第三章集合基本概念及运算1.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,集合论简介,现代数学中，每个对象,(,如数，函数等,),本质上都是集合，都可以用某种集合来定义，数学的各个分支，本质上都是在研究某一种对象集合的性质。集合论的特点是研究对象的广泛性，它也是计算机科学与工程的基础理论和表达工具，而且在程序设计，数据结构，形式语言，关系数据库，操作系统等都有重要应用。,集合论是研究集合一般性质的数学分支，它的,创始人是康托尔,(,，,1845,1918),。在,第三章,集合的基本概念和运算,第一节,集合的基本概念,内容：,集合，元素，子集，幂集等。,重点：,(1),掌握集合的概念及两种表示法，,(3),掌握子集及两集合相等的概念，,(4),掌握幂集的概念及求法。,(2),常见的集合,和特殊集合,，,一、集合的概念。,1,、,集合,具有某种特定性质的事物的总体。,集合用大写的字母标记,其中的对象称元素，用小写字母标记,表示集合,含有元素,注意：,(1),或,(2),集合中的元素均不相同,表示同一个集合。,(3),集合的元素可以是任何类型的事物，,一个集合也可以作为另一个集合的元素。,例如：,2,、集合的表示法。,(1),列举法,(,将元素一一列出,),例如：,(2),描述法,(,用谓词概括元素的属性,),例如：,一般，用描述法表示集合,3,、常见的一些集合。,4,、集合间的关系。,(1),的子集，记,为,为,的真子集，记,4,、集合间的关系。,5,、特殊的集合。,空集,(2),对任意集合,有,(3),两集合,相等，记作,全集,),(,或,(,为任一集合,),例,1,、,选择适当的谓词表示下列集合。,(1),小于,5,的非负整数集,解：,(2),奇整数集合,解：,例,1,、,选择适当的谓词表示下列集合。,(3)10,的整倍数集合，,解：,解：,(4),例,2,、,用列举法表示下列集合。,解：,解：,(1),(2),例,2,、,用列举法表示下列集合。,解：,解：,(3),(4),例,3,、,确定下面命题的真值：,(1),真值,真值,(2),(3),真值,(4),真值,例,3,、,确定下面命题的真值：,真值,真值,真值,真值,(5),(6),(7),(8),例,4,、,有可能,，,且,为集合，若,吗？,吗，有可能,解：,两种情形都有可能。,设,，,则,。,，有,又设,，,则,。,，但,二、幂集。,1,、,子集。,元,个元素的集合,),的,元集,(,例如：,为,3,元集。,0,元子集：,(,只有一个,),，,1,元子集：,个,),，,(,共,2,元子集：,个,),，,(,共,3,元子集：,个,),。,(,共,一般，,个。,元集共有子集,解：,2,、集合,的幂集，,记,的全体子集为元素的集合。,例,5,、,。,，求,若,个元素。,有,个元素，则,有,例,6,、,求以下集合的幂集。,(1),解：,(2),解：,(3),解：,例,6,、,求以下集合的幂集。,解：,解：,(4),(5),第二节,集合的基本运算,内容：,集合的运算，文氏图，运算律。,重点：,(1),掌握集合的运算,(2),用文氏图表示集合间的相互,关系和运算，,(3),掌握基本运算律的内容及运用。,一、集合的运算。,，,相对补集,集合,，,的并集,交集,，,对称差,。,绝对补集,，,(,当,不交,),时，称,(,以上定义加以推广，,(,其中,为全集,),，,(1),(2),(3),(4),，求出以下集合。,，,例,1,、,设,，,，,(5),(6),(7),(8),，求出以下集合。,，,例,1,、,设,，,，,1,、文氏图。,(2),矩形内的圆表示集合，,(1),用大矩形表示全集,，,二、文氏图,。,1,、文氏图。,(3),除特殊情形外，一般，表示两个集合,的圆是相交的，,(4),圆中的阴影的区域表示新组成的集合。,二、文氏图,。,2,、用文氏图表示集合的有关运算。,例,2,、,用文氏图表示下列集合。,(1),2,、用文氏图表示集合的有关运算。,例,2,、,用文氏图表示下列集合。,(2),2,、用文氏图表示集合的有关运算。,例,2,、,用文氏图表示下列集合。,(3),2,、用文氏图表示集合的有关运算。,例,2,、,用文氏图表示下列集合。,(4),例,3,、,用集合公式表示下列文氏图中的阴影部分。,(1),解：,例,3,、,用集合公式表示下列文氏图中的阴影部分。,(2),解：,三、集合运算律。