2025-2026学年广东省佛山市超盈实验中学初三第二学期开学考试数学试题含解析.doc

2025-2026学年广东省佛山市超盈实验中学初三第二学期开学考试数学试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是（ ）

A．4的算术平方根 B．4的立方根 C．8的算术平方根 D．8的立方根
2．下列计算正确的是()
A．2x2－3x2＝x2 B．x＋x＝x2 C．－(x－1)＝－x＋1 D．3＋x＝3x
3．如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，﹣4），顶点C在x轴的正半轴上，函数y=（k＜0）的图象经过点B，则k的值为（　　）

A．﹣12 B．﹣32 C．32 D．﹣36
4． “a是实数，”这一事件是（ ）
A．不可能事件 B．不确定事件 C．随机事件 D．必然事件
5．某班为奖励在学校运动会上取得好成绩的同学，计划购买甲、乙两种奖品共20件．其中甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元．如果购买甲、乙两种奖品共花费了650元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件．设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件．依题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（，4），则△AOC的面积为

A．12 B．9 C．6 D．4
7．已知一组数据a，b，c的平均数为5，方差为4，那么数据a﹣2，b﹣2，c﹣2的平均数和方差分别是.（　　）
A．3，2 B．3，4 C．5，2 D．5，4
8．已知点、都在反比例函数的图象上，则下列关系式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
10．如图，AB为⊙O直径，已知为∠DCB=20°，则∠DBA为（ ）

A．50° B．20° C．60° D．70°
11．下列运算正确的是（　　）
A．x3+x3=2x6 B．x6÷x2=x3 C．（﹣3x3）2=2x6 D．x2•x﹣3=x﹣1
12．在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽取了10名选手，记录他们的成绩（所用的时间）如下：
选手
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
时间(min)
129
136
140
145
146
148
154
158
165
175
由此所得的以下推断不正确的是（ ）
A．这组样本数据的平均数超过130
B．这组样本数据的中位数是147
C．在这次比赛中，估计成绩为130 min的选手的成绩会比平均成绩差
D．在这次比赛中，估计成绩为142 min的选手，会比一半以上的选手成绩要好
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点（1,1），第2次接着运动到点（2,0），第3次接着运动到点（3,2），…，按这样的运动规律，经过第2019次运动后，动点P的坐标是_______．

14．如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴上，直线y=x﹣经过直角顶点B，且平分△ABC的面积，BC=3，点A在反比例函数y=图象上，则k=_______．

15．如图，直线与双曲线（k≠0）相交于A（﹣1，）、B两点，在y轴上找一点P，当PA+PB的值最小时，点P的坐标为_________.

16．如图，为的直径，与相切于点，弦．若，则______.

17．因式分解：________．
18．如图，P（m，m）是反比例函数在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为_____．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形圆心角为120°．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）
(1)转动转盘一次，求转出的数字是－2的概率；
(2)转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为正数的概率．

20．（6分）（1）计算：sin45°
（2）解不等式组：
21．（6分）省教育厅决定在全省中小学开展“关注校车、关爱学生”为主题的交通安全教育宣传周活动，某中学为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查了部分学生，将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图（如图所示），请根据图中提供的信息，解答下列问题．
m= %，这次共抽取 名学生进行调查；并补全条形图；在这次抽样调查中，采用哪种上学方式的人数最多？如果该校共有1500名学生，请你估计该校骑自行车上学的学生有多少名？
22．（8分）如图，▱ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角△CDE，使AD=DE=CE，∠DEC=90°，且点E在平行四边形内部，连接AE、BE，求∠AEB的度数．

23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x＋4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=－x2＋bx＋c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）若点P在第二象限内，过点P作PD⊥轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？
（3）如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线l，使得△MON是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（10分）如图，一条公路的两侧互相平行，某课外兴趣小组在公路一侧AE的点A处测得公路对面的点C与AE的夹角∠CAE=30°，沿着AE方向前进15米到点B处测得∠CBE=45°，求公路的宽度．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73）

