资源描述
2026届江苏省无锡市宜城环科园教联盟市级名校初三第一次模拟考试-数学试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.下列运算结果正确的是( )
A.3a2-a2 = 2 B.a2·a3= a6 C.(-a2)3 = -a6 D.a2÷a2 = a
2.如图,AB是⊙O的切线,半径OA=2,OB交⊙O于C,∠B=30°,则劣弧的长是( )
A.π B. C.π D.π
3.将函数的图象用下列方法平移后,所得的图象不经过点A(1,4)的方法是( )
A.向左平移1个单位 B.向右平移3个单位
C.向上平移3个单位 D.向下平移1个单位
4.下列命题中,真命题是( )
A.如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部,那么这两个圆外离
B.如果一个点即在第一个圆上,又在第二个圆上,那么这两个圆外切
C.如果一条直线上的点到圆心的距离等于半径长,那么这条直线与这个圆相切
D.如果一条直线上的点都在一个圆的外部,那么这条直线与这个圆相离
5.有五名射击运动员,教练为了分析他们成绩的波动程度,应选择下列统计量中的( )
A.方差 B.中位数 C.众数 D.平均数
6.下列二次根式中,最简二次根式是( )
A. B. C. D.
7.已知方程的两个解分别为、,则的值为()
A. B. C.7 D.3
8.2017年,山西省经济发展由“疲”转“兴”,经济增长步入合理区间,各项社会事业发展取得显著成绩,全面建成小康社会迈出崭新步伐.2018年经济总体保持平稳,第一季度山西省地区生产总值约为3122亿元,比上年增长6.2%.数据3122亿元用科学记数法表示为( )
A.3122×10 8元 B.3.122×10 3元
C.3122×10 11 元 D.3.122×10 11 元
9.一个多边形内角和是外角和的2倍,它是( )
A.五边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形
10.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为点E,DE=1,则BC= ( )
A. B.2 C.3 D.+2
11.某工程队开挖一条480米的隧道,开工后,每天比原计划多挖20米,结果提前4天完成任务,若设原计划每天挖米,那么求时所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
12.关于x的方程x2+(k2﹣4)x+k+1=0的两个根互为相反数,则k值是( )
A.﹣1 B.±2 C.2 D.﹣2
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
13.若式子有意义,则实数x的取值范围是_______.
14.如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=50°,AB的垂直平分线MN交AC于点D,则∠DBC的度数是____________.
15.若代数式在实数范围内有意义,则实数x的取值范围为_____.
16.已知关于x的方程x2+kx﹣3=0的一个根是x=﹣1,则另一根为_____.
17.新田为实现全县“脱贫摘帽”,2018年2月已统筹整合涉农资金235000000元,撬动800000000元金融资本参与全县脱贫攻坚工作,请将235000000用科学记数法表示为___.
18.一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处,沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处,则该船行驶的速度为____________海里/时.
三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.(6分)已知OA,OB是⊙O的半径,且OA⊥OB,垂足为O,P是射线OA上的一点(点A除外),直线BP交⊙O于点Q,过Q作⊙O的切线交射线OA于点E.
(1)如图①,点P在线段OA上,若∠OBQ=15°,求∠AQE的大小;
(2)如图②,点P在OA的延长线上,若∠OBQ=65°,求∠AQE的大小.
20.(6分)如图所示,一艘轮船位于灯塔P的北偏东方向与灯塔Р的距离为80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处.求此时轮船所在的B处与灯塔Р的距离.(结果保留根号)
21.(6分)如图,圆O是的外接圆,AE平分交圆O于点E,交BC于点D,过点E作直线.
(1)判断直线l与圆O的关系,并说明理由;
(2)若的平分线BF交AD于点F,求证:;
(3)在(2)的条件下,若,,求AF的长.
22.(8分)某汽车制造公司计划生产A、B两种新型汽车共40辆投放到市场销售.已知A型汽车每辆成本34万元,售价39万元;B型汽车每辆成本42万元,售价50万元.若该公司对此项计划的投资不低于1536万元,不高于1552万元.请解答下列问题:
(1)该公司有哪几种生产方案?
(2)该公司按照哪种方案生产汽车,才能在这批汽车全部售出后,所获利润最大,最大利润是多少?
