第十四章---整式乘除及因式分解(知识点+题型分类练习).pdf

1整整式式乘乘除除及及因因式式分分解解知知识识点点梳梳理理一、幂的运算：一、幂的运算：1、同底数幂的乘法法则：（都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注nmnmaaanm,意底数可以是多项式或单项式。2、幂的乘方法则：（都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：mnnmaa)(nm,10253)3(幂的乘方法则可以逆用：即 如：mnnmmnaaa)()(23326)4()4(43、积的乘方法则：（是正整数）。积的乘方，等于各因数乘方的积。nnnbaab)(n4、同底数幂的除法法则：（都是正整数，且同底数幂相除，底数不变，nmnmaaanma,0)nm f指数相减。5、零指数；，即任何不等于零的数的零次方等于 1。10a二、单项式、多项式的乘法运算：二、单项式、多项式的乘法运算：6、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。如：。xyzyx32327、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即(都是单项式)。如：=。mcmbmacbam)(cbam,)(3)32(2yxyyxx8、多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。9、平方差公式：注意平方差公式展开只有两项22)(bababa公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。如：=)(zyxzyx10、完全平方公式：2222)(bababa三项式的完全平方公式：bcacabcbacba222)(222211、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。如：bamba24249712、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所2的的商相加。即：cbamcmmbmmammcmbmam)(三、因式分解的常用方法三、因式分解的常用方法1、提公因式法（1）会找多项式中的公因式；公因式的构成一般情况下有三部分：系数一各项系数的最大公约数；字母各项含有的相同字母；指数相同字母的最低次数；（2）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项（3）注意点：提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“”号，使括号内的第一项的系数是正的2、公式法运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：平方差公式：a2b2（ab）（ab）完全平方公式：a22abb2（ab）2 a22abb2（ab）2 3、在数学学习过程中，学会利用整体思考问题的数学思想方法和实际运用意识。如：对于任意自然数 n，都能被动 24 整除。22)5()7(nn四、乘法公式的变式运用四、乘法公式的变式运用1、位置变化，xyyx2、符号变化，xyxy3、指数变化，x2y2x2y24、系数变化，2ab2ab5、换式变化，xyzmxyzm6、增项变化，xyzxyz7、连用公式变化，xyxyx2y28、逆用公式变化，xyz2xyz23整式的乘法和因式分解整式的乘法和因式分解考点考点 1 1、考查整式的有关概念、考查整式的有关概念1（2016常德）若x3ya 与 xby 是同类项，则 a+b 的值为（）A2 B3 C4 D52（2016上海）下列单项式中，与 a2b 是同类项的是（）A2a2b Ba2b2 Cab2 D3ab3（2015崇左）下列各组中，不是同类项的是（）A52与 25 Bab 与 ba C0.2a2b 与a2b Da2b3与a3b24（2015柳州）在下列单项式中，与 2xy 是同类项的是（）A2x2y2 B3y Cxy D4x5.（2014毕节）若与可以合并成一项，则的值是（）bam42banmn225mm A2 B 0 C1 D16.（2012梅州）若代数式4x6y 与 x2ny 是同类项，则常数 n 的值为7（20132013 江苏）江苏）若 2a-b=5,则多项式 6a-3b 的值是 考点考点 2 2、去括号、化简绝对值、去括号、化简绝对值1（2012济宁）下列运算正确的是（）A.2（3x1）=6x1 B.2（3x1）=6x+1 C.2（3x1）=6x2 D.2（3x1）=6x+22（2015济宁）化简 16（x0.5）的结果是（）A16x0.5 B16x+0.5 C16x8 D16x+83.（2016佛山）化简()mnmn的结果是()A0 B2m C2n D22mn4.（2013新疆）若 a，b 为实数，且|a+1|+=0，则（ab）2013的值是（）A.0 B.1 C.-1 D.15.若 xyz,则x-y+y-z+z-x的值为()A.2x-2z B.0 C.2x-2y D.2z-2x46.（2012广州）下面的计算正确的是（）A.6a5a=1 B.a+2a2=3a3 C.(ab)=a+b D.2(a+b)=2a+b7.（2012浙江）化简：2(1)_.aa考点考点 3 3、根据题意列代数式、根据题意列代数式1.（2014盐城）“x 的 2 倍与 5 的和”用代数式表示为 2.