25．（10分）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中均为整数），则有．
∴．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
当均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示，得＝　 　，＝　 　；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数，填空： ＋　 　＝(　 　＋　 　)2；
（3）若，且均为正整数，求的值．
26．（12分）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣4，0），B （1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）连接AC、BC，判断△ABC的形状，并证明；
（3）若点P为二次函数对称轴上点，求出使△PBC周长最小时，点P的坐标．

27．（12分）菏泽市牡丹区中学生运动会即将举行，各个学校都在积极地做准备，某校为奖励在运动会上取得好成绩的学生，计划购买甲、乙两种奖品共100件，已知甲种奖品的单价是30元，乙种奖品的单价是20元．
（1）若购买这批奖品共用2800元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件？
（2）若购买这批奖品的总费用不超过2900元，则最多购买甲种奖品多少件？
参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、C
【解析】
解：由题意可知4的算术平方根是2，4的立方根是 <2, 8的算术平方根是， 2<<3，8的立方根是2，
故根据数轴可知,
故选C
2、C
【解析】
根据合并同类项法则和去括号法则逐一判断即可得．
【详解】
解：A．2x2-3x2=-x2，故此选项错误；
B．x+x=2x，故此选项错误；
C．-（x-1）=-x+1，故此选项正确；
D．3与x不能合并，此选项错误；
故选C．
本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3、B
【解析】
解：
∵O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，﹣4），顶点C在x轴的正半轴上，
∴OA=5，AB∥OC，
∴点B的坐标为（8，﹣4），
∵函数y=（k＜0）的图象经过点B，
∴﹣4=，得k=﹣32.
故选B.
本题主要考查菱形的性质和用待定系数法求反函数的系数，解此题的关键在于根据A点坐标求得OA的长，再根据菱形的性质求得B点坐标，然后用待定系数法求得反函数的系数即可.
4、D
【解析】
是实数，||一定大于等于0，是必然事件，故选D.
5、A
【解析】
根据题意设未知数,找到等量关系即可解题,见详解.
【详解】
解：设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件．依题意，甲、乙两种奖品共20件,即x+y=20, 购买甲、乙两种奖品共花费了650元,即40x+30y=650,
综上方程组为,
故选A.
本题考查了二元一次方程组的列式,属于简单题,找到等量关系是解题关键.
6、B
【解析】
∵点，是中点
∴点坐标
∵在双曲线上，代入可得
∴
∵点在直角边上，而直线边与轴垂直
∴点的横坐标为-6
又∵点在双曲线
∴点坐标为
∴
从而，故选B
7、B
【解析】
试题分析：平均数为（a−2 + b−2 + c−2 ）=（3×5-6）=3；原来的方差：；新的方差：，故选B.
考点： 平均数；方差.
8、A
【解析】
分析：根据反比例函数的性质，可得答案．
详解：由题意，得
k=-3，图象位于第二象限，或第四象限，
在每一象限内，y随x的增大而增大，
∵3＜6，
∴x1＜x2＜0，
故选A．
点睛：本题考查了反比例函数，利用反比例函数的性质是解题关键．
9、B
【解析】
设原计划平均每天生产x台机器，则实际平均每天生产（x+50）台机器，根据题意可得：现在生产600台所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，据此列方程即可．
【详解】
设原计划平均每天生产x台机器，则实际平均每天生产（x+50）台机器，由题意得：．
故选B．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
10、D
【解析】
题解析：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=90°-∠DCB=90°-20°=70°，∴∠DBA=∠ACD=70°．故选D．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
11、D
【解析】
分析：根据合并同类项法则，同底数幂相除，积的乘方的性质，同底数幂相乘的性质，逐一判断即可.
详解：根据合并同类项法则，可知x3+x3=2x3，故不正确；
根据同底数幂相除，底数不变指数相加，可知a6÷a2＝a4，故不正确；
根据积的乘方，等于各个因式分别乘方，可知(－3a3)2＝9a6，故不正确；
根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，可得x2•x﹣3=x﹣1，故正确.
故选D.
点睛：此题主要考查了整式的相关运算，是一道综合性题目，熟练应用整式的相关性质和运算法则是解题关键.
12、C
【解析】
分析：要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；对于中位数，因图中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可求解．
详解：平均数=（129+136+140+145+146+148+154+158+165+175）÷10=149.6(min),故这组样本数据的平均数超过130，A正确，C错误；因为表中是按从小到大的顺序排列的，一共10名选手，中位数为第五位和第六位的平均数，故中位数是（146+148）÷2=147(min),故B正确，D正确.故选C.
点睛：本题考查的是平均数和中位数的定义．要注意，当所给数据有单位时，所求得的平均数和中位数与原数据的单位相同，不要漏单位．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、（2019，2）
【解析】
分析点P的运动规律，找到循环次数即可．
【详解】
分析图象可以发现，点P的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位．
∴2019=4×504+3
当第504循环结束时，点P位置在（2016，0），在此基础之上运动三次到（2019，2）
故答案为（2019，2）.
本题是规律探究题，解题关键是找到动点运动过程中，每运动多少次形成一个循环．
14、1
【解析】
分析：根据题意得出点B的坐标，根据面积平分得出点D的坐标，利用三角形相似可得点A的坐标，从而求出k的值．
详解：根据一次函数可得：点B的坐标为(1，0)， ∵BD平分△ABC的面积，BC=3
∴点D的横坐标1.5， ∴点D的坐标为， ∵DE：AB=1：1，
∴点A的坐标为(1，1)， ∴k=1×1=1．