(3)在(2)的情况下,公司决定拿出利润的2.5%全部用于生产甲乙两种钢板(两种都生产),甲钢板每吨5000元,乙钢板每吨6000元,共有多少种生产方案?(直接写出答案)
23.(8分)某超市开展早市促销活动,为早到的顾客准备一份简易早餐,餐品为四样A:菜包、B:面包、C:鸡蛋、D:油条.超市约定:随机发放,早餐一人一份,一份两样,一样一个.
(1)按约定,“某顾客在该天早餐得到两个鸡蛋”是 事件(填“随机”、“必然”或“不可能”);
(2)请用列表或画树状图的方法,求出某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的概率.
24.(10分)抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),与y轴正半轴交于点C.
(1)如图1,若A(-1,0),B(3,0),
① 求抛物线的解析式;
② P为抛物线上一点,连接AC,PC,若∠PCO=3∠ACO,求点P的横坐标;
(2)如图2,D为x轴下方抛物线上一点,连DA,DB,若∠BDA+2∠BAD=90°,求点D的纵坐标.
25.(10分)为了解某校落实新课改精神的情况,现以该校九年级二班的同学参加课外活动的情况为样本,对其参加“球类”、“绘画类”、“舞蹈类”、“音乐类”、“棋类”活动的情况进行调查统计,并绘制了如图所示的统计图.
(1)参加音乐类活动的学生人数为 人,参加球类活动的人数的百分比为
(2)请把图2(条形统计图)补充完整;
(3)该校学生共600人,则参加棋类活动的人数约为 .
(4)该班参加舞蹈类活动的4位同学中,有1位男生(用E表示)和3位女生(分别用F,G,H表示),先准备从中选取两名同学组成舞伴,请用列表或画树状图的方法求恰好选中一男一女的概率.
26.(12分)解不等式组:并写出它的所有整数解.
27.(12分)先化简,再求值:(﹣1)÷,其中x=1.
参考答案
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1、C
【解析】
选项A, 3a2-a2 = 2 a2;选项B, a2·a3= a5;选项C, (-a2)3 = -a6;选项D,a2÷a2 = 1.正确的只有选项C,故选C.
2、C
【解析】
由切线的性质定理得出∠OAB=90°,进而求出∠AOB=60°,再利用弧长公式求出即可.
【详解】
∵AB是⊙O的切线,
∴∠OAB=90°,
∵半径OA=2,OB交⊙O于C,∠B=30°,
∴∠AOB=60°,
∴劣弧ACˆ的长是:=,
故选:C.
本题考查了切线的性质,圆周角定理,弧长的计算,解题的关键是先求出角度再用弧长公式进行计算.
3、D
【解析】
A.平移后,得y=(x+1)2,图象经过A点,故A不符合题意;
B.平移后,得y=(x−3)2,图象经过A点,故B不符合题意;
C.平移后,得y=x2+3,图象经过A点,故C不符合题意;
D.平移后,得y=x2−1图象不经过A点,故D符合题意;
故选D.
4、D
【解析】
根据两圆的位置关系、直线和圆的位置关系判断即可.
【详解】
A.如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部,那么这两个圆外离或内含,A是假命题;
B.如果一个点即在第一个圆上,又在第二个圆上,那么这两个圆外切或内切或相交,B是假命题;
C.如果一条直线上的点到圆心的距离等于半径长,那么这条直线与这个圆相切或相交,C是假命题;
D.如果一条直线上的点都在一个圆的外部,那么这条直线与这个圆相离,D是真命题;
故选:D.
本题考查了两圆的位置关系:设两圆半径分别为R、r,两圆圆心距为d,则当d>R+r时两圆外离;当d=R+r时两圆外切;当R-r<d<R+r(R≥r)时两圆相交;当d=R-r(R>r)时两圆内切;当0≤d<R-r(R>r)时两圆内含.
5、A
【解析】
试题分析:方差是用来衡量一组数据波动大小的量,体现数据的稳定性,集中程度;方差越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,数据越稳定.故教练要分析射击运动员成绩的波动程度,只需要知道训练成绩的方差即可.
故选A.
考点:1、计算器-平均数,2、中位数,3、众数,4、方差
6、C
【解析】
检查最简二次根式的两个条件是否同时满足,同时满足的就是最简二次根式,否则就不是.
