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整式与因式分解
知识点梳理
知识点一：代数式及相关概念
关键点拨及对应举例
1.代数式
(1)代数式：用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式．
(2)求代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，计算得出的结果，叫做求代数式的值．
求代数式的值常运用整体代入法计算.
例：a－b＝3，则3b－3a＝ .
2.整式
(单项式、多项式)
(1)单项式：表示数字与字母积的代数式，单独的一个数或一个字母也叫单项式.其中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数.
(2)多项式：几个单项式的和。多项式中的每一项叫做多项式的项，次数最高的项的次数叫做多项式的次数.
(3)整式：单项式和多项式统称为整式.
(4)同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.
注意：所有的常数项都是同类项.
例：(1)下列式子：
①-2a2;
②3a-5b；
③x/2;
④2/x;
⑤7a2;
⑥7x2+8x3y；
⑦2017.
单项式是 ；
多项式是 ；
同类项是 .
(2)多项7m5n-11mn2+1
是 次 项式，常数项是 .
知识点二：整式的运算
3.整式的加减运算
(1)合并同类项法则:同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．
(2)去括号法则: 若括号外是“＋”，则括号里的各项都不变号；若括号外是“－”，则括号里的各项都变号.
(3)整式的加减运算法则：先去括号，再合并同类项.
失分警示：去括号时，如果括号外面是负号，一定要变号，且与括号内每一项相乘，不要有漏项.
例：－2(3a－2b－1)＝
.
4.幂运算法则

(1)积的乘方：(ab)n＝ ；
(2)幂的乘方：(am)n＝ ；
(3)同底数幂的乘法：am·an＝ ；
(4)同底数幂的除法：am÷an＝ .

其中m,n都是整数.

(1)注意观察，善于运用它
们的逆运算解决问题.
例：已知2m+n=2,则
3×2m×2n= .
(2)在解决幂的运算时，有时需要先化成同底数.
例：2m·4m= .
5.整式的乘除运算
(1)单项式×单项式：①系数和同底数幂分别相乘；
②只有一个字母的照抄．
(2)单项式×多项式： m(a+b)= .
(3)多项式×多项式：(m+n)(a+b)= .
(4)单项式÷单项式：将系数、同底数幂分别相除.
(5)多项式÷单项式：①多项式的每一项除以单项式；
②商相加．
失分警示：计算多项式乘以多项式时，注意不能漏乘，不能丢项，不能出现变号错.
例：(2a－1)(b＋2)＝
.

(6)
乘法公式
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝ .

注意乘法公式的逆向运用及其变形公式的运用.

完全平方公式：(a±b)2＝ .
变形公式：a2+b2=(a±b)2∓2ab
(a+b)2-(a-b)2=4ab
6.混合运算
注意计算顺序，应先算乘除，后算加减；
若为化简求值，一般步骤为：化简、代入替换、计算．
(a-1)2-(a+3)(a-3)-10= .
知识点三：因式分解
7.因式分解
(1)定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式．
(2)常用方法：①提公因式法：
ma＋mb＋mc＝ .
②公式法：a2－b2＝ ；
a2±2ab＋b2＝ .
(3) 一般步骤：①若有公因式，必先提公因式；
②提公因式后，看是否能用公式法分解；
③检查各因式能否继续分解.
(1) 因式分解要分解到最后结果不能再分解为止，相同因式写成幂的形式；
(2) 因式分解与整式的乘法互为逆运算．
【例题分析】
【例题1】下了各式运算正确的是(　　)
A．2(a﹣1)=2a﹣1 B．a2b﹣ab2=0 C．2a3﹣3a3=a3 D．a2+a2=2a2
【例题2】已知4a+3b=1，则整式8a+6b﹣3的值为　 　．
【例题3】分解因式：x3﹣9x=　 　．
【例题4】由于受H7N9禽流感的影响，我市某城区今年2月份鸡的价格比1月份下降a%，3月份比2月份下降b%，已知1月份鸡的价格为24元/千克．设3月份鸡的价格为m元/千克，则(　　)
A． m=24(1﹣a%﹣b%) B．m=24(1﹣a%)b%
C．m=24﹣a%﹣b% D．m=24(1﹣a%)(1﹣b%)
【例题5】分解因式：2a2﹣8=　 　．
【例题6】阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法．
(1)二次项系数2=1×2；
(2)常数项﹣3=﹣1×3=1×(﹣3)，验算：“交叉相乘之和”；

1×3+2×(-1)=1 1×(-1)+2×3=5 1×(-3)+2×1=﹣1 1×1+2×(-3)=﹣5
（3） 第③个“交叉相乘之和”的结果1×(﹣3)+2×1=﹣1，等于一次项系数﹣1．
即：(x+1)(2x﹣3)=2x2﹣3x+2x﹣3=2x2﹣x﹣3，则2x2﹣x﹣3=(x+1)(2x﹣3)．
像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x2+5x﹣12=　 　．
【习题练习】
1. 下列运算正确的是(　　)
A．(π﹣3)0=1 B． =±3 C．2-1=﹣2 D．(-a2)3=a6
2. 3-2=　　．
3. 下列算式运算结果正确的是(　　)
A．(2x5)2=2x10 B．(-3)-2= C．(a+1)2=a2+1 D．a-(a-b)= -b
4. 下列运算正确的是(　　)
A．a2•a2=2a2 B．a2+a2=a4 C．(1+2a)2=1+2a+4a2 D．(-a+1)(a+1)=1﹣a2
5. 分解因式：﹣2x2y+16xy﹣32y=　 　．
6. 若实数x满足x2﹣2x﹣1=0，则2x3﹣7x2+4x﹣2017=　 　．
7. 在实数范围内因式分解：x5﹣4x=　 　．
8. 下面是小颖化简整式的过程，仔细阅读后解答所提出的问题．
解：x(x+2y)﹣(x+1)2+2x
=x2+2xy﹣x2+2x+1+2x 第一步
=2xy+4x+1 第二步
(1)小颖的化简过程从第　 　步开始出现错误；
(2)对此整式进行化简．

9. 先化简，再求值：(2a﹣1)2﹣2(a+1)(a﹣1)﹣a(a﹣2)，其中a=+1．

10.先化简，再求值：(a+3)2﹣2(3a+4)，其中a=﹣2．

11. 化简并求值：x(x﹣2)+(x+1)2，其中x=﹣2．