点睛：本题主要考查的是反比例函数的性质以及三角形相似的应用，属于中等难度的题型．得出点D的坐标是解决这个问题的关键．
15、（0，）．
【解析】
试题分析：把点A坐标代入y=x+4得a=3，即A（﹣1，3），把点A坐标代入双曲线的解析式得3=﹣k，即k=﹣3，联立两函数解析式得：，解得：，，即点B坐标为：（﹣3，1），作出点A关于y轴的对称点C，连接BC，与y轴的交点即为点P，使得PA+PB的值最小，则点C坐标为：（1，3），设直线BC的解析式为：y=ax+b，把B、C的坐标代入得：，解得：，所以函数解析式为：y=x+，则与y轴的交点为：（0，）．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路线问题．
16、1
【解析】
利用切线的性质得，利用直角三角形两锐角互余可得，再根据平行线的性质得到，，然后根据等腰三角形的性质求出的度数即可．
【详解】
∵与相切于点，
∴AC⊥AB，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案为1．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
17、a(a+1)(a-1)
【解析】
先提公因式，再利用公式法进行因式分解即可.
【详解】
解：a(a+1)(a-1)
故答案为：a(a+1)(a-1)
本题考查了因式分解，先提公因式再利用平方差公式是解题的关键.
18、 ．
【解析】
如图，过点P作PH⊥OB于点H，

∵点P（m，m）是反比例函数y=在第一象限内的图象上的一个点，
∴9=m2，且m＞0，解得，m=3.∴PH=OH=3.
∵△PAB是等边三角形，∴∠PAH=60°.
∴根据锐角三角函数，得AH=.∴OB=3+
∴S△POB=OB•PH=.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题意可求得2个“－2”所占的扇形圆心角的度数，再利用概率公式进行计算即可得；
（2）由题意可得转出“1”、“3”、“－2”的概率相同，然后列表得到所有可能的情况，再找出符合条件的可能性，根据概率公式进行计算即可得.
【详解】（1）由题意可知：“1”和“3”所占的扇形圆心角为120°，
所以2个“－2”所占的扇形圆心角为360°－2×120°＝120°，
∴转动转盘一次，求转出的数字是－2的概率为＝；
（2）由（1）可知，该转盘转出“1”、“3”、“－2”的概率相同，均为，所有可能性如下表所示：
第一次 第二次
1
－2
3
1
(1，1)
(1，－2)
(1，3)
－2
(－2，1)
(－2，－2)
(－2，3)
3
(3，1)
(3，－2)
(3，3)
由上表可知：所有可能的结果共9种，其中数字之积为正数的的有5种，其概率为.
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20、（1）；（2）﹣2＜x≤1．
【解析】
（1）根据绝对值、特殊角的三角函数值可以解答本题；
（2）根据解一元一次不等式组的方法可以解答本题．
【详解】
（1）sin45°
=3-+×-5+×
=3-+3-5+1
=7--5；
（2）（2）
由不等式①，得
x＞-2，
由不等式②，得
x≤1，
故原不等式组的解集是-2＜x≤1．
本题考查解一元一次不等式组、实数的运算、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确解它们各自的解答方法．
21、 (1)、26%；50；(2)、公交车；(3)、300名.
【解析】
试题分析：(1)、用1减去其它3个的百分比，从而得出m的值；根据乘公交车的人数和百分比得出总人数，然后求出骑自行车的人数，将图形补全；(2)、根据条形统计图得出哪种人数最多；(3)、根据全校的总人数×骑自行车的百分比得出人数.
试题解析：(1)、1﹣14%﹣20%﹣40%=26%； 20÷40%=50；
骑自行车人数：50－20－13－7=10(名) 则条形图如图所示：