【详解】
A.被开方数含能开得尽方的因数或因式,故A不符合题意,
B.被开方数含能开得尽方的因数或因式,故B不符合题意,
C.被开方数不含分母;被开方数不含能开得尽方的因数或因式,故C符合题意,
D.被开方数含分母,故D不符合题意.
故选C.
本题考查最简二次根式的定义,最简二次根式必须满足两个条件:被开方数不含分母;被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
7、D
【解析】
由根与系数的关系得出x1+x2=5,x1•x2=2,将其代入x1+x2−x1•x2中即可得出结论.
【详解】
解:∵方程x2−5x+2=0的两个解分别为x1,x2,
∴x1+x2=5,x1•x2=2,
∴x1+x2−x1•x2=5−2=1.
故选D.
本题考查了根与系数的关系,解题的关键是根据根与系数的关系得出x1+x2=5,x1•x2=2.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键.
8、D
【解析】
可以用排除法求解.
【详解】
第一,根据科学记数法的形式可以排除A选项和C选项,B选项明显不对,所以选D.
牢记科学记数法的规则是解决这一类题的关键.
9、B
【解析】
多边形的外角和是310°,则内角和是2×310=720°.设这个多边形是n边形,内角和是(n﹣2)•180°,这样就得到一个关于n的方程,从而求出边数n的值.
【详解】
设这个多边形是n边形,根据题意得:
(n﹣2)×180°=2×310°
解得:n=1.
故选B.
本题考查了多边形的内角与外角,熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键.根据多边形的内角和定理,求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决.
10、C
【解析】
试题分析:根据角平分线的性质可得CD=DE=1,根据Rt△ADE可得AD=2DE=2,根据题意可得△ADB为等腰三角形,则DE为AB的中垂线,则BD=AD=2,则BC=CD+BD=1+2=1.
考点:角平分线的性质和中垂线的性质.
11、C
【解析】
本题的关键描述语是:“提前1天完成任务”;等量关系为:原计划用时−实际用时=1.
【详解】
解:原计划用时为:,实际用时为:.
所列方程为:,
故选C.
本题考查列分式方程,分析题意,找到关键描述语,找到合适的等量关系是解决问题的关键.
12、D
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系列出方程求解即可.
【详解】
设方程的两根分别为x1,x1,
∵x1+(k1-4)x+k-1=0的两实数根互为相反数,
∴x1+x1,=-(k1-4)=0,解得k=±1,
当k=1,方程变为:x1+1=0,△=-4<0,方程没有实数根,所以k=1舍去;
当k=-1,方程变为:x1-3=0,△=11>0,方程有两个不相等的实数根;
∴k=-1.
故选D.
本题考查的是根与系数的关系.x1,x1是一元二次方程ax1+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x1=− ,x1x1= ,反过来也成立.
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
13、x≤2且x≠1
【解析】
根据被开方数大于等于1,分母不等于1列式计算即可得解.
【详解】
解:由题意得,且x≠1,
解得且x≠1.
故答案为且x≠1.
本题考查的知识点为:分式有意义,分母不为1;二次根式的被开方数是非负数.
14、15°
【解析】
分析:根据等腰三角形的性质得出∠ABC的度数,根据中垂线的性质得出∠ABD的度数,最后求出∠DBC的度数.
详解:∵AB=AC,∠BAC=50°, ∴∠ABC=∠ACB=(180°-50°)=65°,
∵MN为AB的中垂线, ∴∠ABD=∠BAC=50°, ∴∠DBC=65°-50°=15°.
点睛:本题主要考查的是等腰三角形的性质以及中垂线的性质定理,属于中等难度的题型.理解中垂线的性质是解决这个问题的关键.4
15、x≤1
【解析】
根据二次根式有意义的条件可求出x的取值范围.
【详解】
由题意可知:1﹣x≥0,
∴x≤1
故答案为:x≤1.
本题考查二次根式有意义的条件,解题的关键是利用被开方数是非负数解答即可.
16、1
【解析】
设另一根为x2,根据一元二次方程根与系数的关系得出-1•x2=-1,即可求出答案.
【详解】
设方程的另一个根为x2,
则-1×x2=-1,
解得:x2=1,
故答案为1.
本题考查了一元二次方程根与系数的关系:如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,那么x1+x2=-,x1x2=.
