大,?,实际中有下面一类,条件概率,问题，是,“,已知结果求原因,”,这一类问题在实际中更为常见，它所求的是,条件概率,，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小,.,某人从任一箱中任意摸出一球，,发现是红球,求该球是取自,1,号箱,的概率,.,1,2,3,1,红,4,白,或者问,:,贝叶斯公式,某人从任一箱中任意摸出一球，,发现是红球，求,该球是取自,1,号箱,的概率,.,记,A,i,=,球取自,i,号箱,i,=1,2,3;,B,=,取得红球,求,P,(,A,1,|,B,),运用全概率公式,计算,P,(,B,),将这里得到的公式一般化，就得到,贝叶斯公式,1,2,3,1,红,4,白,?,该公式于,1763,年由贝叶斯,(Bayes),给出,.,它是在观察到事件,B,已发生的条件下，寻找导致,B,发生的每个原因的概率,.,贝叶斯公式,:,设,A,1,A,2,A,n,为,完备事件组,.,B,为任一,事件,.,则,P19,贝叶斯公式,在贝叶斯公式中，,P,(,A,i,),和,P,(,A,i,|,B,),分别称为,原因的,验前概率,和,验后概率,.,P,(,A,i,)(,i,=1,2,n,),是在没有进一步信息（不知道事件,B,是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识,.,当有了新的信息（知道,B,发生），人们对诸事件发生可能性大小,P,(,A,i,|,B,),有了新的估计,.,贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。,在不了解案情细节,(,事件,B,),之前，侦破人员根据过去,的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为,比如原来认为作案可能性较小的某甲，,现在变成了重点嫌疑犯,.,例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有,甲、乙、丙三人,.,甲,乙,丙,P(,A,1,),P(,A,2,),P(,A,3,),但在知道案情细,节后,这个估计,就有了变化,.,P,(,A,1,|,B,),知道,B,发生后,P,(,A,2,|,B,),P,(,A,3,|,B,),最大,偏小,由,Bayes,公式,解,例,用某种,诊断法诊断一种疾病,记,判断被检验者患有该病,被检验者患有该病,已知,现在,若有一人被诊断患有该病,，问此人真正患有该病的可能性有多大？,又设人群中,例,袋中有,10,个黑球，,5,个白球现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球若已知取出的球全是白球，求掷出,3,点的概率,解：设：,B=,取出的球全是白球,则由,Bayes,公式，得,例,商店论箱出售玻璃杯，每箱,20,只，其中每箱含,0,，,1,，,2,只次品的概率分别为,0.8,0.1,0.1,，某顾客选中一箱，从中任选,4,只检查，结果都是好的，便买下了这一箱,.,问这一箱含有一个次品的概率是多少？,解,:,设,A,:,从一箱中任取,4,只检查,结果都是好的,.,B,0,B,1,B,2,分别表示事件每箱含,0,，,1,，,2,只次品,已知,:,P(B,0,)=0.8,P(B,1,)=0.1,P(B,2,)=0.1,由,Bayes,公式,:,条件概率,条件概率小结,缩减样本空间,定义式,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式,事件的独立性,两个事件的独立性,多个事件的独立性,独立性的概念在计算概率中的应用,如何判断事件的独立性,P21,n,重,Bernoulli,试验,两个事件的独立性,事件,B,发生,并不影响事件,A,发生的概率,.,即：,P,(,A,|,B,)=,P,(,A,),事件,A,发生,并不影响事件,B,发生的概率,.,两个事件的独立性,事件,B,发生,并不影响事件,A,发生的概率,.,即：,P,(,A,|,B,)=,P,(,A,),事件,A,发生,并不影响事件,B,发生的概率,.,注：,用,P(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,),刻划独立性,比用,P,(,A,|,B,)=,P,(,A,),或,P,(,B,|,A,)=,P,(,B,),更好,它不受,P,(,B,)0,或,P,(,A,)0,的制约,.,定义：,设,A,、,B,是两个随机事件，如果,则称 事件,A,与,B,相互独立,。,事件独立性的性质：,1,）如果事件,A,与,B,相互独立，而且,2,）必然事件,与任意随机事件,A,相互独立；,不可能事件,与任意随机事件,A,相互独立,3,）,若两事件,A,、,B,独立,则,也相互独立,.,定义,若三个事件,A,、,B,、,C,满足：,(1),P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称事件,A,、,B,、,C,两两独立,；,若在此基础上还满足：,P(ABC),P(A)P(B)P(C),三个事件的独立性,多个事件的独立性,P22,则,称事件,A,、,B,、,C,相互独立,。,如何判断事件的独立性,不相容性与独立性,实际应用中的独立性,请问：如图的两个事件是独立的吗？,即,若,A,、,B,互斥,，,且,P,(,A,)0,P,(,B,)0,则,A,与,B,不独立,.,反之，若,A,与,B,独立,，,且,P,(,A,)0,P,(,B,)0,则,A,、,B,不互斥,.,而,P,(,A,)0,P,(,B,)0,故,A,、,B,不独立,我们来计算：,P,(,AB,)=0,P,(,AB,),P,(,A,),P,(,B,),即,此例说明：互不相容与相互独立,几乎,不能同时成立,。,不相容性与独立性,在实际应用中,往往根据,问题,的,实际意义,去判断两事件是否独立,.,在实际应用中,往往根据,独立性,的,实际意义,去判断两事件是否独立,.,实际应用中的独立性,由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为,A,、,B,独立,.,甲、乙两人向目标射击,记,A,=,甲命中,B,=,乙命中,，,A,与,B,是否独立,？,例如,（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）,在实际应用中,往往根据,问题,的,实际意义,去判断两事件是否独立,.,一批产品共,n,件，从中抽取,2,件,，,设,A,i,=,第,i,件是合格品,i,=1,2,若抽取是有放回的,则,A,1,与,A,2,独立,.,因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响,.,又如：,因为第二次抽取的结果,不受第一次抽取的影响,.,若抽取是无放回的，则,A,1,与,A,2,不独立,.,在实际应用中,往往根据,问题,的,实际意义,去判断两事件是否独立,.,若随机事件,A,与,B,相互独立，则,也相互独立,.,例 设,A,B,C,是三个相互独立的随机事件，且,0P(AC)P(C)1,则下列四对事件中不相互独立的是,在实际应用中,往往根据,独立性,的,实际意义,去判断两事件是否独立,.,P22,对独立事件，,许多,概率计算可得到简化：,例,三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为,1/5,，,1/3,，,1/4,，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？,解：将三人编号为,1,，,2,，,3,，,独立性的概念在计算概率中的应用,所求为,P,(,A,1,+A,2,+A,3,),记,A,i,=,第,i,个人破译出密码,i,=1,2,3,1,2,所求为,P,(,A,1,+A,2,+A,3,),已知,P,(,A,1,)=1/5,P,(,A,2,)=1/3,P,(,A,3,)=1/4,P,(,A,1,+A,2,+A,3,),=1-1-,P,(,A,1,)1-,P,(,A,2,)1-,P,(,A,3,),3,P,(,A+B+C,)=,P,(,A,)+,P,(,B,)+,P,(,C,)-,P,(,AB,)-,P,(,BC,),-,P,(,AC,)+,P,(,ABC,),记,A,i,=,第,i,个人破译出密码,i,=1,2,3,n,个独立事件和的概率公式,:,设,事件,相互独立,则,P,(,A,1,+,A,n,),也相互独立,P22,至少有一个不发生”,的概率为,“,