(2)、由图可知，采用乘公交车上学的人数最多
(3)、该校骑自行车上学的人数约为：1500×20%=300（名）．
答：该校骑自行车上学的学生有300名．
考点：统计图
22、135°
【解析】
先证明AD=DE=CE=BC，得出∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，∠EDC=∠ECD=45°，设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，求出∠ADC=225°-2x，∠BAD=2x-45°，由平行四边形的对角相等得出方程，求出x+y=135°，即可得出结果．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠BAD=∠BCD，∠BAD+∠ADC=180°，
∵AD=DE=CE，
∴AD=DE=CE=BC，
∴∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，
∵∠DEC=90°，
∴∠EDC=∠ECD=45°，
设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，
∴∠ADE=180°﹣2x，∠BCE=180°﹣2y，
∴∠ADC=180°﹣2x+45°=225°﹣2x，∠BCD=225°﹣2y
，∴∠BAD=180°﹣（225°﹣2x）=2x﹣45°，
∴2x﹣45°=225°﹣2y，
∴x+y=135°，
∴∠AEB=360°﹣135°﹣90°=135°．
本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟练的掌握平行四边形的性质.
23、（1）y=－x2－2x＋1，C（1，0）（2）当t=-2时，线段PE的长度有最大值1，此时P（－2，6）（2）存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形．所求Q点的坐标为
（，2）或（，2）或（，2）或（，2）
【解析】
解：（1）∵直线y=x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（－1，0），B（0，1）．
∵抛物线y=－x2＋bx＋c经过A、B两点，
∴，解得．
∴抛物线解析式为y=－x2－2x＋1．
令y=0，得－x2－2x＋1=0，解得x1=－1，x2=1，
∴C（1，0）．
（2）如图1，
设D（t，0）．
∵OA=OB，∴∠BAO=15°．
∴E（t，t＋1），P（t，－t2－2t＋1）．
PE=yP－yE=－t2－2t＋1－t－1=－t2－1t=－（t+2）2+1．
∴当t=-2时，线段PE的长度有最大值1，此时P（－2，6）．
（2）存在．如图2，过N点作NH⊥x轴于点H．
设OH=m（m＞0），∵OA=OB，∴∠BAO=15°．
∴NH=AH=1－m，∴yQ=1－m．
又M为OA中点，∴MH=2－m．
当△MON为等腰三角形时：
①若MN=ON，则H为底边OM的中点，
∴m=1，∴yQ=1－m=2．
由－xQ2－2xQ＋1=2，解得．
∴点Q坐标为（，2）或（，2）．
②若MN=OM=2，则在Rt△MNH中，
根据勾股定理得：MN2=NH2＋MH2，即22=（1－m）2＋（2－m）2，
化简得m2－6m＋8=0，解得：m1=2，m2=1（不合题意，舍去）．
∴yQ=2，由－xQ2－2xQ＋1=2，解得．
∴点Q坐标为（，2）或（，2）．
③若ON=OM=2，则在Rt△NOH中，
根据勾股定理得：ON2=NH2＋OH2，即22=（1－m）2＋m2，
化简得m2－1m＋6=0，∵△=－8＜0，
∴此时不存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形．
综上所述，存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形．所求Q点的坐标为
（，2）或（，2）或（，2）或（，2）．
（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴另一交点C的坐标．
（2）求出线段PE长度的表达式，设D点横坐标为t，则可以将PE表示为关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出PE长度的最大值．
（2）根据等腰三角形的性质和勾股定理，将直线l的存在性问题转化为一元二次方程问题，通过一元二次方程的判别式可知直线l是否存在，并求出相应Q点的坐标． “△MON是等腰三角形”，其中包含三种情况：MN=ON，MN=OM，ON=OM，逐一讨论求解．
24、公路的宽为20.5米．
【解析】
作CD⊥AE，设CD=x米，由∠CBD=45°知BD=CD=x，根据tan∠CAD=,可得=，解之即可．
【详解】
解：如图，过点C作CD⊥AE于点D，