17、2.35×1
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【详解】
解:将235000000用科学记数法表示为:2.35×1.
故答案为:2.35×1.
本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
18、
【解析】
设该船行驶的速度为x海里/时,由已知可得BC=3x,AQ⊥BC,∠BAQ=60°,∠CAQ=45°,AB=80海里,在直角三角形ABQ中求出AQ、BQ,再在直角三角形AQC中求出CQ,得出BC=40+40=3x,解方程即可.
【详解】
如图所示:
该船行驶的速度为x海里/时,
3小时后到达小岛的北偏西45°的C处,
由题意得:AB=80海里,BC=3x海里,
在直角三角形ABQ中,∠BAQ=60°,
∴∠B=90°−60°=30°,
∴AQ=AB=40,BQ=AQ=40,
在直角三角形AQC中,∠CAQ=45°,
∴CQ=AQ=40,
∴BC=40+40=3x,
解得:x=.
即该船行驶的速度为海里/时;
故答案为:.
本题考查的是解直角三角形,熟练掌握方向角是解题的关键.
三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19、(1)30°;(2)20°;
【解析】
(1)利用圆切线的性质求解;
(2) 连接OQ,利用圆的切线性质及角之间的关系求解。
【详解】
(1)如图①中,连接OQ.
∵EQ是切线,
∴OQ⊥EQ,
∴∠OQE=90°,
∵OA⊥OB,
∴∠AOB=90°,
∴∠AQB=∠AOB=45°,
∵OB=OQ,
∴∠OBQ=∠OQB=15°,
∴∠AQE=90°﹣15°﹣45°=30°.
(2)如图②中,连接OQ.
∵OB=OQ,
∴∠B=∠OQB=65°,
∴∠BOQ=50°,
∵∠AOB=90°,
∴∠AOQ=40°,
∵OQ=OA,
∴∠OQA=∠OAQ=70°,
∵EQ是切线,
∴∠OQE=90°,
∴∠AQE=90°﹣70°=20°.
此题主要考查圆的切线的性质及圆中集合问题的综合运等.
20、海里
【解析】
过点P作,则在Rt△APC中易得PC的长,再在直角△BPC中求出PB.
【详解】
解:如图,过点P作,垂足为点C.
∴,,海里.
在中,,
∴(海里).
在中,,
∴(海里).
∴此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是海里.
解一般三角形,求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题,解决的方法就是作高线.
21、(1)直线l与相切,见解析;(2)见解析;(3)AF=.
【解析】
连接由题意可证明,于是得到,由等腰三角形三线合一的性质可证明,于是可证明,故此可证明直线l与相切;
先由角平分线的定义可知,然后再证明,于是可得到,最后依据等角对等边证明即可;
先求得BE的长,然后证明∽,由相似三角形的性质可求得AE的长,于是可得到AF的长.
【详解】
直线l与相切.
理由:如图1所示:连接OE.
平分,
.
,
.
,
.
直线l与相切.
平分,
.
又,
.
又,
.
.
由得.
,,
∽.
,即,解得;.
.
故答案为:(1)直线l与相切,见解析;(2)见解析;(3)AF=.
本题主要考查的是圆的性质、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、切线的判定,证得是解题的关键.
22、(1)共有三种方案,分别为①A型号16辆时, B型号24辆;②A型号17辆时,B型号23辆;③A型号18辆时,B型号22辆;(2)当时,万元;(3)A型号4辆,B型号8辆; A型号10辆,B型号 3辆两种方案
【解析】
(1)设A型号的轿车为x辆,可根据题意列出不等式组,根据问题的实际意义推出整数值;
(2)根据“利润=售价-成本”列出一次函数的解析式解答;
(3)根据(2)中方案设计计算.
【详解】
(1)设生产A型号x辆,则B型号(40-x)辆
153634x+42(40-x)1552
解得,x可以取值16,17,18共有三种方案,分别为
A型号16辆时, B型号24辆
A型号17辆时,B型号23辆
A型号18辆时,B型号22辆
(2)设总利润W万元
则W=
=
w随x的增大而减小
当时,万元
(3)A型号4辆,B型号8辆; A型号10辆,B型号 3辆两种方案
本题主要考查了一次函数的应用,以及一元一次不等式组的应用,此题是典型的数学建模问题,要先将实际问题转化为不等式组解应用题.