（2010嘉兴）用代数式表示“a、b两数的平方和”，结果为_。3.（2012滨州）根据你学习的数学知识，写出一个运算结果为 a6的算式 4（2012浙江）某校艺术班同学，每人都会弹钢琴或古筝，其中会弹钢琴的人数比会弹古筝的人数多 10人，两种都会的有 7 人。设会弹古筝的有人，则该班同学共有_人（用含有的代数式表示）mm5.（2013安徽）某企业今年 3 月份产值为万元，4 月份比 3 月份减少了 10，5 月份比 4 月份增加了a15，则 5 月份的产值是（）A.（-10）（+15）万元 B.（1-10）（1+15）万元 aaaC.（-10+15）万元 D.（1-10+15）万元aa6.（2011浙江）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图）不重叠地放在一个底面为长方形（长为 m cm，宽为 n cm）的盒子底部（如图），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示则图中两块阴影部分的周长和是（）A.4mcm B.4ncm C.2（m+n）cmD.4（mn）cm考点考点 4 4、计算、计算1.如果8a写成下列各式，正确的共有（）44aa；42)(a；216aa；24)(a；44)(a；1220aa；44aa；8882aaa A.7 个 B.6 个 C.5 个 D.4 个2.下列运算正确的是（）A.B.C.D.523xxx3 36()xx5510 xxx336xxx3.下面的计算正确的是（）A6a5a=1 B.a+2a2=3a3 C.（ab）=a+b D.2（a+b）=2a+b4.下列运算正确的是（）A.a+a=a2 B.（a3）2=a5 C.3aa2=a3 D.（a）2=2a25.下列运算正确的是()5A.x+x=x2 B.x2x2=x2 C.xx2=x4 D.（2x2）2=6x66.下列计算正确的是（）A.x3x2=2x6 B.x4x2=x8 C.(-x2)3=-x6 D.(x3)2x57.下列计算正确的是（）A.a2a4a6 B.2a3b5ab C.(a2)3a6 D.a6a3a28.下列运算正确的是（）A.=B.C.D.3321)21(532aa2632aaa9.下列计算正确的是()A.a3a2=a6 Ba2a4=2a2 C.(a3)2=a6 D.(3a)2=a610.下列计算正确的是（）A.B.C.D.532xxx632xxx532)(xx235xxx11.下列计算正确的是（）A.B.C.D.223aaa235aaa33aa33()aa12.下列运算正确的是()A.B.C.D.=3362aaa633aaa3332aaa23(2)a68a13.下列计算正确的是()Aa3aa2 B(2a)24a2Cx3x-2x-6Dx6x3x214.下列计算正确的是（）A.B.C.D.abab235aaa235()aa3326aaa63915.下列计算正确的是()A.2a 2a 23a 4 B.a 6a 2a 3 C.a 6a 2a 12 D.(a 6)2a 1216.下列运算正确的是（）A.4312xxx B.4381xx C.430 xxx x D.437xxx17.下列运算正确的是（）A.a2a3=a6 B.a3a2=a C.(a3)2=a9 D.a2+a3=a518.下列计算正确的是（）A.B.3（a-2b）=3a-2b C.a4+a4=a8 D.a5a3=a2734)(aa19.下列各式计算正确的是（）6A.（a+1）2=a2+1 B.a2+a3=a5 C.a8 a2=a6 D.3a22a2=1 20.下列计算正确的是()A.3a-a=2 B.222a23aa C.236aaa D.222()abab21.下列计算正确的是（）A.B.C.=D.123 aa2464aaa2aa a222)(baba22.下列计算正确的是（）A.2a+3b=5ab B.C.D.22(2)4xx326()abab0(1)123.下列运算正确的是（）A3a+2a=5a2 B（2a）3=6a3 C.（x+1）2=x2+1 Dx24=（x+2）（x2）24.下列运算正确的是（）AB.C.D.623aaa6223)(baab222)(baba235 aa25.下列运算中，正确的是()A.a3a4=a12 B.(a3)4=a12 C.a+a4=a5 D.(a+b)(ab)=a2+b226.下列计算正确的是（）A.B.C.D.422642aaa11)(a22a532)(aa257xxx27.（2014台湾）计算多项式 10 x37x215x5 除以 5x2后，得余式为何？()AB.2x215x5C.3x1 D.15x515x55x228.（2014扬州）若3xy=3x2y，则内应填的单项式是（）A.xy B.3xy C.x D.3x29.若n221623，则 n 等于（）A.10 B.5 C.3 D.630.已知2239494bbabanm，则（）A.m=4,n=3 B.m=4,n=1 C.m=1,n=3 D.m=2,n=331.若 39m27m=311，则 m 的值为（）A.2 B.3 C.4 D.532.若，则=_125512xxx2009)2(33.已知 2x+13x-1=144，则 x=_734.如果2423)(aaax，则_x35.如果(anbabm)3a9b15，那么 mn 的值是36.已知 am=2，an=3，则 am+2n=；37.若，则4xm 2_xm36.若，则=.32nana638已知 10m=3，10n=2，则 102m-n=39.