设公路的宽CD=x米，
∵∠CBD=45°，
∴BD=CD=x，
在Rt△ACD中，∵∠CAE=30°，
∴tan∠CAD==，即=，
解得：x=≈20.5（米），
答：公路的宽为20.5米．
本题考查了直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形．
25、（1），；（2）2，2，1，1（答案不唯一）；（3）＝7或＝1．
【解析】
(1)∵，
∴，
∴a＝m2＋3n2，b＝2mn．
故答案为m2＋3n2，2mn．
(2)设m＝1，n＝2，∴a＝m2＋3n2＝1，b＝2mn＝2．
故答案为1，2，1，2(答案不唯一)．
(3)由题意，得a＝m2＋3n2，b＝2mn．
∵2＝2mn，且m、n为正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，
∴a＝22＋3×12＝7，或a＝12＋3×22＝1．
26、（1）抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2；（2）△ABC为直角三角形，理由见解析；（3）当P点坐标为（﹣，）时，△PBC周长最小
【解析】
（1）设交点式y=a（x+4）（x-1），展开得到-4a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；
（2）先利用两点间的距离公式计算出AC2=42+22，BC2=12+22，AB2=25，然后利用勾股定理的逆定理可判断△ABC为直角三角形；
（3）抛物线的对称轴为直线x=-，连接AC交直线x=-于P点，如图，利用两点之间线段最短得到PB+PC的值最小，则△PBC周长最小，接着利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+2，然后进行自变量为-所对应的函数值即可得到P点坐标．
【详解】
（1）抛物线的解析式为y=a（x+4）（x﹣1），
即y=ax2+3ax﹣4a，
∴﹣4a=2，解得a=﹣，
∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2；
（2）△ABC为直角三角形．理由如下：
当x=0时，y=﹣x2﹣x+2=2，则C（0，2），
∵A（﹣4，0），B （1，0），
∴AC2=42+22，BC2=12+22，AB2=52=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°；
（3）
抛物线的对称轴为直线x=﹣，
连接AC交直线x=﹣于P点，如图，
∵PA=PB，
∴PB+PC=PA+PC=AC，
∴此时PB+PC的值最小，△PBC周长最小，
设直线AC的解析式为y=kx+m，
把A（﹣4，0），C（0，2）代入得，解得，
∴直线AC的解析式为y=x+2，
当x=﹣时，y=x+2=，则P（﹣，）
∴当P点坐标为（﹣，）时，△PBC周长最小．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解．关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了待定系数法求二次函数解析式和最短路径问题．
27、（1）甲80件，乙20件；（2）x≤90
【解析】
（1）甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（100﹣x）件，利用共用2800元，列出方程后求解即可；
(2) 设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（100﹣x）件，根据购买这批奖品的总费用不超过2900元列不等式求解即可.
【详解】
解：（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（100﹣x）件，
根据题意得30x+20（100﹣x）=2800，
解得x=80，
则100﹣x=20，
答：甲种奖品购买了80件，乙种奖品购买了20件；
（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（100﹣x）件，
根据题意得：30x+20（100﹣x）≤2900，
解得：x≤90，
本题主要考查一元一次方程与一元一次不等式的应用，根据已知条件正确列出方程与不等式是解题的关键.