23、(1)不可能;(2).
【解析】
(1)利用确定事件和随机事件的定义进行判断;
(2)画树状图展示所有12种等可能的结果数,再找出其中某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的结果数,然后根据概率公式计算.
【详解】
(1)某顾客在该天早餐得到两个鸡蛋”是不可能事件;
故答案为不可能;
(2)画树状图:
共有12种等可能的结果数,其中某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的结果数为2,
所以某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的概率=.
本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.
24、(1)①y=-x2+2x+3②(2)-1
【解析】
分析:(1)①把A、B的坐标代入解析式,解方程组即可得到结论;
②延长CP交x轴于点E,在x轴上取点D使CD=CA,作EN⊥CD交CD的延长线于N.由CD=CA ,OC⊥AD,得到∠DCO=∠ACO.由∠PCO=3∠ACO,得到∠ACD=∠ECD,从而有tan∠ACD=tan∠ECD,
,即可得出AI、CI的长,进而得到.设EN=3x,则CN=4x,由tan∠CDO=tan∠EDN,得到,故设DN=x,则CD=CN-DN=3x=,解方程即可得出E的坐标,进而求出CE的直线解析式,联立解方程组即可得到结论;
(2)作DI⊥x轴,垂足为I.可以证明△EBD∽△DBC,由相似三角形对应边成比例得到,
即,整理得.令y=0,得:.
故,从而得到.由,得到,解方程即可得到结论.
详解:(1)①把A(-1,0),B(3,0)代入得:
,解得:,
∴
②延长CP交x轴于点E,在x轴上取点D使CD=CA,作EN⊥CD交CD的延长线于N.
∵CD=CA ,OC⊥AD,∴ ∠DCO=∠ACO.
∵∠PCO=3∠ACO,∴∠ACD=∠ECD,∴tan∠ACD=tan∠ECD,
∴,AI=,
∴CI=,∴.
设EN=3x,则CN=4x.
∵tan∠CDO=tan∠EDN,
∴,∴DN=x,∴CD=CN-DN=3x=,
∴,∴DE= ,E(,0).
CE的直线解析式为:,
,解得:.
点P的横坐标 .
(2)作DI⊥x轴,垂足为I.
∵∠BDA+2∠BAD=90°,∴∠DBI+∠BAD=90°.
∵∠BDI+∠DBI=90°,∴∠BAD=∠BDI.
∵∠BID=∠DIA,∴△EBD∽△DBC,∴,
∴,
∴.
令y=0,得:.
∴,∴.
∵,
∴,
解得:yD=0或-1.
∵D为x轴下方一点,
∴,
∴D的纵坐标-1 .
点睛:本题是二次函数的综合题.考查了二次函数解析式、性质,相似三角形的判定与性质,根与系数的关系.综合性比较强,难度较大.
25、(1)7、30%;(2)补图见解析;(3)105人;(3)
【解析】
试题分析:(1)先根据绘画类人数及其百分比求得总人数,继而可得答案;
(2)根据(1)中所求数据即可补全条形图;
(3)总人数乘以棋类活动的百分比可得;
(4)利用树状图法列举出所有可能的结果,然后利用概率公式即可求解.
试题解析:解:(1)本次调查的总人数为10÷25%=40(人),∴参加音乐类活动的学生人数为40×17.5%=7人,参加球类活动的人数的百分比为×100%=30%,故答案为7,30%;
(2)补全条形图如下:
(3)该校学生共600人,则参加棋类活动的人数约为600×=105,故答案为105;
(4)画树状图如下:
共有12种情况,选中一男一女的有6种,则P(选中一男一女)==.
点睛:本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
26、原不等式组的解集为,它的所有整数解为0,1.
【解析】
先求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部分,然后写出它的所有整数解即可.
【详解】
解:,
解不等式①,得,
解不等式②,得x<2,
∴原不等式组的解集为,
它的所有整数解为0,1.
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法.解一元一次不等式组的简便求法就是用口诀求解.求不等式组解集的口诀:同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到(无解).
27、-1.
【解析】
先化简题目中的式子,再将x的值代入化简后的式子即可解答本题.
【详解】
解:原式=,
=,
=,
=﹣,
当x=1时,
原式=﹣=﹣1.
本题主要考查分式的化简求值,解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则
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