若,，则的值为（）43 x79yyx 23A.B.C.D.744737240.已知a-b=1，则代数式 2a-2b-3 的值是（）A.-1 B.1 C.-5 D.5 41.2005200440.2542.()2002(1.5)2003(1)2004_。2343.已知，求；1,5xyyx22yx 2)(yx 44.计算：（1）（2）（3）223247173yxzyx2232232yxyx26416baba（4）（5）（6）322324nnxyyx 3910210433233212116xyyxyx8（7）（8）（9）32232228a baab 33323538310ab ca ba b 32325223393aabbaba b（10）)4()7124(22333ababaa （11）4a2x2（52a4x3y3）（21a5xy2）考点考点 5 5：因式分解求解：因式分解求解【基础应用】1.解答题：将下列各式分解因式提公因式法：x4x3y 12ab6b 3x（mn）2（mn）2232a xyb xy 3（x3）26（3x）y2（2x1）y（2x1）2 a2b（ab）3ab（ab）y（xy）2（yx）3 2a（xy）-3b（yx）2x2n4x n9平方差公式a2 9 a24b2 m2n2 x225 a2-144b2 16x2-249x 25y24a29b2 （ab）264(a+m)2-(a+n)2 m481n4 （2a3b）2（ba）2完全平方公式（1）25102xx解：原式=2（）（）（）=（）x222（2）2816aa解：原式=2（）（）（）=（）a222（3）442 aa解：原式=2（）（）（）=（）a222（4）21236aa解：原式=（）2（）（）（）=（）222（5）49142xx原式=2（）（）（）=（）x222(6)81182yy原式=2（）（）（）=（）y222(7)1442 xx解：原式=（）2（）（）（）=（）222412982aa）（解：原式=（）2（）（）（）=（）222（9）222510yxyx解：=（）2（）（）（）=（）222510yxyx222（10）2244mmnn10解：原式=2（）（）（）=（）m222（11）221664xaxa解：原式=2（）（）（）=（）x222（12）91242aba解：原式=（）2（）（）（）=（）222a216a64 a26a9 x24y24xy 244xyxy 168（）（）2962xxabba4)(2xyxy综合应用39aa 2x2-88 a22 ab34ab a3ab2 822 axx93a416a2 12a63a2b2 34xx22m4 22323mxymn a3baba3a 2x2+4x+2 x2y2xy2+y3 5x2y10 xy215xy x3y+2x2yxy 3222xx yxy 3269xxx11 4x34x2x 2249284aabb2225204xxyymmxmx4842 3（xy）227a2（xy）+16（yx）m2（xy）n2（yx）（3m2n2）2（m23n2）2 （ab）22（ab）（ab）（ab）22.下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（）A.x2+1 B.x2+2x1 C.x2+x+1 D.x2+4x+43（2014安徽）下列四个多项式中，能因式分解的是（）A.a2+1B.a26a+9C.x2+5yD.x25y4.下列式子变形是因式分解的是（）A.x-5x+6=x（x-5）+6 B.x-5x+6=（x-2）（x-3）22C.（x-2）（x-3）=x-5x+6 D.x-5x+6=（x+2）（x+3）225.把24aa多项式分解因式，结果正确的是（）A.a(a-4)B.(a+2)(a-2)C.a(a+2)(a-2)D.(a-2)2-4126.下面的多项式中，能因式分解的是（）A.nm 2 B.C.D.12 mmnm 2122 mm7.下列各因式分解正确的是（）A.x2+(2)2=(x2)(x+2)B.x2+2x1=(x1)2C.4x24x+1=(2x1)2D.x24x=2(x+2)(x2)8.分解因式的正确结果是（）bababa23496A.B.C.D.)96(22 aaba)3)(3(2aaba22)3(ab22)3(aba9下列分解因式正确的是（）A.a+a3=a（1+a2）B.2a4+2=2（a2）bbC.a24=（a2）2 D.a22a+1=（a1）210.下列因式分解正确的是（）A.x3xx(x21)B.x23x2x(x3)2 C.x2y2(xy)2 D.x22x1(x1)211.下列分解因式正确的是（）A.+3=（1+2）B.24+2=2（2）C.24=（2）2D.22+1=（1）2a aaaababaaaaa12.下列因式分解正确的是（）A.x3xx(x21)B.x23x2x(x3)2 C.x2y2(xy)2 D.x22x1(x1)2【能力提高】1.（2014毕节）下列因式分解正确的是（）A.2x22=2（x+1）（x1）B.x2+2x1=（x1）2 C.x2+1=（x+1）2 D.x2x+2=x（x1）+22.（2010四川）把代数式分解因式，下列结果中正确的是269mxmxmA.B.C.D.2(3)m x(3)(3)m xx2(4)m x 2(3)m x 3.（2014湖南）下列因式分解中，正确的个数为（）x3+2xy+x=x（x2+2y）；x2+4x+4=（x+2）2；x2+y2=（x+y）（xy）A.3 个B.2 个C.1 个 D.0 个4.