,1,、,幂等律：,，,2,、,结合律：,3,、,交换律：,4,、,分配律：,三、集合运算律。,5,、,同一律：,6,、,零律：,7,、,互否律：,(,排中律,),，,(,矛盾律,),8,、,吸收律：,，,三、集合运算律。,9,、,德,摩根律：,三、集合运算律。,9,、,德,摩根律：,10,、,双重否定律：,以上恒等式的证明思路：,欲证,。,，,，即证对任意,故,例,4,、,证明分配律,。,证明：,对任意,，,除基本运算外，还有以下一些常用性质,(,证明略,),13,、,14,、,15,、,12,、,11,、,，,，,除基本运算外，还有以下一些常用性质,(,证明略,),16,、,17,、,18,、,19,、,20,、,“,”的交换律,“,”的结合律,故,例,5,、,证明：,(,第,14,条,),证明：,对任意,，,证明：,例,6,、,证明,。,例,7,、,化简,所以原式化简为,解：,因为,，,所以,，,又因为,所以,，,例,7,、,化简,解：,又,最后，原式化简为,。,例,8,、,设,为假的各有哪些？,（,1,）,（,2,）,（,3,）,的子集，以下命题中为真，,均为,解：,为真的命题有,(1),、,(3),、,(5),，,为假的命题有,(2),、,(4),、,(6),。,例,8,、,设,为假的各有哪些？,（,4,）,（,5,）,（,6,）,的子集，以下命题中为真，,均为,第三节,集合中元素的计数,内容：基数；集合的计数,重点,：（,1,）文氏图解决计数问题,（,2,）容斥原理,有穷集的计数问题,使用文氏图可以很方便地解决有穷集的计数问题。,1.,根据已知条件把对应的文氏图画出来。,一般地说，每一条性质决定一个集合。,有多少条性质，就有多少个集合。,如果没有特殊说明，任何两个集合都画成相交的,2.,将已知集合的元素数填入表示该集合的区域内。,通常从,n,个集合的交集填起，,根据计算的结果将数字逐步填入所有的空白区域。,如果交集的数字是未知的，可以设为,x,。,3.,根据题目中的条件，列出一次方程或方程组，就可以求得所需要的结果。,例,1,对,24,名会外语的科技人员进行掌握外语情况的调查。其统计结果如下：会英、日、德和法语的人分别为,13,，,5,，,10,和,9,人，其中同时会英语和日语的有,2,人，会英、德和法语中任两种语言的都是,4,人。已知会日语的人既不懂法语也不懂德语，分别求只会一种语言,(,英、德、法、日,),的人数和会三种语言的人数。,解,：令,A,，,B,，,C,，,D,分别表示会英、法、德、日语的人的集合。根据题意画出文氏图。设同时会三种语言的有,x,人，只会英、法或德语一种语言的分别为,y,1,，,y,2,和,y,3,人。将,x,和,y,1,，,y,2,，,y,3,填入图中相应的区域，然后依次填入其它区域的人数。,y,2,x,4-x,4-x,4-x,y,1,y,3,2,5-2,法,9,英,13,日,5,德,10,A,B,C,D,包含排斥原理,定理,设,S,为有穷集，,P,1,P,2,P,m,是,m,个性质。,S,中的 任何元素,x,或者具有性质,P,i,，,或者不具有性质,P,i,(i=,1,2,m),两种情况必具其一。令,A,i,表示,S,中具有性质,P,i,的元素构成的子集，则,S,中不具有性质,P,1,P,2,P,m,的元素为,推论,S,中至少具有一条性质的元素数为,例,2,求,1,到,1000,之间,(,包含,1,和,1000,在内,),既不能被,5,和,6,，也不能被,8,整除的数有多少个。,解,设,S,x|xZ1x1000,A,x|xSx,可被,5,整除,B,x|xS,x,可被,6,整除,C,x|xSx,可被,8,整除,x,表示小于等于,x,的最大整数,lcm(x,1,x,2,x,n,),表示,x,1,x,2,x,n,的最小公倍数,|A|,1000/5,200,|B|,1000/6,166,|C|,1000/8,125,|AB|,1000/,lcm(5,6),33,|AC|,1000/,lcm(5,8),25,|BC|,1000/,lcm(6,8),41,|ABC|,1000/,lcm(5,6,8),8,将这些数字依次填入文氏图，得到,根据包含排斥原理，所求不能被,5,，,6,和,8,整除的数应为,由文氏图也可得知，不能被,5,，,6,和,8,整除的数有,1000,(200+100,33,67),600,个。,第三章,小结与例题,一、集合的基本概念。,1,、基本概念。,元素和集合的属于关系；有限集和无限集；,子集和真子集；集合的相等；空集和全集；,幂集。