若x2y220，且xy5，则xy的值是（）A.5 B.4 C.4 D.以上都不对5.若ab=8,a2b2=82,则 3ab的值为（）A.9 B.9 C.27 D.276.已知（mn）2=8，（m+n）2=2，则 m2+n2=（）A.10 B.6 C.5 D.3137.已知 x+y=5，xy=6，则 x2+y2=若，则_。3 yx1xy22yx8.若，且，则分解因式：a41=622 nm3 nm nm9.已知，则。4,3xyxy22_xy10.（2010宁波）、若，则_。3 yx1xy22yx11.若则_ _。6,422yxyxxy12.已知，=_。15xx21xx13.如果成立，那么 k=_。2212xxkx14.下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（）A.x2+1 B.x2+2x1 C.x2+x+1 D.x2+4x+415.若是一个完全平方式，那么 m 的值是_。22916xmxyy16.要使 16x2+1 成为一个完全平方式，可以加上一个单项式。17.若 25x2+30 xy+k是一个完全平方式，则k是（）A.36y2 B.9y2 C.6y2 D.y218.二次三项式是一个完全平方式，则的值是29xkxk19.若 9x2kxy4y2是一个完全平方式，则k的值是_20.当 m=_时，多项式是一个完全平方式。2249xmxyy21.若多项式能写成一个多项式的平方的形式，则 a 的值为_。2216xax22.要使等式成立，代数式应是（）22()(）yxMyxMA.2xy B.4xy C.4xy D.2xy23.(2010安徽)因式分解：9x2y24y4_24.（2011山东）因式分解：321aaa=_25.（2010浙江）因式分解：2mx24mx2m_26.应用简便方法计算：（1）2012201 （2）2972 （3）10.32 （4）19992-2000199814（5）4.3199.87.6199.81.9199.8 （6）2200720072008 200627.（2014威海）将下列多项式分解因式，结果中不含因式 x1 的是（）A.x21 B.x（x2）+（2x）C.x22x+1 D.x2+2x+128（2015临沂）多项式 mx2-m 与多项式 x2-2x+1 的公因式是（）A.x-1 B.x+1 C.x2-1 D.(x-1)229.(2010遵义)已知，则.012 aa20093aa30.（2014孝感）若 ab=1，则代数式 a2b22b 的值为考点考点 6 6：计算求值：计算求值1（2010益阳）已知，求代数式的值31x4)1(4)1(2xx2.（2010福建）计算：)3()2)(2(xxxx.3.（2014济南）计算：)4()3)(3(aaaa154.对于任意正整数 n，一定是 10 的倍数。323222nnnn5.求证：257-512能被 120 整除 6.证明：能被 45 整除。8127979137.已知能被整除，其商式为，求 m、n 的值。323121710 xxx22mxmx5xn8.当 a、b 的值为多少时，多项式有最小值，并求出这个最小值。223625abab169.若一个三角形的三边长 a，b，c，满足，试判断三角形的形状。2222220abcabbc考点考点 7 7：化简求值：化简求值1.（2013衡阳）先化简，再求值：（1+a）（1a）+a（a2），其中2.（2013娄底）先化简，再求值：（x+y）（xy）（4x3y8xy3）2xy，其中 x=1，3.（2013常德）先化简再求值：（+），其中 a=5，b=2174.（2013巴中）先化简，然后 a 在1、1、2 三个数中任选一个合适的数代入求值5.先化简，再求值：（x+3）（x3）x（x2），其中 x=46.先化简，再求值（2x+3）（2x3）4x（x1）+（x2）2，其中 x=7.先化简，再求值：(1)(1)(1)，其中2012aaaaa8.先化简，后求值xyxyxyx2)()(2，其中5.1,3yx18C3H8C2H6CH4HHHHHHHHHHHHHHCCCCCHHHHC9.先化简，再求值：(3)2(1)(2)，其中1xxxx考点考点 8 8、观察规律求解、观察规律求解1（2015临沂）观察下列关于x 的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，按照上述规律，第2015 个单项式是（）A2015x2015 B4029x2014 C4029x2015 D4031x20152.（2016丽水）下列是三种化合物的结构式及分子式，请按其规律，写出后一种化合物的分子式 3.（2010青岛中考）如图，是用棋子摆成的图案，摆第 1 个图案需要 7 枚棋子，摆第 2 个图案需要 19枚棋子，摆第 3 个图案需要 37 枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第 6 个图案需要 枚棋子，摆第n个图案需要 枚棋子 4.（2013张家界）阅读材料：求 1+2+22+23+24+22013的值解：设 S=1+2+22+23+24+22012+22013，将等式两边同时乘以 2 得：2S=2+22+23+24+25+22013+22014 将下式减去上式得 2SS=22014119 即 S=220141 即 1+2+22+23+24+22013=220141请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+210（2）1+3+32+33+34+3n（其中 n 为正整数）