,2,、应用。,(1),用集合的两种表示法表示集合。,(2),求给定集合的幂集。,二、集合的基本运算。,1,、基本概念。,交集，并集，差集，补集，对称差集；,文氏图；基本运算律。,2,、应用。,(1),用文氏图表示集合间的相互关系和运算。,(2),运用基本运算律进行证明，化简等。,三、集合中元素的计数,1,、应用。,文氏图,、,包含排斥原理,有穷集计数问题,表示计算机科学系学生的集合，,表示二年级大学生的集合，,表示数学系学生的集合，,表示选修离散数学的学生的集合，,表示爱好文学的学生的集合，,表示爱好体育运动的学生的集合，,用集合交集，并集和包含关系表示：,(1),所有计算机科学系二年级的学生都选修离散数学，,解：,例,1,、,设,表示一年级大学生的集合，,(2),数学系的学生或者爱好文学或者爱好体育运动，,解：,表示计算机科学系学生的集合，,表示二年级大学生的集合，,表示数学系学生的集合，,表示选修离散数学的学生的集合，,表示爱好文学的学生的集合，,表示爱好体育运动的学生的集合，,用集合交集，并集和包含关系表示：,例,1,、,设,表示一年级大学生的集合，,(3),数学系一年级的学生都没有选修离散数学，,解：,表示计算机科学系学生的集合，,表示二年级大学生的集合，,表示数学系学生的集合，,表示选修离散数学的学生的集合，,表示爱好文学的学生的集合，,表示爱好体育运动的学生的集合，,用集合交集，并集和包含关系表示：,例,1,、,设,表示一年级大学生的集合，,(4),只有一、二年级的学生才爱好体育运动，,解：,表示计算机科学系学生的集合，,表示二年级大学生的集合，,表示数学系学生的集合，,表示选修离散数学的学生的集合，,表示爱好文学的学生的集合，,表示爱好体育运动的学生的集合，,用集合交集，并集和包含关系表示：,例,1,、,设,表示一年级大学生的集合，,(5),除去数学系二年级和计算机科学系二年级的,学生外都,不选修离散数学。,解：,表示计算机科学系学生的集合，,表示二年级大学生的集合，,表示数学系学生的集合，,表示选修离散数学的学生的集合，,表示爱好文学的学生的集合，,表示爱好体育运动的学生的集合，,用集合交集，并集和包含关系表示：,例,1,、,设,表示一年级大学生的集合，,(1),解：,解：,例,2,、,设,，,，,确定在以下条件下,集合相等？,中哪个,可能与,，,，,(2),，但,解：,或,(4),若,解：,或,例,2,、,设,，,，,确定在以下条件下,集合相等？,中哪个,可能与,，,，,(3),且,解：,与其中任何集合都不相等,例,2,、,设,，,，,确定在以下条件下,集合相等？,中哪个,可能与,，,，,(5),若,且,例,3,、,简要说明：,举出它们的元素和子集。,的区别，,与,子集有,解：,是无任何元素的集合，,，,是以集合为元素的集合，,元素为,。,，子集有,例,4,、,设,，,，,，,，,问上述集合中有哪些是相等的。,解：,(1),解：,结论不一定成立。,例,5,、,设,是集合，证明或反驳下列断言。,若,则有,，,，,，,，,，但,若,则有,，,，,，,。,(2),解：,结论不一定成立。,例,5,、,设,是集合，证明或反驳下列断言。,若,则有,，,，,，,，,，但,若,则有,，,，,，,。,(3),解：,结论成立。,由,因,。,有,知：,故,。,例,5,、,设,是集合，证明或反驳下列断言。,(1),，有,证明：,设,例,6,、,设,为任意集合，证明：,又,，,，即有,，故,所以,。,例,6,、,设,为任意集合，证明：,(2),证明：,设,，有,又,，,，故,即,，,所以,。,例,7,、,求下列集合的基数和每个集合的幂集。,(1),解：,基数,2,，,幂集为：,(2),解：,基数,3,，,幂集为：,(1)2,，,4,，,6,，,8,解：,例,8,、设,试用,其中：,表示下述集合。,(2)3,，,6,，,9,解：,例,8,、设,试用,其中：,表示下述集合。,(3)10,解：,例,8,、设,试用,其中：,表示下述集合。,解：,(4),是偶数,例,8,、设,试用,其中：,表示下述集合。,(5),是奇数,),是正偶数,),例,8,、设,试用,其中：,表示下述集合。,解：,例,8,、设,试用,其中：,表示下述集合。,(1),所有奇数的集合；,解：,(2),解：,例,9,、,都是,表示下列集合。,和,的子集，试用,(3),解：,(4),解：,例,9,、,都是,表示下列集合。,和,的子集，试用,